I. Функции нескольких переменных.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

1.1 Определение функции нескольких переменных

1.2 Предел функции двух переменных

1.3 Непрерывность функции двух переменных

II. Частные производные

2.1 Частные производные

2.2 Полный дифференциал

2.3 Производная и дифференциал сложной функции

2.4 Неявные функции и их дифференцирования

III. Частные производные и дифференциалы высших порядков

3.1 Частные производные высших порядков

3.2 Признак полного дифференцирования

3.3 Дифференциалы высших порядков

Список литературы

I. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.

Определение функции нескольких переменных.

Переменная z называется функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.

Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений функции z. Переменные x и называются аргументами функции.

Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки M , либо как скалярную функцию векторного аргумента .

Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных . Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.

Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.

Предел функции двух переменных.

Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству  или  называется δ-окрестность точки .

Определение. Число A называет пределом функции  при стремлении точки M к точке , если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек M из области определения этой функции, удовлетворяющих условию  имеет место неравенство . Обозначают это так:  или

Функция  называется бесконечно малой при  если

Непрерывность функции двух переменных.

Пусть точка  принадлежит области определения . Определение. Функция  называется непрерывной в точке  если

 или  причем точка M стремится к M₀ произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Обозначим , . Полным приращением  при переходе от точки , к точке M называется разность значении функции в этой точке , т.е.

II. Частные производные.

Частные производные.

   Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных  в точке  частные производные определяются так:

,

,     

если эти пределы существуют. Величина                 называется частным                          приращением функции z в точке  по аргументу . Используются и другие   обозначения частных производных:

       , , ,  ,

       , , ,  .

Символы , , ,    как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная  - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности  и плоскости                          в соответствующей точке.

  Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная  есть скорость изменения функции  относительно  при постоянном .

  Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Пример 1. Если , то , .

   Пример 2. Если , то , . Величина  называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

Полный дифференциал.

.                                         (1)

Если приращение (1) можно представить в виде   ,                                                   (2)

Где А и В не зависят от  и , а  и  стремятся к нулю при стремлении к нулю  и , то функция  называется дифференцируемой в точке , а линейная часть  приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от  и  линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке  и обозначается символом :

                              .                                                                 (3)

 Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

 Действительно, если в точке  функция  дифференцируема, то для этой точки   представимо в форме (2), откуда следует, что

                              ,

а это и означает, что в точке  функция  непрерывна.

Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).

В самом деле, пусть функция  в точке  дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем , имеем:

                                .

Деля на  и переходя к пределу при , получаем:

                                .

Это означает, что в точке  существует частная производная функции  по  и .                                                                              (4)

Аналогично доказывается, что в точке  существует частная производная                        

                              .                                                                        (5)

Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде

                                 .

  Если положить , то , т.е. . Аналогично, полагая , получим . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция  имеет частные производные в некоторой окрестности точки  и эти производные непрерывны в самой точке , то эта функция дифференцируема в точке .

Доказательство. Дадим переменным  и  столь малые приращения  и , чтобы точка  не вышла за пределы указанной окрестности точки . Полное приращение  можно записать в виде .

Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:

                  (6)

Так как производные  и  непрерывны в точке , то

,

Отсюда

    , , где    и  - бесконечно малые при , . Подставляя эти значения в равенство (6), находим:

    ,

а это и означает, что функция  дифференцируема в точке .

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте