Декартова система координат в пространстве

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Определение 19. Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных числовых осей, имеющие общее начало  и совпадающее с точкой пересечения.

Оси, составляющие прямоугольную систему координат в пространстве называются координатными осями и обозначаются ,  и :

 – ось абсцисс;

 – ось ординат;

 – ось аппликат.

Положение каждой точки  пространства определяется тремя вещественными числами. Этими числами являются:

1) проекция точки  на ось ; обозначают ;

2) проекция точки  на ось ; обозначают .

3) проекция точки  на ось ; обозначают .

Рис. 21

Определение 18. Упорядоченная тройка чисел  называется прямоугольными (декартовыми) координатами точки  пространства  и обозначается .

Каждой точке  пространства  соответствует единственная упорядоченная тройка числе  и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел  соответствует единственная точка  пространства .

Координатные оси ,  и  делят пространства  на восемь октантов. Каждая точка , не принадлежащая координатным осям, содержится в одной из восьми октантов. Обозначение этих октант и знаки координат точки:

	Октант	Знаки	Октант	Знаки

На каждой из координатных осей выберем единичный вектор с началом в точке  и концом в точке с координатой . Обозначим:

 – единичный вектор оси ;

 – единичный вектор оси ;

 – единичный вектор оси .

Эти три единичных вектора называются ортами. Они образуют декартов ортогональный базис.

Рассмотрим вектор  в пространстве. Отложим его из начала координат  (рис. 22). Через его конец проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Получим прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является вектор .

Рис. 22

Из рис. 22 ясно, что:

.

Векторы ,  и  являются составляющими вектора . Представив составляющие с помощью произведения проекции на единичный вектор, получим

, , .

Обозначив

, , ,

будем иметь

.

Полученная формула называется разложением вектора на составляющие по координатным осям. Числа  называются прямоугольными декартовыми координатами вектора . Координаты вектора будем записывать в виде

.

Вектор  с началом в начале координат и концом в точке  называется радиус-вектором  точки . Координаты радиус-вектора  совпадают с координатами точки :

или .

Пусть  и  – произвольные точки пространства. Координаты вектора  вычисляются по формуле

или

.

Для получения координат вектора из координаты конца нужно вычитать соответствующие координаты начала.

Если известны координаты вектора, то линейные операции над векторами можно заменить соответствующими арифметическими операциями над координатами.

Пусть , . Тогда

;

;

.

Если векторы заданы в виде

, ,

то линейные операции выполняются так:

.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров