М. С. Томаш, Т. Г. Флерко, Ю. С. Зезюлина

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 6Следующая ⇒

М. С. ТОМАШ, Т. Г. ФЛЕРКО, Ю. С. ЗЕЗЮЛИНА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ГЕОГРАФИИ

Практическое руководство

для студентов специальности 1-31 02 01-02

 «География (научно-педагогическая деятельность)»

Часть 1

Гомель

ГГУ им.Ф.Скорины

2014

УДК

ББК

Рецензенты:

кандидат географических наук Е. Н. Карчевская;

кандидат географических наук О. В. Шершнев

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом

учреждения образования «Гомельский государственный

университет имени Франциска Скорины»

Практическое руководство включает тематику практических занятий, пояснительный материал с основными определениями и формулами для расчета показателей, примеры выполнения заданий и задачи для самостоятельной работы, вопросы для самоконтроля. Раскрыта сущность основных  математических методов, применяемых в географических исследованиях для группировки, классификации объектов и выявления пространственных закономерностей.

Адресовано студентам специальности «География (научно-педагогическая деятельность)».

УДК

ББК

Содержание

Введение

Географические исследования и практические задачи базируются на большом объеме количественной информации, которую необходимо объективно оценить и провести группировку или классификацию, доказать зависимость или провести моделирование, выявить оптимальные условия развития или установить пространственные закономерности развития объектов или явлений, дать прогноз их развития. Решить эти задачи помогают математические и статистические расчеты.

В процессе своего развития география накопила большое количество методов, но среди их многообразия на современном этапе резко выделяются по значимости и перспективам использования, интенсивно развивающиеся новейшие методы исследований. В первую очередь это математические методы, открывшие качественно новый этап в информационном обеспечении исследований в науках о Земле. Изучение математических методов – важный элемент профессиональной подготовки студентов высших учебных заведений специальности «География». Студенты-географы должны быть готовы к решению сложных проблем взаимодействия природы и общества. Для принятия практических шагов по улучшению территориальной организации природы, общества и хозяйственной деятельности необходимо владеть теоретическими знаниями, методами, приемами и методикой отраслевых и комплексных физико-географических и экономико-географических исследований.

Целью проведения практических занятий по математическим методам в географии является приобретение студентами современных научных знаний о методиках оценки и анализа фактических данных, методах расчета основных математических и статистических показателей.

Руководство включает тематику практических занятий, пояснительный материал с основными определениями и формулами для расчета показателей, примеры выполнения заданий и задачи для самостоятельной работы, вопросы для самоконтроля. В издании раскрыта сущность основных  математических методов, применяемых в географических исследованиях для группировки, классификации объектов и выявления пространственных закономерностей.

Данное практическое руководство предназначено в первую очередь для студентов геолого-географического факультета специальности «География (научно-педагогическая деятельность)», а также будет полезно учителям географии, преподавателям географических дисциплин средних специальных и высших учебных заведений, школьников и всех тех, кто интересуется географией, природопользованием и охраной природы.

Вопросы для самоконтроля

1 Что называется генеральной совокупностью и выборкой?

1 Какие виды выборок бывают?

2 Назовите правила составления выборок разных типов?

3 С какой целью используется критерий Стьюдента при составлении вариационных рядов?

4 Из каких географических данных можно составить вариационный ряд?

5 Каким способом определяется артефакт в вариационном ряду?

Вопросы для самоконтроля

1 С какой целью определяют показатели центра распределения?

1 Какие виды показателей средних вы знаете?

2 Чем отличаются показатели центра распределения?

3 Чем выражаются показатели среднего положения?

4 Что характеризуют показатели среднего положения?

5 Для чего рассчитываются достоверность того или иного показателя?

Вопросы для самоконтроля

1 Для чего используют показатели разнообразия признаков?

2 Какие показатели разнообразия признаков вы знаете?

3 Какие показатели используют как составляющие параметры нормального распределения?

4 Что показывает среднее квадратическое отклонение?

5 На что указывает дисперсия?

6 Что представляет собой коэффициент вариации?

7 Каким бывает разброс вариант в зависимости от значения коэффициента вариации?

Критерий Стъюдента (t)

Критерий Фишера (F)

4 Критерий соответствия (χ²)

Достоверность различий между генеральными сово­купностями (Ni, N ₂...) может быть определена с помощью следующих критериев достоверности: критерия Стьюдента (t), наименьшей существенной разности (НСР), кри­терия соответствия (χ²), критерия Фишера (F).

1Критерий Стьюдента. Сравнение выборочных сово­купностей по критерию Стьюдента t позволяет утверж­дать с некоторой долей уверенности сходство или раз­личие между средними выборок по разнице между ними с использованием фор­мулы

                                      (4.1)

где d – разность между средними (М₁ – М₂); т _d – ошиб­ка разности средних.

Выделяют три типа сравниваемых статистических со­вокупностей: независимые с одинаковым объемом вы­борок (N ₁ = N ₂), независимые с разным объемом выбо­рок (N ₁ N ₂), сопряженные только с одинаковым объ­емом выборок (N ₁ = N ₂).

Независимые статистические совокупности могут быть получены на одной или нескольких точках, но при оди­наковых условиях проведения эксперимента: например, измерение температуры воздуха в июле в г. Минске в течение нескольких лет и установление достоверных раз­личий между этими показателями по годам исследова­ний; определение содержания бора в автономных ланд­шафтах. Поэтому при установ­лении степени свободы в каждом независимом экспери­менте выборочные совокупности суммируются.

Сопряженные статистические совокупности, как и не­зависимые, однозначны по смыслу, их получают при про­ведении исследований на одном или нескольких ключах, но в разных условиях. Например: измерение температур воздуха и почвы на глубине 5 см в г. Минске в июле и сравнение полученных показателей (условия разные, точка наблюдения одна и та же); Степень свободы в каждом рассматриваемом эксперименте опреде­ляется по числу пар сравниваемых выборок (N_u). Рассмотрим расчеты достоверности различий для одинакового и разного объемов выборок.

Пример 1. При исследовании глубины расчленения рельефа в Воложинском районе N ₁ и Браславском районе N ₂ необходимо уста­новить, объединять рассматриваемые участки в один геоморфологи­ческий район по степени расчленения рельефа или различать их как самостоятельные. Воложинский район – 20, 17, 16, 15, 15; Браславский район – 17,16, 15, 14, 14. (N₁ = N₂)

1) Находим среднее арифметическое для каждой выборки

Таблица 2 – Форма обработки вариант в независимых совокупностях

2) Находим разность между средними

                                   d =М₁ – M ₂                                              (4.2)

d = 16,6 – 15,2 = 1,4 м

При расчете разницы между средними из большей величины вычитают меньшую независимо от нумерации выборочных совокупностей.

3) Затем находят ошибки средних для каждой выборки в отдельности по формуле

                        (4.3)

4) Находим ошибку разности между средними по формуле:

                                      (4.4)

5) Число степеней свободы устанавливают следующим об­разом:

                                     v = N ₁ + N ₂ – 2                                    (4.5)

                                     v= 5 + 5 – 2 = 8

6) Определяем Критерий Стьюдента

                                              (4.6)

Сопоставляем табличные значения критерия Стьюдента t_т=2,32 и 3,36 (см. приложение 4) при Р=0,95 и 0,99 для v=8 с расчетным. Поскольку t_Т > t _Ф,, то разность между средними признается несу­щественной (недостоверной). Следовательно, при выделении геомор­фологических районов по глубине расчленения рельефа рассматри­ваемые участки необходимо объединить в один геоморфологический район.

Пример 2. При исследовании глубины расчленения рельефа в Воложинском районе N ₁ и Браславском районе N ₂ необходимо уста­новить, объединять рассматриваемые участки в один геоморфологи­ческий район по степени расчленения рельефа или различать их как самостоятельные. Воложинский район – 20, 17, 16, 15, 15; Браславский район – 17,16, 15, 14, 14, 16. (N₁ ≠ N₂)

1) Находим среднее арифметическое для каждой выборки

Таблица 2 – Форма обработки вариант в независимых совокупностях

2) Находим разность между средними d =М₁ – M ₂ = 16,6 – 15,3 = 1,3 м

3) Ошибка разности средних, определяется по формуле

              (4.7)

где Σ(x₁ – M₁)²  – сумма квадратов отклонений от среднего для первой выборки; Σ (х₂ –М₂)² – второй выборки; N₁, N₂– количество вариант в первой и второй выборках соответственно;

4) Число степеней свободы для разного объема выборок устанавливают следующим об­разом:

                      (4.8)

                                         (4.9)

m₁, m₂— ошибка среднего первой и второй выборок соответственно

                   (4.10)

5) Определяем Критерий Стьюдента

                                               (4.11)

Сопоставляем табличные значения критерия Стьюдента t_т=2,45 и 3,71 (приложение 4) при Р=0,95 и 0,99 для v=6 с расчетным. Поскольку t_Т > t _Ф,, то разность между средними признается несу­щественной (недостоверной) рассматри­ваемые участки необходимо объединить в один геоморфологический район.

Пример 3. Получены сопряженные выборки только с одинаковым объ­емом конечно-моренного ландшафта N ₁ и донно-моренного ландшафта N ₂. Число пар N _П = 5. Воложинский район – 20, 17, 16, 15, 15; Браславский район – 17,16, 15, 14, 14  ( N ₁ = N ₂).

1) Находим среднее арифметическое для каждой выборки

Таблица 3 – Форма обработки данных сопряженных наблюдений

Глубина расчленения, м		di
N1	N2
20	17	3	9	+ 1,6	2,56
17	16	1	1	—0,4	0,16
16	15	1	1	—0,4	0,16
15	14	1	1	—0,4	0,16
15	14	1	1	—0,4	0,16
Σ=83	Σ=76	Σ=7	Σ=13	Σ=0	Σ=3,20
M1=16,6	М2=15,2	= l,4		=1,4

2) Находим разность между средними

                                                                                               (4.12)

= 16,6 –15,2=1,4

3) Находим ошибку разности между средними по формуле:

                      (4.13)

                                             (4.14)

где di – разность между индивидуальными сопряжен­ными вариантами в выборках;   – разность между сред­ними сопряженных выборок; N _П – число сопряженных пар в сопряженных выборках.

4) Число степеней свободы устанавливают следующим об­разом:

                                  v = N_П – 2                                                  (4.15)

v= 5 – 2=3

5) Определяем Критерий Стьюдента

Сопоставляем табличные значения критерия Стьюдента t_т=3,18 и 5,84 (приложение 4) при Р=0,95 и 0,99 для v=3 с расчетным. Поскольку t _Ф > t_Т при Р=0,95,то разность между средними признается су­щественной (достоверной). Следовательно, при выделении геомор­фологических районов по глубине расчленения рельефа рассматри­ваемые участки необходимо рассматривать как самостоятельные.

2 Критерий наименьшей существенной разности (НСР) показывает то ми­нимальное различие между средними, начиная с которо­го при выбранном уровне вероятности средние сравни­ваемые показатели существенно отличаются друг от дру­га. Величина критерия НСР выражается в тех же единицах, что и сравниваемые средние выборочных со­вокупностей, и определяется по формуле:

                                                                       (4.16)

где т _d – ошибка разности средних; t_T – табличное зна­чение критерия Стьюдента при выбранном значении уровня вероятности.

Если разность между сравниваемыми средними в условиях эксперимента больше или равна величине НСР при Р = 0,95 или 0,99, то различие существенно. Если разность между средними меньше НСР, то различие обусловлено случайными факторами и признается недо­стоверным.

Проверим достоверность разности между средними арифметическими с использованием критерия НСР для случаев независимого и сопряженного наблюдений по формуле:

НСР₀,₉₅ = 2,32 • 1,1 = 2,55 м, НСР₀,₉₉ = 3,36• 1,1 = 3,696 м для независимых наблюдений;

НСР₀,₉₅ = 3,18 • 0,40= 1,27 м, НСР₀,₉₉ = 5,84 •,40 = 2,34 м для сопряженных наблюдений.

По величине НСР достоверное различие между средними уста­новлено лишь при сопряженном наблюдении для уров­ня вероятности 0,95 (HCP₀,₉₅=1,27< = 1,4 м).

3 Критерий Фишера (F) используется для установления достоверностиразличия между совокупно­стями по дисперсиям. В таких случаях лучше использовать критерий Фишера F (положи­тельное асимметричное распределение). Расчет критерия Фишера производится по формуле:

                                                                      (4.17)

где  по абсолютной величине должна быть больше, чем .

Если величина расчетного критерия Фишера F_Ф не превышает величины приведенного в таблице F_T (при­ложение 5), то различие между сравниваемыми диспер­сиями считается недостоверным. При Fф > F_т эти диспер­сии достоверно различны, а различие сравниваемых ге­неральных совокупностей признается неодинаковым. Степень свободы рассчитывается для сравниваемых со­вокупностей отдельно по формуле v = N – 1.

Пример. Необходимо установить достоверность различия в содержании гумуса в дерново-подзолистой заболоченной суглинистой почве для северной n ₁ и центральной n ₂ провинций РБ. Количе­ство вариант в обеих совокупностях одинаковое.

В результате обра­ботки данных получены следующие средние и дисперсии: M₁ = 3,53 %, =0,0024 %; M₂ = 3,32 %, =0,00032 %. Сравниваемые совокуп­ности весьма сходны и можно констатировать отсутствие различия между ними. Однако пределы колебаний в совокупностях сущест­венно отличаются по вариантам (более чем в 2 раза), что требует для доказательства сходства или различия использовать критерий Фишера. В результате вычислительных операций получены следую­щие результаты:

F_ф = / = 0,0024: 0,00032 = 7,5.

Степень свободы равна: v₁ = 5—1=4,

                                v₂ = 5—1=4.

Для P=0,95 и 0,99 F_T = 6,39 и 15,98 (приложение 5) соответственно. Поскольку Fф>F_т, то различие в содержании гумуса по провинциям признается существенным при уровне вероят­ности Р=0,95.

4 Критерий соответствия (χ²) - количественное изучение явле­ний требует создания гипотез, с помощью которых мож­но объяснить эти явления. Для этой цели используется критерий кси-квадрат (χ²), или кри­терий соответствия, который рассчитывается по формуле

                               (4.18)

где φ, φ' – число наблюдений в опыте фактическое и теоретически ожидаемое.

Если рас­четные значения кси-квадрат превышают табличные (приложение 6), то гипотеза о независимости признаков отвергается. Если < , то признаки можно считать не­зависимыми.

Степень свободы при проверке гипотезы о нормальном распределении вычисляется по формуле

                                             v = k –3                                          (4.19)

где k – число классов.

Достоверность расчетных данных можно также оце­нить по формуле:

                                                                       (4.20)

Различие считается достоверным, если D 3. При обра­ботке данных по условиям применения критерия кси-квадрат требуется, чтобы частота в каждом классе была не менее пяти.

Пример. Следует определить число сельских жителей с бронхолегочными заболеваниями, обострение болезни у которых связано с природными условиями местожительства.

Для обработки выбороч­ных вариант составляем таблицу. Всего выявлен 71 больной жи­тель из 639 обследованных одного возраста и пола по 9 человек в каждом населенном пункте.

Таблица 4 - Сравнение эмпирических и теоретических частот с использованием критерия кси-квадрат

Число обследованных жителей (классы)	Число фактических больных, φ	Число теоретически больных, φ'	φ – φ'	(φ- φ')2	(φ- φ')2 φ'
1	2	3	4	5	6
1-71 72-142 143-213 214-284 285-355 356-426 427-497 498-568 569-639	10 15 12 10	13 14 10 11	-4 (11-15)   -3 1 2 -1 5	16   9 1 4 1 25	1,06   0,69 0,07 0,40 0,09 3,12
i=9	N=71	N=71		=5,43

Для обработки данных количество об­следованных сгруппировано в 9 классов. Поскольку частота в каж­дом классе φ, φ' должна быть не менее 5, объединяем первые три и последние два класса в столбцах 2 и 3. Получаем новые классы с частотами 11,15 и 13,8 (всего по 6 классов распределения). Затем производим расчеты, которые позволяют получить критерий  (см. таблицу).

Сравниваем и при величине степени свободы v= k –3=6–3=3 и для Р= 0,95. Поскольку =5,43< =7,815 (приложение 6), теоретическое распределение частот несущественно отличается от эмпи­рического, а гипотеза признается состоятельной.

Определим также достоверность :

Полученная величина D=0,99<3, следовательно, рассчитанное значение  показывает достоверное влияние природных условий на распространение бронхолегочных заболеваний.

Задания для самостоятельной работы

1 Необходимо установить достоверность различия в содержании гумуса в дерново-подзолистой заболоченной суглинистой почве для северной N₁ и центральной N₂ провинций РБ. Количество вариант в обеих совокупностях одинаковое. В результате обработки данных получены следующие средние и дисперсии:  М₁= 4,223 %, σ₁²= 2,055 %;  М₂= 3,15 %, σ₂²= 22,1 %; N = 15.

2 Сравнить глубину расчленения рельефа в пределах конечно-моренного ландшафта N₁ и донно-моренного ландшафта N₂ (получены сопряженные выборки). Исходные данные представлены в таблице 2.

3 При исследования глубины расчленения рельефа в двух районах Беларуси N₁ и N₂ необходимо установить, объединять рассматриваемые участки в один геоморфологический район по степени расчленения рельефа или различать их как самостоятельные. Данные приведены в таблице 2.

Таблица 2

4 Собрав данные о городах юго-запада Англии с числом жителей 8-12 тыс. в каждом, обнаружено, что число антикварных магазинов выше среднего (5) в тех городах, где высока доля пенсионеров. Таблица 1 показывает полученное распределение частот.

Таблица 1 – Наблюдаемое и теоретическое распределение антикварных магазинов по группам городов, сгруппированных с учетом доли пенсионеров в их населении

Проверить, правильно ли утверждение.

5 Существует гипотеза, что распределение пастбищ не зависит от высоты местности над уровнем моря. Доказать или опровергнуть гипотезу. Оценить достоверность расчетов. Данные представлены в таблице 3

Таблица 3

Вопросы для самоконтроля

1 Назовите основные статистические критерии различия?

2 Какие виды выборок используются для обработки с помощью критериев различия?

3 Что показывает критерий НСР?

4 С какой целью используется критерий Стьюдента при обработке выборок различного объема?

5 По какому критерию устанавливаются различия между выборочными совокупностями?

6 Какой критерий доказывает или опровергает выдвинутую гипотезу?

Приложение 1

Таблица 1 - Таблица достаточно больших чисел

Приложение 2

Таблица 2 -  Случайные числа

Приложение 3

Таблица 3 - Значение критерия τ в зависимости от объема выборки N и уровня значимости α

Приложение 4

Таблица 4 - Значения критерия Стьюдента t при различных уровнях значимости

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры