Криволинейное движение точки. Скорость, ускорение.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 15Следующая ⇒

    Пусть движение задано в векторной форме . Точка М движется по некоторой криволинейной траектории  и ее положение определяется вектором . Пусть в момент времени  положение точки  определяется вектором . В момент времени , отличающийся от первоначального на бесконечно малый промежуток времени , точка занимает положение . Таким образом, в каждый момент времени конец вектора будет находиться точки . Геометрическое место концов этих векторов, или, линия, описываемая в пространстве концом вектора, начало которого находится в данной неподвижной точке называется годографом этого вектора. Очевидно, что годографом радиуса – вектора  движущейся точки  является траектория  этой точки.

    Соединим точки  и  прямой (рис. 48), тогда, очевидно, можно записать векторное равенство  или , где  - есть изменение (приращение) данного вектора  за время . Разделив это приращение на промежуток времени , получим новый вектор, имеющий тоже направление, но другую величину. Этот вектор  называется средней скоростью точки за время .

                                                                                                                          (23)

Средняя скорость криволинейного движения - это скорость такого равномерного движения, при которой точка, двигаясь по хорде равномерно попадает на траекторию в тоже положение, которое она занимает через данный промежуток времени, двигаясь по траектории неравномерно.

    Будем теперь приближать  к нулю. При этом точка  будет при этом приближаться к точке . В пределе направление вектора  (также как и ) совпадает с направлением касательной к траектории в точке , а модуль его равен . Предел средней скорости  при  называется скоростью движущейся точки в момент времени  или истинной скоростью точки.

                                                                         (24)

42

    Вектор истинной скорости равен векторной производной от радиуса вектора, определяющего положение точки, по времени. Вектор истинной скорости имеет направление касательной к траектории в данном положении точки.

    Определим модуль вектора истинной скорости. Введем обозначение  - дуга траектории, тогда . Учитывая, что предел производной равен произведению пределов . Мы определяем модуль, т.е. переходим от векторных величин к скалярным . Учитывая, что , получаем , где .

    Таким образом, модуль вектора скорости равен производной от дуговой координаты движущейся точки по времени.

    Если производная  положительна, то с ростом времени возрастает и , т.е. точка движется по траектории в положительном направлении и наоборот. Если модуль , то получаем случай равномерного криволинейного движения. В этом случае величина  является линейной функцией времени, т.е. , где  - начальное значение дуговой координаты при .

    Для случая прямолинейного движения было получено, что ускорение точки выражается производной от скорости по времени (21). В случае криволинейного движения эта производная, очевидно, не может полностью характеризовать изменение скорости по времени, так как здесь скорость меняется не только по модулю, но и по направлению рис. 49. Для случая криволинейного движения, вектор ускорения строят следующим образом. Пусть в момент времени , движущаяся точка занимает на траектории положение и имеет скорость .

43

Через малый промежуток времени , т.е. в момент , эта точка занимает положение  и имеет скорость . Перенесем начало вектора  в точку , соединим конец вектора  и , а затем достроим полученный треугольник до параллелограмма. Тогда вектор  представляет собой изменение скорости за время : . Построим теперь новый вектор , равный отношению изменения скорости  к соответствующему промежутку времени . . Этот вектор называется средним ускорением точки за время :

                                                                                                               (25)

Предел, к которому стремится среднее ускорение при , называется ускорением точки в данный момент времени

                                                                       (26)

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров