Правило сложения комбинаторики.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

Если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить  способами, а другое —  способами, то выполнить одно любое из этих действий можно способами.

Пусть дано множество из п различных элементов и из него мы выбираем случайным образом m элементов  Эти m-элементные подмножества могут отличаться: составом элементов; порядком следования элементов; возможностью повтора элементов в подмножестве; объемом подмножества. В соответствии с этим выделяют следующие виды подмножеств.

1. Размещения — упорядоченные m-элементные подмножества m-элементного множества, которые отличаются как составом, так и порядком следования элементов.

Число всех размещений  из n элементов по m (где m<n), определяется по формуле:    

2. Перестановки — любые упорядоченные множества, в которые входят по одному все п различных элементов исходного множества. Число всех перестановок  из n элементов определяется по формуле (перестановки - это частный вид размещений, когда n=m: .):                                                                 

3. Сочетания — m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только составом элементов (без учета порядка следования элементов в подмножестве). Число всех сочетаний  из n элементов по m (где m<n), определяется по формуле:                                                       

При этом отметим, что:

Также можно показать, что выполняются следующие соотношения:

 (правило Паскаля) и

4. Размещения с повторениями — упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются и элементами, и порядком, и возможностью повтора. Число всех размещений с повторениями из n элементов по m определяется в соответствии с правилом умножения комбинаторики по формуле: .

5. Сочетания с повторениями — m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только элементами и возможностью повтора. Число всех сочетаний с повторениями  из n элементов по т определяется по формуле: . 

6. Перестановки с повторениями  — упорядоченные подмножества, в которых элемент , повторяется  раз,  повторяется  раз,...,  повторяется  раз. Число всех перестановок с повторениями определяется по формуле: , где

Классической схемой, или схемой случаев, называется испытание, при котором число элементарных исходов конечно и все из них равновозможны. Элементарное событие ω называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет наступление события А. Классической вероятностью события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу n всех элементарных событий этой схемы: . Из определения вероятности следует, что Р (Ø)= 0,  и .

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 2

№ варианта	Задание
I	а) Сколько существует различных 8-значных чисел, состоящих из цифр 2, 4 и 7, в которых цифра 2 повторяется 3 раза, цифра 4- 2 раза, цифра 7-3 раза? б) Решить уравнение: . в) На пяти карточках разрезной азбуки написаны буквы К, А, Р, Е, Т, А. После того как их тщательно перемешают, берут наудачу по одной и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что при случайном отборе и расположении: всех этих карточек в ряд получится слово «РАКЕТА»? г) В магазин поступило 30 холодильников, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один холодильник для проверки. Какова вероятность, что он не имеет скрытых дефектов? д) Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков окажется четной, причем на грани одной из костей окажется число 4.
II	а) В буфете продается 6 видов пирожных. Сколько различных наборов по 3 пирожных можно составить при том условии, что пирожные могут присутствовать одинаковые пирожные? б) Решить уравнение: . в)  На пяти карточках разрезной азбуки написаны буквы К, А, Р, Е, Т, А. После того как их тщательно перемешают, берут наудачу по одной и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что при случайном отборе и расположении 3-х из этих карточек в ряд получится слово «РАК»? г) На пронумерованных карточках написаны буквы Б, Б, А, Р, А, А, Н. Карточки перемешиваются, а  затем наугад достают по очереди и располагают в порядке извлеченичя. Какова вероятность, что получится слово «БАРАБАН»? д) При транспортировке ящика, в котором находились 50 стандартных и 11 нестандартных деталей, была утеряна одна деталь, причем, неизвестно, какого качества. Случайным образом выбранная из ящика после транспортировки деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна стандартная деталь.
III	а) Сколькими способами можно из группы студентов, в составе которой 20 человек, случайным образом вызвать трех человек к доске? б) Решить уравнение: . в) Номер телефона  состоит из 10 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры: 1. различны; 2. нечетные; 3. различны и четные? г) На шести карточках написаны буквы А, А, Т, Т, Л, Н. Карточки перемешиваются, а затем наугад достают по очереди и располагают в порядке извлечения. Какова вероятность, что получится слово «АТЛАНТ»? д) При транспортировке ящика, в котором находились 50 стандартных и 11 нестандартных деталей, была утеряна одна деталь, причем, неизвестно, какого качества. Случайным образом выбранная из ящика после транспортировки деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна нестандартная деталь.
IV	а) Сколькими способами можно случайным образом из 30 лучших студентов курса выбрать 3-х для поездки в Норвегию и Швецию? б) Решить уравнение: . в) В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут: 1. на четвертом этаже; 2. на одном этаже; 3. на разных этажах. г) На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трех карточек и раскладывании их в порядке поступления в ряд слева направо. Найти вероятность следующих событий:  1. А = {появится число 123};  2. В = {появится число, не содержащее цифры 2};  3. С = {появится число, состоящее из последовательных цифр}. д) Задумано некоторое двузначное число. Найти вероятность того, что этим числом окажется случайно названное двузначное число.
V	а) Расписание одного учебного дня школьника содержит шесть разных дисциплин. Определить количество возможных расписаний, если имеется выбор из 15 различных дисциплин. б) Решить уравнение: . в) Из полного набора домино в произвольном  порядке выбирают 7 костей. Какова вероятность, что среди них окажется: 1. по крайней мере, одна кость с пятью очками; 2. хотя бы одна кость с 5 или 6 очками; 3. только одна кость с 5 или 6 очками. г) В течение семи дней случайным образом поступают сообщения о банкротстве одного из пяти банков, назовем их условно А, В, С, D, Е. Чему равна вероятность того, что сообщение о банкротстве банка В не следует сразу же за сообщением о банкротстве банка А? д) Задумано некоторое двузначное число. Найти вероятность того, что этим числом окажется случайно названное двузначное число, цифры которого различны.
VI	а) Для обозначения автобусного маршрута используют фонари трех разных цветов. Какое количество маршрутов можно обозначить, если использовать фонари четырех разных цветов? б)  Решить уравнение: . в) Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4. Найти вероятность следующих событий, в полученной выборке: 1. все карты бубновой масти; 2. окажется хотя бы одна дама. г) Наудачу подбрасывают три игральные кости. Определить вероятности того, что: 1. на трех костях выпадут разные грани; 2. хотя бы на одной из костей выпадет шестерка? д) Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: 1. сумма выпавших очков равна семи; 2. сумма выпавших очков равна восьми, а разность равна четырем.
VII	а) Кодовый замок открывается только тогда, когда набран правильный четырехзначный номер. Наугад набираются четыре цифры из заданных шести. Номер был угадан только на последней попытке. Сколько попыток ей предшествовало? б)  Решить уравнение: . в) В подъезде дома установлен кодовый замок. Дверь автоматически отпирается, если одновременно нажать на 3 кнопки с цифрами кода из имеющихся 10 кнопок. Какова вероятность того, что человеку, не знающему код, удастся с первого раза открыть дверь? г) Из 10 яблок, 4 апельсинов и 6 лимонов случайным образом в пакет отбирается 5 фруктов. Какова вероятность того, что в пакете: 1. нет апельсинов; 2. только один апельсин. д) Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: 1. сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность  равна четырем. 2. произведение выпавших очков равно четырем, а сумма равна пяти.
VIII	а) Одна ладья на шахматной доске может взять другую, если они находятся на одной вертикали или горизонтали. Сколько существует способов расположения двух ладей на шахматной доске, при которых одна из них может взять другую? б)  Решить уравнение: . в) В телефонной книге случайно выбирается номер телефона, состоящий из 7 цифр, Найти вероятность того, что: 1. четыре последние цифры телефонного номера одинаковы; 2. все четыре последние цифры телефонного номера различны. г) Из 10 яблок, 4 апельсинов и 6 лимонов случайным образом в пакет отбирается 5 фруктов. Какова вероятность того, что в пакете: 1. окажется 2 яблока; 2. хотя бы один лимон. д) Монетка подбрасывается дважды. Найти вероятность того, что в результате данного опыта «орел» выпадет хотя бы один раз.
IX	а) Одна ладья на шахматной доске может взять другую, если они находятся на одной вертикали или горизонтали. Сколько существует способов расположения двух ладей на шахматной доске, при которых одна из них не может взять другую? б) Решить уравнение: . в) В урне находятся 18 деталей, из которых 6 окрашены. Сборщик наудачу извлекает 3. Найти вероятность того события, что все извлеченные детали окажутся окрашенными. г) Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 5 цифр. Оператор забыл необходимую комбинацию цифр. С какой вероятностью можно открыть замок с первой попытки, если:  1. все цифры в коде не повторяются;  2. если повторяются. д) Телефонный справочник раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что телефонные номера состоят из семи цифр, причем все комбинации цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий:  1. А = «четыре последние цифры телефонного номера одинаковы»;  2. В = «все цифры различны».
X	а) Сколько различных аккордов можно сыграть на восьми клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать от двух до восьми звуков? б) Решить уравнение: . в) Экзаменационная программа содержит 30 различных вопросов, из которых студент знает половину. Для того, чтобы сдать экзамен, студенту необходимо ответить на 2 из 3 предложенных вопросов. Какова вероятность успешной сдачи экзамена? г) В лотерее 250 билетов. Из них 50 выигрышных. Определить вероятность того, что 3 приобретенных билета окажутся выигрышными. д) Телефонный справочник раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что телефонные номера состоят из семи цифр, причем все комбинации цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий: 1. А = «номер начинается с цифры 5»; 2. В = «номер содержит три цифры 6, две цифры 5 и две цифры 3».

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров