Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 17Следующая ⇒

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой , двумя прямыми x = a, x = b и отрезком [ a; b ] оси OX вычисляется по формуле: .

Пример: Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой  и осью OX.

Решение. Находим точки пересечения параболы с осью OX: . Тогда искомая площадь равна: .

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми , ,  и двумя прямыми x = a, x = b, находится по формуле: .

Пример: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Находим точки пересечения линий: . Получаем .

Вычисляем площадь:

.

Пусть функция  - непрерывна на [ a; b ] и  для всех . Рассмотрим фигуру Ф, симметричную фигуре F относительно оси OX.

, .

Таким образом, .

Если  конечное число раз меняет знак на отрезке [ a; b ], то интеграл по отрезку [ a; b ] разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положителен на тех отрезках, где , и отрицателен там, где . Тогда сумма площадей вычисляется по формуле:

.

2. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями.

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной в параметрической форме   где , , .

Данные уравнения определяют некоторую функцию  на отрезке [ a; b ]. Так как , а , получаем: . Таким образом, .

Пример: Вычислите площадь области, ограниченной эллипсом .

Решение.

.

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.

Пусть в полярной системе координат задана кривая , где  – непрерывная функция при . Площадь сектора OAB, ограниченного кривой  и радиусами-векторами  и , вычисляется по формуле: .

Пример: Найдите площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля .

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая  на отрезке [ a; b ] – гладкая (т.е. производная  непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

.

Пример: Вычислите длину дуги цепной линии  от  до .

Решение. ,     ,

Тогда

.

При параметрическом задании кривой , , где  и  – непрерывно дифференцируемые функции, длина дуги кривой, соответствующая изменению параметра t от  до  выражается интегралом

.

Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением , где , то длина дуги равна

.

Вычисление объёма тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой  и прямыми x = a, x = b, вращается вокруг оси OX, то объем тела вращения вычисляется по формуле

.

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой  и прямыми y = c, y = d, вращается вокруг оси OY, объем тела вращения равен

.

Пример: Вычислите объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной параболой , вокруг оси OX.

Решение.

.

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?