Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 13Следующая ⇒

Рассмотрим несобственный интеграл

Опр. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Опр. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, но интеграл  расходится.

Пример.

 ( без доказательства, см. рис. 17).

Рис. 17

Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах.

Рис. 18

Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах

 непрерывна на

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями  Пусть  – разбиение отрезка  на элементарные отрезки ; ; .

Рассмотрим площадь  части фигуры, удовлетворяющей условию . Пусть  и  – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции  на

 заключена между площадями прямоугольников с высотой  и

Сложим по  от  до :

Т.е.

где  – интегральные суммы, соответствующие разбиению  и выбору точек  и  соответственно (нижняя и верхняя интегральные суммы Дарбу); при

Из (1.9.1) получаем:

Замечания:

1.  (см. рис. 19.)

Рис. 19

2.  (см. рис. 20).

Рис. 20

3.  (см. рис. 21).

Рис. 21

Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах.

Рассмотрим кривую, , где функция непрерывна на .

                          Рис. 22

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями . Пусть  – разбиение :

Рассмотрим площадь  части фигуры, удовлетворяющей условию  (см. рис. 22). Пусть  и  – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции :

.

 заключена между площадями круговых секторов радиусов  и :

Сложим по  от  до :

Т.е.

где  – интегральные суммы функции , соответствующие разбиению  и выбору точек  и  соответственно (нижняя и верхняя интегральные суммы).

При  из (1.9.2) получаем: .

Замечания:

1.  (см. рис. 23).

Рис. 23

2.  (см. рис. 24).

Рис. 24

Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения.

Рис. 25

Рассмотрим в пространстве тело , каждая точка  которого удовлетворяет неравенству . Пусть площадь сечения  плоскостью  равна  непрерывна на . Найдем объем  тела . Зафиксируем . Рассмотрим малое . Рассмотрим часть (слой) тела , соответствующий отрезку . Объем этой малой части  приблизительно (c точностью до бесконечно малых выше первого порядка относительно  равен объему цилиндра с площадью основания  и высотой  

Суммируя по всем таким тонким слоям, получаем

Объемы тел вращения.

Рис. 26

Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси  (см. рис. 26).

Найдем объем  тела вращения. Зафиксируем . Сечение тела плоскостью  – круг радиуса . Тогда

Ту же фигуру вращаем вокруг оси  (см. рис. 27).

Рис. 27

Рассмотрим малый отрезок , где . При вращении соответствующей части фигуры получаем тело объема , где  – площадь кольца радиусов  и  соответственно:

Тогда

Суммируя по тонким "слоям", получим

Общий случай:

Таким образом получаем для вращения фигуры, ограниченной линиями , имеем

При вращении фигуры, ограниченной линиями  (см. рис. 28).

Рис. 28

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности