Часть 2.  Случайные величины

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 5Следующая ⇒

УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГАОУ ВО «МГТУ»)

Кафедра математики,

Информационных систем

и программного обеспечения  

Методические указания

к самостоятельной работе и выполнению

контрольной работы № 6

по дисциплине «Высшая математика»

для обучающихся по специальности

26.05.05 Судовождение

(заочная форма обучения)

Мурманск

 2020 г.

Составитель: Авдеева Елена Николаевна, Авдеева Елена Николаевна, доцент кафедры математики, информационных систем и программного обеспечения МГТУ.

Рецензент: Кацуба Валентина Сергеевна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики, информационных систем и программного обеспечения МГТУ

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой математики, информационных систем и программного обеспечения МГТУ

24 ноября 2020г., протокол № 4

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 2

Контрольная работа № 6. 2

Часть 1. Случайные события. 2

Часть 2. Случайные величины.. 2

1. Случайные события. 2

1.1. Основные понятия теории вероятностей. 2

1.2. Действия над событиями. 2

1.2. Основные формулы комбинаторики. 2

1.3. Вероятность события. 2

1.4. Вероятности сложных событий. 2

1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 2

1.6. Формула Бернулли. Приближенные формулы вычисления вероятности события. 2

2. Случайные величины.. 2

2.1. Случайные величины.. 2

2.2. Дискретная случайная величина. Закон распределения. Функция распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины.. 2

2.3. Непрерывная случайная величина. Закон распределения. Плотность распределения вероятностей. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.. 2

2.4. Нормальное распределение. 2

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРНОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 6. 2

Часть 1. Случайные события. 2

Часть 2. Случайные величины.. 2

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.. 2

Приложение 1. 2

Приложение 2. 2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 2

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания предназначены для закрепления теоретического материала  по математике и контроля знаний обучающихся по специальности 26.05.05 Судовождение заочной формы обучения.

Раздел «Теория вероятностей» включает две темы: «Случайные события» и «Случайные величины»

В результате изучения темы «Случайные события»обучающиеся должны:

- знать определения вероятности случайного события, основные теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы расчета вероятности при повторении испытаний.

- уметь применять методы теории вероятностей для решения практических задач.

В результате изучения темы «Случайные величины» обучающиеся должны:

- знать определение понятия случайной величины, дискретной и непрерывной случайных величин, законы их распределения, функции распределения, числовые характеристики;

-  уметь производить расчеты основных характеристик случайных величин и применять методы теории вероятностей для решения практических задач.

Данные методические рекомендации включают краткий справочный материал для выполнения контрольной работы  № 6, решение примерного варианта контрольной работы со ссылками на используемый теоретический справочный материал.

 При составлении методических указаний были использованы учебно-методические материалы кафедры математики информационных систем и программного обеспечения.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Номер варианта для выполнения контрольной работы выбирается по последней цифре номера зачетной книжки. Если эта цифра – ноль, то следует выполнять вариант № 10.

Контрольная работа № 6

Часть 1. Случайные события

Задача 1.

Пусть ,  и  - три произвольные события, представленные на диаграмме  Эйлера-Венна:

Выразить событие D через события ,  и  и заштриховать соответствующую область на диаграмме Эйлера-Венна. Содержание события D описано ниже в таблице.

Для вариантов № 1, 3, 5, 7, 9	Для вариантов № 2, 4, 6, 8, 10
а) D – произошли все три события одновременно, б) D – произошло хотя бы одно из событий, в) D – произошли события  и , но событие  не произошло	а) D – произошло событие и хотя бы одно из событий  или , б) D – ни одного события не произошло, в) D – произошло событие , но события  или  не произошли

Задача 2

Вариант 1. При увеличении напряжения может произойти разрыв электрической цепи из-за выхода из строя одного из трех элементов, Вероятности выхода из строя элементов 0,3, 0,4 и 0,5 соответственно. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Какова вероятность события  – при увеличении напряжения не произойдет разрыва сети?

Вариант 2. Радист 3 раза вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность события  –корреспондент услышит вызов радиста хотя бы один раз.

Вариант 3. Вероятности своевременного выполнения студентом контрольных работ по каждой из трех дисциплин равны соответственно 0,6, 0,5 и 0,8. Своевременность выполнения работы по каждой из дисциплин не зависит от времени выполнения работ по другим дисциплинам. Найти вероятность события  – студент своевременно выполнит контрольные работы только по двум дисциплинам.

Вариант 4. Вероятности своевременного выполнения студентом контрольных работ по каждой из трех дисциплин равны соответственно 0,6, 0,5 и 0,8. Своевременность выполнения работы по каждой из дисциплин не зависит от времени выполнения работ по другим дисциплинам. Найти вероятность события  – студент своевременно выполнит контрольные работы хотя бы по двум дисциплинам.

Вариант 5. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе отделение – 0,85 и в третье – 0,7. Своевременность доставки газет в каждое из отделений не зависит от времени доставки в другие отделения. Найти вероятность события  –что хотя бы одно отделение получит газеты вовремя.

Вариант 6. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе отделение – 0,9 и в третье – 0,8. Своевременность доставки газет в каждое из отделений не зависит от времени доставки в другие отделения. Найти вероятность события  – только два отделения получат газеты вовремя.

Вариант 7. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,9, во второе отделение – 0,95 и в третье – 0,85. Своевременность доставки газет в каждое из отделений не зависит от времени доставки в другие отделения. Найти вероятность события  – только одно отделение получит газеты вовремя.

Вариант 8. По цели стреляют из трех орудий. Вероятность попадания для первого орудия равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,7. Поражение цели одним из орудий не зависит от качества стрельбы из других орудий. Найти вероятность события  – только два орудия попадут в цель.

Вариант 9. По цели стреляют из трех орудий. Вероятность попадания для первого орудия равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,6. Поражение цели одним из орудий не зависит от качества стрельбы из других орудий. Найти вероятность события  – только одно орудие попадет в цель.

Вариант 10. По цели стреляют из трех орудий. Вероятность попадания для первого орудия равна 0,6, для второго – 0,8, для третьего – 0,7. Поражение цели каждым из орудий не зависит от качества стрельбы из других орудий. Найти вероятность события  – хотя бы одно орудие попадет в цель.

Задача 3

Вариант 1. Магазин получает телевизоры с двух заводов, причем с первого в два раза больше, чем со второго. Из каждых 100 телевизоров, полученных с первого завода, 5 оказываются бракованными, а из аналогичной партии со второго завода бракованными оказываются три. За каждый проданный качественный телевизор магазин получает 10 у.е. прибыли, а за каждый бракованный несет убыток в 20 у.е.

а) Найти среднюю прибыль на один телевизор.

б) Сколько телевизоров следует вернуть на первый завод, и сколько на второй, если магазин понес в течении месяца убытки за бракованные телевизоры в сумме 1000 у.е.?

Вариант 2. На сборку поступают одинаковые детали из трех цехов: 30% из цеха № 1, 20% из цеха № 2 и 50% из цеха № 3. В продукции первого цеха брак составляет 1%, во втором цехе процент брака в 1,5 раза больше, а в третьем в 2 раза меньше, чем в первом. Если деталь качественная, завод получает прибыль 5 у.е., а если бракованная – несет убыток 8 у.е.

а) Найти среднюю прибыль за одну деталь.

б) Как следует распределить убытки между цехами, если завод понес убытки за бракованные детали в размере 1000 у.е.?

Вариант 3. Овощная база получает помидоры от трех ферм: половину от первой, треть от второй и остальные от третьей. Продукция первой фермы содержит 10% брака, второй – 15% и третьей – 8%. За качественные помидоры база получает прибыль 1 у.е. за килограмм, а за бракованные несет убыток 2 у.е. за килограмм.

а) Найти среднюю прибыль за килограмм помидоров.

б) Найти вероятность того, что проданный килограмм качественных помидоров поступил с первой фермы.

Вариант 4. Сборочный цех получает детали из двух цехов: № 1 и № 2, причем 60% деталей поступают из цеха № 1, остальные из цеха № 2. Среди деталей, поступивших из цеха № 1 бракованные составляют 15%, из цеха № 2 - 10%.

а) Найти вероятность того, что наугад взятая деталь в сборочном цехе окажется бракованной.

б) Найти вероятности того, что эта деталь поступила из цехов №1 и №2 соответственно.

Вариант 5. Рыбный завод получает рыбу на переработку от трех промысловых судов: половину от первого, треть от второго и остальное от третьего. Сырье первого судна содержит 1% брака, второго – 1,5% и третьего – 0,8%. За качественное сырье после переработки завод получает прибыль 10 руб. за килограмм, а за бракованное несет убыток 20 руб. за килограмм.

а) Найти среднюю прибыль за килограмм получаемого сырья.

б) Как следует распределить убытки между промысловыми судами, если из-за некачественного сырья завод понес убытки в размере 100 000 рублей?

Вариант 6. Магазин получает телевизоры с двух заводов, причем с первого в два раза больше, чем со второго. Из каждых 100 телевизоров, полученных с первого завода, 5 оказываются бракованными, а из аналогичной партии со второго завода бракованными оказываются три. За каждый проданный качественный телевизор магазин получает 10 у.е. прибыли, а за каждый бракованный несет убыток в 20 у.е.

а) Найти среднюю прибыль на один телевизор.

б) Сколько телевизоров следует вернуть на первый завод, и сколько на второй, если магазин понес в течении месяца убытки за бракованные телевизоры в сумме 2000 у.е.?

Вариант 7. На сборку поступают одинаковые детали из трех цехов: 30% из цеха № 1, 20% из цеха № 2 и 50% из цеха № 3. В продукции первого цеха брак составляет 1%, во втором цехе процент брака в 1,5 раза больше, а в третьем в 2 раза меньше, чем в первом. Если деталь качественная, завод получает прибыль 5 у.е., а если бракованная – несет убыток 8 у.е.

а) Найти среднюю прибыль за одну деталь.

б) Как следует распределить убытки между цехами, если завод понес убытки за бракованные детали в размере 2000 у.е.?

Вариант 8. Овощная база получает помидоры от трех ферм: половину от первой, треть от второй и остальные от третьей. Продукция первой фермы содержит 10% брака, второй – 15% и третьей – 8%. За качественные помидоры база получает прибыль 1 у.е. за килограмм, а за бракованные несет убыток 2 у.е. за килограмм.

а) Найти среднюю прибыль за килограмм помидоров.

б)Найти вероятность того, что проданный килограмм качественных помидоров поступил с первой фермы.

Вариант 9. Сборочный цех получает детали из двух цехов: № 1 и № 2, причем 60% деталей поступают из цеха № 1, остальные из цеха № 2. Среди деталей, поступивших из цеха № 1, бракованные составляют 5%, из цеха № 2 - 10%.

а) Найти вероятность того, что наугад взятая деталь в сборочном цехе окажется бракованной.

б) Найти вероятности того, что эта деталь поступила из цехов №1 и №2 соответственно.

Вариант 10. Рыбный завод получает рыбу на переработку от трех промысловых судов: половину от первого, треть от второго и остальное от третьего. Сырье первого судна содержит 1% брака, второго – 1,5% и третьего – 0,8%. За качественное сырье после переработки завод получает прибыль 10 руб. за килограмм, а за бракованное несет убыток 20 руб. за килограмм.

а) Найти среднюю прибыль за килограмм получаемого сырья.

б) Как следует распределить убытки между промысловыми судами, если из-за некачественного сырья завод понес убытки в размере 200 000 рублей?

Задача 4.

Вариант 1. Вероятность того, что взятая напрокат вещь будет возвращена исправной, равна 0,8. Определить вероятность того, что из 5 взятых вещей не менее трех будут возвращены исправными.

Вариант 2. Вероятность попадания в цель равна 0,3. Определить вероятность того, что при шести выстрелах не более двух пуль попадут в цель.

Вариант 3. Что более вероятно: выиграть у равносильного противника не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

Вариант 4. Лотерейный билет выигрывает с вероятностью 0,1. Гражданин купил 3 билета на сумму 600 руб. Выигрыш по билету составляет 1500 руб. Останется ли гражданин в убытке?

Вариант 5. Стрелок в тире попадает в цель с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что при трех выстрелах стрелок сделал три попадания?

Вариант 6. Стрелок в тире попадает в цель с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что при трех выстрелах стрелок сделал два попадания?

Вариант 7. При установившемся технологическом процессе автомат производит 75% деталей 1-го сорта и 25% деталей 2-го сорта. Установить, что является более вероятным – получить 3 первосортные детали среди 5 наудачу отобранных или 4 первосортных среди 6 отобранных.

Вариант 8. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех испытаниях, если вероятность его появления в одном испытании равна 0,2.

Вариант 9. Найти вероятность того, что событие А появится более трех раз в четырех испытаниях, если вероятность его появления в одном испытании равна 0,3.

Вариант 10. Найти вероятность того, что событие А появится не более одного раза в четырех испытаниях, если вероятность его появления в одном испытании равна 0,1.

Задача 5.

В каждом варианте для заданной дискретной случайной величины  необходимо:

1) составить ряд распределения,

2) построить многоугольник распределения вероятностей,

3) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины,

4) найти функцию распределения , используя данные ряда п.1),

5) построить график функции .

Вариант 1. Вероятность отказа каждого прибора при проведении испытания равна 0,4, для испытания было отобрано 4 прибора, случайная величина  – число приборов, отказавших при проведении испытания.

Вариант 2. Вероятность совершить покупку для каждого покупателя магазина равна 0,3, в магазин пришли 4 покупателя, случайная величина  – число покупателей, совершивших покупку.

Вариант 3. По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515, случайная величина  – число мальчиков в семье из 4 детей.

Вариант 4. Вероятность того, что корреспондент примет вызов радиста, равна 0,4, случайная величина  – число вызовов, принятых корреспондентом, если радистом было передано 4 вызова.

Вариант 5. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб., случайная величина  – размер выигрыша при четырех сделанных покупках, если вероятность выигрыша в каждой покупке равна 0,1.

Вариант 6. В контрольной работе 4 задачи, вероятность правильного решения учеником каждой задачи 0,7, случайная величина  – число правильно решенных задач.

Вариант 7. Торговый агент имеет четырех потенциальных покупателей, вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4, случайная величина  – число покупателей, сделавших заказ.

Вариант 8. Студент должен сдать в сессию 4 экзамена, вероятность успешной сдачи каждого экзамена 0,7, случайная величина  – число экзаменов, которые сдал студент в сессию.

Вариант 9. Телевизионный канал рекламирует новый вид детского питания. Вероятность того, что телезритель увидит эту рекламу, оценивается в 0,2. В случайном порядке выбраны четыре телезрителя, случайная величина  – число лиц, видевших рекламу.

Вариант 10. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75, контроль расхода электроэнергии производится в течение четырех суток, случайная величина  – число дней, в которые расход электроэнергии был выше установленной нормы.

Задача 6.

В каждом варианте для непрерывной случайной величины , заданной с помощью плотности распределения вероятностей  необходимо:

1) найти математическое ожидание этой случайной величины,

2) дисперсию этой случайной величины,

3) построить график функции ,

4) найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина  примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Вариант 1. Случайная величина задана плотностью распределения  в интервале ; вне этого интервала .

Вариант 2. Случайная величина задана плотностью распределения  в интервале ; вне этого интервала .

Вариант 3. Случайная величина задана плотностью распределения  в интервале ; вне этого интервала .

Вариант 4. Случайная величина задана плотностью распределения  в интервале ; вне этого интервала .

Вариант 5. Случайная величина задана плотностью распределения  в интервале ; вне этого интервала .

Вариант 6. Случайная величина задана плотностью распределения  в интервале ; вне этого интервала .

Вариант 7. Случайная величина задана плотностью распределения  в интервале ; вне этого интервала .

Вариант 8. Случайная величина задана плотностью распределения  в интервале ; вне этого интервала .

Вариант 9. Случайная величина задана плотностью распределения  в интервале ; вне этого интервала .

Вариант 10. Случайная величина задана плотностью распределения  в интервале ; вне этого интервала .

Задача 7.

Вариант 1. Значения теста IQ (коэффициента интеллекта) Стэнфорда – Бине распределены приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием  и средним квадратическим отклонением . Найти вероятность того, что коэффициент интеллекта у случайно отобранного для тестирования человека окажется меньше 95.

Вариант 2. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах. Вес заряда - нормально распределенная случайная величина c параметрами а = 2,3 г и  =150 мг. Найти вероятность повреждения ружья при выстреле, если максимально допустимый вес заряда пороха равен 2,5 г.

Вариант 3. Размер детали подчинен нормальному закону с параметрами  = 30 см и  = 5 см. Детали считаются годными, если их размер находится в пределах от 20 до 40 см. Если размер детали больше 40 см, то она подлежит переделке. Найти вероятность того, что случайно отобранная деталь подлежит переделке.

Вариант 4. Значения теста IQ (коэффициента интеллекта) Стэнфорда – Бине распределены приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием  и средним квадратичным отклонением . Найти вероятность того, что коэффициент интеллекта у случайно отобранного для тестирования человека окажется в пределах от 80 до 120.

Вариант 5. Средняя длина взрослой рыбы оценивается в 65 см., со стандартным отклонением в 5 см. Считая распределение длины рыбы нормальным, найдите вероятность того, что длина конкретной, случайно отобранной рыбы будет больше 70 см.

Вариант 6. Спортсмен бросает копье. Дальность полета копья – нормально распределенная случайная величина со средним значением 70 м и средним квадратическим отклонением  =5 м. Найти вероятность того, что дальность полета копья будет от 65 до 72 м.

Вариант 7. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш – случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием  950 кг и средним квадратическим отклонением  =150 кг. Определить вероятность того, что вес случайно отобранной туши будет между 800 и 1300 кг.

Вариант 8. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед. Найти вероятность того, что цена акции будет не выше 15,3 ден. ед.

Вариант 9. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед. Найти вероятность того, что цена акции будет в интервале от 14,9 до 15,3 ден. ед.

Вариант 10. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш – случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием  950 кг и средним квадратическим отклонением =150 кг. Найти вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1250 кг.

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Случайные события

Основные понятия теории вероятностей

Предполагается, что в каждом опыте обязательно происходит одно и только одно так называемое элементарное событие (элементарный исход) . Все множество элементарных событий, которые могут происходить в результате опыта, называется пространством элементарных событий (исходов) W[1].

Случайное событие – это некоторое множество, состоящее из элементарных исходов . При этом исходы  называются благоприятствующими событию . Случайные события, так же как и множества, обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита с индексами или без индексов: , , ,  и т.д.

Говорят, что в результате эксперимента произошло событие , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, благоприятствующих событию А.

Достоверным называется событие, которое всегда происходит в результате рассматриваемого эксперимента. Следовательно, оно включает в себя все элементарные исходы, т.е. достоверным событием является пространство элементарных исходов .

Событие называется невозможным, если оно заведомо не может произойти в результате рассматриваемого эксперимента. Значит, невозможное событие не содержит ни одного элементарного исхода, т.е. это событие является пустым множеством и обозначается .

Действия над событиями

Суммой событий  и  называется событие , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий  или , (т.е. или , или , или  и  вместе).

Произведением событий  и  называется событие , состоящее в том, что оба события  и  произошли одновременно.

Разностью событий  и  называется событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие , но не происходит событие .

Противоположным событию  называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие .

Например, для события, состоящего в наступлении хотя бы одного из событий  или , противоположным является событие – не произошло ни одного из событий  и .

Для противоположных событий одновременно выполняются два условия: их сумма является достоверным событием, т.е. , а произведение – невозможным событием, т.е. .

События и действия над ними можно наглядно проиллюстрировать диаграммами Эйлера-Венна (см. рис. 1), на которых случайные события изображаются областью (например, эллипсом, окружностью или произвольной фигурой).

	А·В=С	А+В

A+B+C	A.B.C	A-(B+C)

Рис.1.

Два события  и  называются несовместными, если  и  не могут произойти одновременно. Несовместные события не имеют ни одного общего благоприятствующего исхода, следовательно, .

События ,  и  называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Вероятность события

Для количественной оценки возможности появления случайного события  в рассматриваемом эксперименте вводится специальная числовая функция , называемая вероятностью события , которая каждому событию ставит в соответствие число.

Вероятность события  можно найти, используя классическое определение вероятности: вероятность случайного события  равна отношению числа  элементарных равновозможных исходов, благоприятствующих событию, к числу  всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, т.е.

                                                          (4)

Заметим, что вероятность достоверного события , вероятность невозможного события . Кроме того, из определения вероятности следует, что для любого события  выполняется неравенство:

                                                       (5)

Вероятности сложных событий

Для вычисления вероятностей сложных событий используются следующие теоремы теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Если события  и  несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей:

                                                                                          (6)

Сформулированная теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Если же события  и  совместны, то

                                                                                   (7)

Из теоремы сложения вероятностей следует, что если  и  – противоположные события, то

                                         или                                     (8)

Теорема умножения вероятностей. Если события  и  независимы (т.е. вероятность одного из событий не зависит от появления или непоявления другого), то вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

                                                                                                 (9)

Сформулированная теорема также справедлива для любого конечного числа сомножителей.

Случайные величины

Случайные величины

Случайной называют числовую величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, причем не известно заранее какое именно.

Условимся случайные величины обозначать прописными латинскими буквами …, а принимаемые ими значения – строчными латинскими (с индексами или без): ,  и т.д.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если значения, которые может принимать данная случайная величина, образуют дискретное (конечное или бесконечное) множество чисел , , …, , …

Под непрерывной случайной вели

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов