Все они впоследствии стали лауреатами нобелевской премии по физике.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 13Следующая ⇒

Основоположниками квантовой механики считаются Нильс Бор, Макс Планк, Альберт Эйнштейн, Луи де Бройль, Эрвин Шредингер, Вернер Гейзенберг.

Все они впоследствии стали лауреатами Нобелевской премии по физике.

Лекция 1

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ: ЯВЛЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ

Основные явления, которые в этой области не могла объяснить классическая физика, это:

Законы теплового излучения

(и поглощения) абсолютно черного тела;

2) фотоэффект.

Абсолютно черное тело – тело, поглощающее полностью попадающее на него электромагнитное излучение, в частности, тепловое или оптическое.

Модель абсолютно черного тела

Введем плотность излучения ,

где  - энергия излучения, приходящаяся на интервал частот .

На эксперименте вначале отверстие закрывают, нагревают черное тело до температуры Т, и из-за колебаний частиц в стенках полости она заполняется равновесным тепловым излучением. Затем отверстие открывают и исследуют спектр выходящего теплового излучения.

Законы:

а). Вид спектра излучения (и поглощения) (впоследствии его назвали «планковским»).

Особенности спектра:

1.  Распределение энергии по спектру неоднородное и зависит от температуры. При этом функция ρ(ω, Т) →0 при ω →0 и ω → ∞.

Площадь под кривой существенно зависит от температуры.

3.  Частота, определяющая положение максимума, ω _m Т.

б). Закон Вина

При больших частотах ρ(ω,Т) exp (- b ω / T)

(константа b >0).
 

в). Закон Стефана-Больцмана

Полная энергия излучения (площадь под кривой)

(σ – постоянная Стефана-Больцмана).

Классическая теория для плотности излучения дает закон Релея-Джинса: ρ(ω,Т) ω ² T.

Видно, что ρ(ω,Т) → , когда ω → , и = .

Этот результат известен под названием: «ультрафиолетовая катастрофа».

Фотоэффект

С позиций классической физики нельзя было объяснить второй закон фотоэффекта. Почему?

Электрон обладает электрическим зарядом – e. При облучении вещества со стороны электромагнанитной волны на него будет действовать сила , где - напряженность электрического поля. Следовательно, ускорение электрона  и скорость вылетающего электрона тоже пропорциональна  : .

В результате кинетическая энергия вылетевшего электрона . В электродинамике величина  определяет интенсивность электромагнитной волны, т.е. энергия электрона должна зависеть от интенсивности, а не от длины волны (или частоты).

Чтобы устранить противоречия между экспериментом и классической физикой, необходимы были новые идеи. Они были сформулированы М.Планком и А.Эйнштейном. Оба ученых сделали предположение:

Из этого «закона Планка» получаются и закон Релея-Джинса, и закон Вина.

При малых частотах, когда можно считать , экспоненту можно разложить в ряд, оставив только два члена разложения:

                             .                        (1.2)

Подставив (1.2) в (1.1), получим: , что соответствует закону Релея-Джинса.

При больших частотах, когда можно считать ,

единицей в знаменателе (1.1) можно пренебречь. Тогда , что соответствует закону Вина, причем константа .

Объяснение законам фотоэффекта дал А. Эйнштейн. Он предположил, что само световое излучение состоит из квантов – из фотонов. Фотон – это частица, обладающая энергией и импульсом , где - волновой вектор, направленный в сторону распространения излучения ().

При облучении светом вещества электрон поглощает фотон. Энергия фотона тратится на преодоление энергетического барьера для электрона на границе вещества (это работа выхода W _вых.) и его кинетическую энергию ԑ. Иными словами, из закона сохранения энергии следует:

                   .             (1.3)

Из (1.3) видно, что энергия вылетающего электрона зависит только от частоты излучения (работа выхода W _вых. для конкретного вещества является константой), как и следует из эксперимента.  

Итак, и в теории излучения черного тела М. Планка, и в теории фотоэффекта А. Эйнштейна преодоление трудностей классической физики было найдено в реализации идеи дуализма (двойственной природы) света. Как оказалось, свет может проявлять и свойства волн (это его волновая природа, известная в классической макрофизике), и свойства частиц – фотонов (новое представление при трактовке явлений на уровне микромира). Именно последнее обстоятельство обеспечило успех теории и заложило фундамент квантовой механики.

Лекция 2

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ: ЯВЛЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ АТОМНОЙ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ СТРУКТУРОЙ ВЕЩЕСТВА

Основные явления, которые в этой области не могла объяснить классическая физика:

Экспериментально было показано, что некоторые физические характеристики атомов являются дискретными. Так, в опытах Франка-Герца была доказана дискретность величины энергии, которую могут принимать атомы ртути при столкновениях с электронами. В экспериментах Штерна-Герлаха была продемонстрирована дискретность проекции момента количества движения атома на заданное направление, т.е. пространственное квантование у атомов.

Недостатки теории.

Даже его спектр.

Что такой путь правильный.

Однако требовались новые идеи.

Лекция 3

ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ И ЕЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ

Объяснение явлений, обусловленных взаимодействием с веществом электромагнитного излучения, было получено в предположении, что последнее имеет двойственную природу – проявляет и свойства волн, и свойства частиц в виде фотонов. Это дуализм «волна-частица».

Тем не менее, гипотеза де Бройля требовала экспериментального подтверждения. Надо было показать,  что микрочастицы, обладая свойствами волн, могут дифрагировать и интерферировать. Эти явления являются особенностью только волнового движения.

Является общепринятой

Частица в потенциальной яме

 с бесконечно высокими стенками

Физический смысл волновой функции остается таким же, как и у волны де Бройля:

квадрат модуля волновой функции определяет вероятность обнаружения микрочастицы   в данном месте пространства

в момент времени t.

                                     .    (4.1)

Возьмем элемент объема dV (иначеего обозначают как d ³ r, в декартовой системе координат (x, y, z) →

dV = dx ۰ dy ۰ dz, в сферической системе координат

(r, θ, φ) → dV = r ² ۰ dr ۰ dΩ, где dΩ = sinθ ۰ dθ ۰ dφ

– элемент телесного угла). Тогда дифференциальная вероятность dw обнаружить микрочастицу в этом элементе объема будет (по М. Борну):

          .        (4.2)

Величина    называется плотностью вероятности:

               .          (4.3)

По теореме сложения вероятностей вероятность обнаружить микрочастицу вообще где-то в пространстве  будет достоверным событием. Следовательно,

                      .                (4.4)

Это условие нормировки волновой функции. Оно используется для определения произвольной константы, которая обычно возникает при нахождении волновой функции. Эта константу называют нормировочной.

От волновой функции требуется выполнение стандартных условий. Это:

а) конечность; б) непрерывность; в) однозначность.

Суммируем сказанное.

Если микрочастица не одна и их количество N, то волновая функция будет зависеть от координат всех микрочастиц: . Тогда величина дает в момент времени tвероятностьодновременного обнаружения

всех частиц, каждую в своей пространственной точке  (i = 1, 2,…, N).

Условие нормировки будет иметь вид:

        .

Часто весь набор координат    обозначают одной буквой ξ, т.е. ξ = ( ). Тогда  .

Лекция 5

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ОПЕРАТОРНЫЙ ФОРМАЛИЗМ

Микрочастицы обладают как свойствами частиц, так и волн – это «корпускулярно-волновой дуализм». Как следствие, математический аппарат классической физики для них не применим. Для описания состояния микрочастиц используется операторный формализм.

Пусть имеются две функции одного класса:  и . Если есть математическая операция (обозначим ее ), которая переводит функцию  в функцию , т.е. = , то  - это и есть оператор.

Иными словами, оператор – это символ, который показывает, какое действие следует произвести над функцией данного класса, чтобы получить другую функцию того же класса.

Арифметика операторов.

Сложение операторов

Оператор  называется суммой операторов  и , если результаты действия на произвольную функцию Ψ операторов  и  будут одинаковы:

                       Ψ = Ψ Ψ.                      (5.1)

Естественно, что вместо знака (+)

Умножение операторов

Оператор  называется произведением операторов  и , если результаты действия на произвольную функцию Ψ операторов  и  будут одинаковы:

                      .                (5.2)

Каждой динамической переменной классической механики в квантовой механике сопоставляется линейный эрмитовый оператор. Соотношение между операторами такое же, как и между динамическими переменными в классической механике.

В классической механике для характеристики состояния системы используются динамические переменные:

 - координата,  - импульс,  - момент импульса (иначе – момент количества движения), E - энергия.

Квантовая механика использует операторный формализм.

Физические операторы имеют вид (вид некоторых из них впоследствии будет обоснован из свойств пространства-времени и законов сохранения):

а). Оператор координаты .

Его действие на функцию сводится просто к умножению этой функции на соответствующую координату, т.е.

;

аналогично действие операторной функции  от сводится просто к умножению на функцию , т.е.

.

б). Оператор импульса .

  .       (7.1)

Соответственно векторный оператор импульса имеет вид:

 . (7.2)

Таким образом,  выражается через известный в векторной алгебре оператор «набла»:

               .              (7.3)

в). Оператор момента импульса .

В классической механике оператор момента импульса имеет вид:   (  - знак векторного произведения). В соответствии с постулатом 3 оператор момента импульса будет иметь вид:

                                 .                      (7.4)

  =

=  =

=  .    

Отсюда следует, что компоненты векторного  оператора  имеют вид:

. (7.5)

Наряду с операторами   обычно рассматривают и оператор квадрата момента импульса  :

                                       (7.6)

Операторы  определены выше в декартовой системе координат (x, y, z), и

оператор , рассчитанный по ф-ле (7.6), также получится в этой системе координат.

Поскольку физически момент импульса связан с поворотами системы в пространстве, часто удобнее пользоваться его определением в сферической системе координат (r, θ, φ). В этой системе наиболее используемые на практике операторы  и имеют вид:

    . (7.7) 

г). Оператор энергии

Приведем сначала вид оператора кинетической энергии . В классической механике выражение для кинетической энергии имеет вид:

.

Здесь m и - масса и скорость частицы, - ее импульс. В квантовой механике вводится лишь оператор импульса. Тогда в соответствии с постулатом 3 оператор кинетической энергии будет иметь вид:

. (7.8)

Δ – оператор Лапласа. Здесь использован вид операторов и  (см. ф-лы (7.2) и (7.3)) и учтено, что

     .     (7.9)

В классической механике полная энергия частицы равна:

 .

Здесь  - потенциальная энергия частицы,  - функция Гамильтона. В соответствии постулатом 3 оператор полной энергии микрочастицы будет иметь вид:

                .           (7.10)

 называется оператором Гамильтона. В явном виде

                         ,                  (7.11)

или

                         .                    (7.12)

Нередко требуется оператор Гамильтона не в декартовой,

 а в сферической системе координат.

Он имеет вид:

         .    (7.13)

Таблица физических операторов

Физическая величина	Оператор физической величины
Координата и функция от нее и	Операторы координаты  и функции от нее  и
Импульс	Оператор импульса ; ; . ; .
Момент импульса (момент количества движения) ,	Оператор момента импульса (момента количества движения) ,
Энергия (функция Гамильтона)	Оператор энергии (гамильтониан)

Дискретный спектр

Предположим, что нас интересует физическая величина F с дискретным спектром и для ее оператора  известны собственные функции и собственные значения, т.е. известно решение уравнения

φ _n (ξ) = F _n φ _n (ξ) (n =1, 2, …).
Пусть физическая величина F не имеет определенного значения в заданном состоянии Ψ(ξ). Тогда при неоднократном измерении F каждый раз, в принципе, будут получаться разные значения из спектра, и можно ставить вопрос о вероятности результата ее измерения. Для ее расчета, используя свойство полноты системы собственных функций { φ₁(ξ), φ₂(ξ), …, φ _n (ξ), … }, разложим по ним волновую функцию Ψ(ξ):

                  .               (8.3)

Здесь коэффициенты разложения a_n имеют вид (см. формулу (6.4)):

              .               (8.4)

Подставим Ψ(ξ) в виде (8.3) и аналогичное разложение для Ψ^*(ξ) в выражение(8.1)для среднего значения :

.

                    .                   (8.5)

Кроме того, коэффициенты разложения a_n в (8.3) удовлетворяют критерию полноты (см. (6.5)):

                      .                      (8.6)

Предположим, что нам была бы известна вероятность W_n (F = F_n)  того, что при измерении величины F будет получено конкретное значение

F = F_n. Тогда величину (иначе – «математическое ожидание») можно вычислить по правилам теории вероятностей:

                                        (8.7)

при условии, что

                       .                  (8.8)

Из сравнения формул (8.7) и (8.5), а также (8.6) и (8.8), следует:

     .  (8.9)

Это и есть искомая вероятность результата измерения физической величины. Для ее расчета следует разложить волновую функцию Ψ(ξ) в ряд по собственным функциям φ₁(ξ), φ₂(ξ), …, φ _n (ξ), … оператора   с дискретным спектром собственных значений. Тогда квадрат модуля соответствующего коэффициента разложения и определит искомую вероятность. Можно и сразу воспользоваться формулой (60), однако первый способ иногда может быть проще.

Непрерывный спектр

В случае, если оператор   имеет непрерывный спектр собственных значений F и известны его собственные функции φ (F, ξ), то способ нахождения вероятности результата измерения аналогичен случаю дискретного спектра. Однако теперь из-за непрерывности спектра следует вводить вероятность dW (F) = W (F) dF того, что физическая величина F находится в бесконечно малом интервале F, F + dF. Величина W (F) называется плотностью вероятности. Далее следует рассчитать среднее значение физической величины  по правилам теории вероятности, используя дифференциальную вероятность dW (F) = W (F) dF. Затем необходимо сделать прямой расчет величины  по формуле (8.1), разложив волновую функцию Ψ(ξ) по собственным функциям φ (F, ξ) (см. ф-лу (6.10)):

и сравнить результаты. При этом еще надо учесть, что

коэффициент разложения a (F) имеет вид

(см. ф-лу (6.11))

и для него выполняется критерий полноты

 (ф-ла (6.12)):

.

В итоге получается, что искомую плотность вероятностиW (F) можно вычислить по формуле, аналогичной ф-ле (8.9):

    . (8.10)

Соответственно дифференциальная вероятность имеет вид:

. 

Лекция 9

ВРЕМЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА.

Уравнение Шрёдингера позволяет находить вид волновой функции микрочастицы или системы микрочастиц. В соответствии с постулатом 1 волновая функция Ψ(ξ, t) определяет все свойства системы в данный момент времени t. Это означает, что волновая функция Ψ(ξ, t) определяет и то, как система будет меняться в будущем. Иными словами, функция Ψ(ξ, t) должна определять, как будет изменяться в будущем и ее первая производная по времени. Поэтому можно написать

 ,

где - пока неизвестный нам оператор с размерностью [время]^-1, решающий поставленную задачу. Для дальнейшего удобно его переопределить:

,

где оператор также пока не известен. Так как размерность постоянной Планка  - это [энергия·время], то оператор имеет размерность энергии. С учетом этой замены получаем:    

              .              (9.1)

В общем случае . Про зависимость от пространственной переменной пока ничего не известно, а вот от времени t оператор должен зависеть как от параметр а, т.е. не содержать ни производных, ни интегралов по t. Действительно, пусть в оператор входит первая производная по времени . Но цель уравнения (9.1) как раз и выразить первую производную от волновой функции через саму эту функцию, и с помощью оператора как раз такая задача и решается. Получается, что включение в этот оператор производной  выражает  не только через Ψ(ξ, t), как требуется, но еще и через нее саму же. Иными словами, оператор будет не тем, который нужен. Предположим теперь, что в  входит вторая производная по времени . Тогда для полного определения состояния системы в момент времени t =0 требуется задать в этот момент времени не только саму волновую функцию Ψ(ξ, t =0), но и ее первую производную . Это противоречит постулату 1, согласно которому все должна определять только волновая функция Ψ(ξ, t =0). Помимо этой функции, для полного определения состояния системы в момент времени t =0 дополнительно потребуются и другие функции, если в операторе будут производные , n =3, 4, … Это опять будет противоречить постулату 1. Аналогичная ситуация будет возникать и тогда, когда в операторе будет содержаться интегрирование по времени. Опять в этом случае для определения состояния системы в момент времени t =0 не будет достаточно знания только Ψ(ξ, t =0). Потребуется знать всю предыдущую историю системы, т.е. поведение волновой функции Ψ(ξ, t <0), что также противоречит постулату 1.

Для нахождения координатной зависимости

 оператора можно воспользоваться тем, что нам известен вид волновой функции для свободно движущейся частицы. Это волна де Бройля    . Будем рассматривать нерелятивистскую задачу, поэтому можно считать: . Подставим  в уравнение (9.1) и подберем так вид оператора , чтобы это уравнение удовлетворялось. Подстановка в левую часть (9.1) дает:

.

В итоге

                                        .              (9.2)

При подстановке  в правую часть уравнения (9.1) воспользуемся постулатом 3. Для свободно движущейся частицы, когда силового поля нет, ее полная энергия – это кинетическая энергия, т.е. . В соответствии с постулатом 3 оператор кинетической энергии  

(см. ф-лу (7.8)). Поэтому в уравнении (9.1) можно считать, что  . Подставим этот оператор и функцию  теперь в правую часть уравнения (9.1):

.

В итоге

                  .              (9.3)

Из сравнения (9.2) и (9.3) следует, что уравнение (9.1) удовлетворяется тождественно при одновременной замене →  и оператора на оператор кинетической энергии . Иными словами, для свободно движущейся частицы уравнение (9.1) имеет вид:

                 ;            (9.4)

                       .                 (9.5)

Пусть на микрочастицу действует силовое поле, описываемое потенциальной функцией . Постулируется, что оператор , который в (9.5) имел вид оператора кинетической энергии , следует заменить на оператор . В итоге для нахождения волновой функции микрочастицы  получится уравнение:

                 ;            (9.6)

                     .               (9.7)

Уравнение (9.6) с оператором в виде (9.7) было получено в 1926 г. Э. Шрёдингером и называется: «Уравнение Шрёдингера». Это основное уравнение квантовой механики. Оно позволяет найти волновую функцию микрочастицы, содержащую всю необходимую физическую информацию о ее состоянии.  Оператор , определенный ф-лой (9.7), принято называть оператором Гамильтона, или гамильтонианом.

Особенностью уравнения Шрёдингера является наличие в нем мнимой единицы i. Это дифференциальное уравнение есть первого порядка по времени. Обычно в физике уравнения такого рода описывают необратимые процессы, например, процессы диффузии или теплопроводности. Из-за мнимой единицы уравнение Шрёдингера допускает и периодические решения.

Из-за наличия в уравнении потенциальной функции , вид которой зависит от физических условий, в которых движется микрочастица, для уравнения Шрёдингера невозможно написать общее решение. По сути дела, его в зависимости от вида  приходится каждый раз решать заново.

Наконец, дифференциальное уравнение первого порядка по времени требует задания начального условия, т.е. вида в начальный момент времени волновой функции . Для ее нахождения поступают следующим образом. В начальный момент времени t =0 из эксперимента для микрочастицы определяют набор физических величин L, M, N, …, которые одновременно имеют определенные значения. Их число должно быть равно числу степеней свободы у микрочастицы. Можно показать, что соответствующие физические операторы  будут коммутировать друг с другом. Как упоминалось в конце лекции 6, операторы такого рода будут иметь общую систему собственных функций. Произведение этих функций и будет определять .

Можно записать уравнение Шрёдингера и для системы из N микрочастиц:

,   ; (9.8)

. (9.9)

Здесь m_j - масса j -ой частицы, ,  - потенциальная функция, характеризующая силовое поле, которое действует на j -ую частицу,   - потенциальная энергия взаимодействия i -ой и j -ой частиц,  - расстояние между ними.

  Лекция 10

СОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЧАСТИЦ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

В классической механике закон сохранения числа частиц следует из уравнения непрерывности

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?