Среднее квадратичное отклонение

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называется квадратный корень из дисперсии:        δ(x)=√D(x)                                                                               

Пример 61.

 Найти числовые характеристики случайной величины Х, имеющей распределение, представленное в таблице

Решение:

1. Найдём математическое ожидание.

По формуле (1): M(x)= -2*0.3+(-1)*0.1+1*0.2+2*0.1+3*0.3= -0.6-0.1+0.2+0.2+0.9=0.6

2. Найдём дисперсию.

2.1 воспользуемся формулой (2):

случайная величина (Х-М(Х)) имеет распределение, представленное в таблице

      Тогда

D(X)=M(x-M(x))²=(-2.6)²*0.3+(-1.6)²*0.1+0.4²*0.2+1.4²*0.1+2.4²*0.3=                =2.028+0.256+0.032+0.196+1.728=4.24

2.2 случайная величина x² имеет распределение, представленное в таблице

Тогда M(x²)=1*0.3+4*0.4+9*0.3=0.3+1.6+2.7=4.6 

D(x)=M(x²)-(M(x))²=4.6-0.6²=4.6-0.36=4.24

 3.Найдём среднее квадратичное отклонение δ(x)=√D(x)=√4.24≈2.059

Литература:

 [1] стр. 531- 536, [2] стр. 385- 393, [3] стр. 567- 573, 583 – 588, [4] стр. 436- 440,

7.4. Математическая статистика.

     7.4.1.Вариационные ряды распределения.

● Признак, принимающий одно и то же значение, называется вариантом выборки.

● Число элементов в каждой группе называется частотой варианта (n_i).

● Размахом выборки называется число h=x_max-x_min.

● Сумма всех частот есть объём (n) выборки.

● Отношение частоты данного варианта к объёму совокупности называется  относительной частотой.

● Последовательность вариант, расположенных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

● Последовательность пар (x, n), (x, n),…, (x, n) называют c татистическим рядом. Обычно статистический ряд записывают в виде таблицы.

● Если во второй строке таблицы записать не частоты, а относительные частоты соответствующих значений выборки, то получим выборочное распределение:

Пример 62.

Пусть дана выборка: 1;10; -2;1;0;1;10;7; -2;10;10;7.Для данной выборки найти: а). объём;

б). размах; Записать выборку в виде вариационного ряда; составить статистический ряд. Найти выборочное распределение.

Решение: 

Её объём равен n=12;  размах 10-(-2)=12,

вариационный ряд: -2; -2; 0; 1; 1; 1; 7; 7; 10; 10; 10;10.

Статистический ряд: 

Выборочное распределение:

7.4.2. Графическое изображение вариационных рядов.

● Полигоном частот называют ломаную с вершинами в точках (x, n), (x, n), …, (x, n)

● Полигоном относительных частот называют ломаную с вершинами в точках (x,), (x,), (x,), …, (x,).

● Гистограмма частот это фигура, состоящая из прямоугольников с основанием h и высотами n_i.

● Гистограмма относительных частот это фигура, состоящая из прямоугольников с основанием h и высотами.Значение x¡ выборки, совпавшее с правым концом промежутка, относят к следующему промежутку (если x¡ не наибольшее значение выборки)..

Пример 63.

Дана выборка: 111,109,107,111,124,109,111,105,129,107,109,111,129,109,111

    Построить гистограмму частот, если число частичных промежутков равно: m=4.

Решение:

    Наименьшее значение выборки равно 105, наибольшее- 129. Находим длину частичных промежутков h:

                                               H====6

Разбиваем промежуток от наименьшего значения выборки до её наибольшего значения на частичные интервалы:

[105; 105+6), [111; 111+6), [117; 117+6), [123; 123+6], [105; 111), [111; 117),              [117; 123), [123; 129].

    Подсчитываем число значений выборки, попавших в каждый промежуток и заполняем таблицу:

По полученным данным строим гистограмму частот.

7.4.3. Точечные оценки неизвестных параметров распределения.

●.Выборочным средним выборки объема n со статистическим рядом  

называется число

.

● Выборочной дисперсией Д_ввыборки объема n со статистическим рядом

называется число 

●.Квадратный корень из выборочной дисперсии называется выборочным среднимквадратическим отклонением величины х  .

● Исправленная дисперсия

● Квадратный корень из исправленной выборочной дисперсии называется исправленным средним квадратическим отклонением

Пример 64.

Дана выборка: 3, 8, 14, 6, 4, 3, 3, 4, 6, 14, 6, 3, 6, 4, 8, 14, 3, 4, 4, 3.

По данной выборке определить:

а) объем выборки;

б) выборочное среднее;

в) выборочную дисперсию;

г) выборочное среднее квадратическое отклонение;

д) исправленную выборочную дисперсию;

е) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Решение:

а) Объем выборки n = 20;

б) Запишем для данной выборки статистический ряд

в) Добавим вышеприведенную таблицу:

г) 

д) 

е)  

7.4.4 Интервальные оценки неизвестных параметров распределения.

Случайный интервал, в пределах которого с вероятностью находится неизвестный оцениваемый параметр, называется доверительным интервалом, соответствующим коэффициенту доверия. Для оценки математического ожидания М(х) случайной величины х служит доверительный интервал

  -      коэффициент Стьюдента, зависящий от и  (берется из таблиц);

  -      объем выборки;

  -      выборочное среднее;

  -      исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Пример 65.

Из генеральной совокупности извлечена выборка: -2; 2; 4; 5; 3; -2; 3; 4; 2; 1.

Оценить с доверительной вероятностью 0,95 математическое ожидание генеральной совокупности.

Решение:

 = 10

n = 10, = 0,95, значит  = 2,26

 * = 2,26 *

 = 2 – 1,717864304 = 0,2821356693

Доверительный интервал:

)

Литература:

 [1] стр. 571- 536, [2] стр. 513- 542, [4] стр. 443,

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте