Постановка задачи в классическом подходе

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

  В классическом подходе полагается, что производятся наблюдения некоторой скалярной величины d, которая связана с оцениваемыми величинами х₁, х₂,... х _N линейным уравнением следующего вида, названным уравнением наблюдения (измерения):

         а _I * х₁ + b _I * х₂  + c _I * х ₃ +.... = d _I ,                   (4.11)

где I - порядковый номер измерения,

    а _I,b _I, c _I  - коэффициенты уравнения наблюдения.

     Для оценки вектора Х = [ х₁, х₂, х ₃ ] проведем  m   измерений, причем m > n    Для каждого из N измерений составим уравнение наблюдения вида (4.11). Набор этих уравнений в совокупности даст нам избыточную систему уравнений следующего вида:

           а ₁ * х₁ + b ₁ * х₂  + c ₁ * х ₃ +.... = d ₁   

           а ₂ * х₁ + b ₂ * х₂  + c ₂ * х ₃ +.... = d ₂ 

                                                                                                  (4.12)

           ..............................................................

           а _m * х₁ + b _m * х₂  + c _m * х ₃ +.... = d _m

       В связи с тем, что коэффициенты этой системы уравнений определяются результатами измерений и, следовательно, содержат случайные ошибки, в общем случае избыточная система уравнений не имеет точных решений.

      Оценка вектора Х определяется методом наименьших взвешенных квадратов (МНВК). В этом методе для каждого из  m уравнений наблюдений рассчитываются невязки между измерением и прогнозом оценки:

         d _I = а _I * х₁ + b _I * х₂  + c _I * х ₃ +.... - d _I         (4.13)

и формируется критерий оптимальности оценки:

      J = S _I=1 ^m k _I * d _I ²,                                                (4.14)

Искомая оценка вектора Х получается из условия минимума критерия оптимальности:

         min J (X):     ¶ J (X) / ¶ X = 0,                     (4.15)

           X

где производная от скаляра J по вектору Х даст нам следующую систему N уравнений (N - размерность вектора Х):

¶ J / ¶ x₁ = 0 = 2* S _I=1 ^m k _I * d _I *  a _I ,

¶ J / ¶ x ₂ = 0 = 2* S _I=1 ^m k _I * d _I * b _I,

                                                                                            (4.16)

.............................................................

¶ J / ¶x_N = 0 = 2* S _I=1 ^m k _I * d _I * n _I,

В уравнениях (4.16) a _I - коэффициент компоненты x₁ в I-ом уравнении наблюдения,  n_I - коэффициент компоненты x_N в I-ом уравнении наблюдения.

Решение системы уравнений (4.16) и даст нам искомые оценки вектора Х. Данная система уравнений является линейной относительно составляющих вектора Х и может быть представлена в следующем виде:

           A * X = B.                                                     (4.17)

Решением (4.17) является выражение (4.18):

          X = A ^-1 *B,                                                         (4.18)

где А и В - матрицы коэффициентов.

Решение имеет место, когда детерминант матрицы А не равен нулю.

ТОЧНОСТЬ ОЦЕНИВАНИЯ

  Точность оценивания вектор Х определяется ковариационной матрицей его оценок:

           Сov { X } = E{ [ X- E [X] ] *[ X- E [X] ] ^T },     (4.19)

где математическим ожиданием оценки Х в силу несмещенности оценки является истинное значение вектора Х, обозначенное как Х^ист.

Из уравнения наблюдения (4.1) и уравнения фильтра МНВК (4.10) получим следующее выражение:

X = (H^T * R ^-1 * H) ^-1  * H ^T * R ^-1 * Z =

       (H^T * R ^-1 * H) ^-1  * H ^T * R ^-1 * H * X ^ист -

       (H^T * R ^-1 * H) ^-1 * H ^T * R ^-1 * V.                           (4.20)

Используя последнюю формулу, получим уравнение для разности оценки и истинного значения вектора Х:

Х - Х ^ист = (H^T * R ^-1 * H) ^-1 * H ^T * R ^-1 * V.               (4.21)

Подставляя (4.21) в (4.19) получим выражение для расчета ковариационной матрицы оценок вектора Х:

Сov { X } = E{ (H^T * R ^-1 * H) ^-1 * H ^T * R ^-1 * V *

                    V ^T * R ^-1* H* (H^T * R ^-1 * H) ^-1 }             (4.22)   

В силу того, что матрицы Н, R являются детерминированными, они выносятся за операцию математического ожидания. Случайным является вектор V, математическое ожидание произведения

 Е{V * V ^T} которого, вследствие условия несмещенности измерений: Е{V} =0, равно ковариационной матрице вектора V -

                                    Е{ V * V ^T } = R.  

В результате сокращений произведения R *R ^-1  и

                                   (H^T * R ^-1 * H)^-1*H^T * R ^-1 * H получим 

     Сov { X } = (H^T * R ^-1 * H) ^-1.                                  (4.23)

Отметим, что при составлении алгоритма в соответствии с классическим подходом выражение H^T * R ^-1 * H фактически является матрицей А из формулы (4.17), поэтому в этом случае

      Сov { X } = А ^-1.                                                    (4.24)

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ МЕТОДОМ НВК

ПО ДАННЫМ ЛОКАЦИИ

В случае слежения за управляемым объектом с помощью гидролокатора или радиолокатора управляющее судно получает измерения пеленга на объект и дистанции до него.

В процессе определения параметров движения объектов управления: их курсов и скоростей, необходимо вести счисление пути своего судна. Проекции этого пути на оси координат < X,Y> вычисляются следующим образом:

S_{x, i} = S_{x, i-1} + V_c * DT * sin K c,

                                                                                               (4. 25)

S_{y, i} = S_{y, i-1} + V_c * DT * cos K c,

где S_{x, i}, S_{y, i}, S_{x, i-1}, S_{y, i-1},- проекции пути судна на оси X,Y в моменты i и i-1 соответственно, V_c, K c - курс и скорость судна,

DT - интервал времени между i и i-1 замерами пеленга и дистанции до объекта наблюдения.

Дисперсии Var { П } и Var {D } измерений полагаются известными.

     Для произвольного i -ого измерения координаты объекта x _i, y _i описываются следующей формулой:

x _i = D _i * sin П _i + S _{x, i},

                                                                                           (4.26)

y _i = D _i * cos П _i + S _{y, i},          

   Принимая гипотезу прямолинейного равномерного движения объекта, получим выражения для расчета текущих координат через начальные координаты:

x _i = x ₁ + V _x * (T - T ₁),

                                                                                           (4.27)

y _i = y ₁ + V _y * (T -  T ₁ )     _,

где V _x,V _y - проекции скорости объекта на оси координат.

   Объединим уравнения (4.26) и (4.27). При этом, умножим уравнение проекций на ось Х на величину sin П _i , а уравнение проекций на ось Y на величину cos П _i  . Таким образом мы получим следующее итоговое уравнение:

y ₁ * cos П _i + x ₁ * sin П _i + V _x * (T - T ₁₎ * sin П _i +

+V _y * (T - T ₁) * cos П _i = D _i + S _{x, i} * sin П _i + S _{y, i}* cos П _i  .   

         (4.28)

  Это уравнение является линейным уравнением относительно переменных y ₁, x ₁, V _x, V _y   и может быть представлено в следующем виде:

        a _i * y ₁ + b _i * x ₁ + c _i * V _x + d _i * V _y = z _i,                     (4.29)

где a _i, b _i, c _i, d _i, z _i - коэффициенты уравнения, определяемые следующими выражениями:

a _i= cos П _i,b _i = sin П _i , c _i =(T - T ₁₎ * sin П _i , 

d _i = (T - T ₁₎ * cos П _i ,                                                                    (4.30)

z _i = D _i + S _{x, i} * sin П _i + S _{y, i}* cos П _i

Составляя избыточную систему уравнений для m измерений, получим следующую запись:

a ₂ * y ₁ + b ₂ * x ₁ + c ₂ * V _x + d ₂ * V _y = z ₂

a ₃ * y ₁ + b ₃ * x ₁ + c ₃ * V _x + d ₃ * V _y = z ₃

                                                                                                                                                 (4.31)

  ...................................................................

a _m * y ₁ + b _m * x ₁ + c _m * V _x + d _m * V _y = z _m

 Систему уравнений (4.31) можно представить в векторном виде:

H * X = Z,                                                                              (4.32)

где X = [ y ₁, x ₁, V _x, V _y ] ^T,

               a ₂, b ₂, c ₂, d ₂

               a ₃, b ₃, c ₃, d ₃

   H =

               a _m, b _m, c _m, d _m  ,

   Z = [ z ₂, z₃,...............z _m ] ^T.

Тогда в соответствии с рассмотренным выше математическим аппаратом МНВК, получим следующее выражение для выработки оценок вектора Х:

  X _k = (H_k ^T * R _k ^-1 * H_k) ^-1  * H_k ^T * R _k^-1 * Z_k = P_k * B _k,            

                                                                                          (4.33)

где P_k = Сov { X_k } = (H_k ^T * R _k ^-1 * H_k) ^-1  = А _k ^-1, k - номер замера и номер соответствующего ему шага итерации процедуры оценивания. 

Матрица А _k имеет следующий вид:

A_k =

S _i=2 ^m a _i ²*k _i; S _i=2 ^m a _i*b _i*k _i; S _i=2 ^m a _i*c _i* k _i; S _i=2 ^m a _i*d _i* k _i

S _i=2 ^m a _i*b _i*k _i; S _i=2 ^m b _i²*k _i; S _i=2 ^mb_i*c _i* k _i; S _i=2 ^m b _i*d _i*k _i

S _i=2 ^m a_i* c_i* k_i; S _i=2 ^mb_i*c_i*k_i; S _i=2 ^m c_i ²* k_i;   S _i=2 ^m c_i* d _i* k _i

S _i=2 ^m a_i *d_i* k_i; S _i=2 ^m b_i*d_i*k _i; S _i=2 ^m c_i*d_i*k _i; S _i=2 ^m d _i ² * k _i;

(4.34)

Матрица В _к вычисляется следующим образом:

               S _i=2 ^m a_i*h_i*k_i

               S _i=2 ^m b_i*h_i*k _i

B _k =                                                                                  (4.35)

               S _i=2 ^m c_i*h_i*k _i

                        S _i=2 ^m d_i*h_i*k _i

После расчета вектора Х по формуле (4.33), используя формулы (2.15),(2.16), (2.17)-(2.20), вычисляем значения курса, скорости объекта и их дисперсий. Списки исходных, используемых алгоритмом параметров, и параметров, определяемых в результате решения задачи, которые необходимы для составления алгоритма по данному математическому описанию, приведены в таблицах 4.1 и 4.2.

Таблица 4.1                               Используемая информация

Таблица 4.2                                      Результаты решения задачи

ЗАДАНИЕ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

1. По приведенным выше соотношениям составить блок-схему модуля расчета оценок параметров движения объекта наблюдения и дисперсий ошибок оценивания.

2. Используя модульный принцип построения программ, построить блок-схему модели исследования алгоритма, приведенного в данной главе.

 Блок-схема должна включать в себя модули:

- движения наблюдателя (см. приложение 2),

- движения объекта наблюдения (см. приложение 2),

- расчета истинных значений дистанций и пеленгов,

- упрощенных моделей функционирования систем гидролокации или радиолокации, обеспечивающих имитацию случайных гауссовых ошибок измерения (см. приложение 3) и наложение ошибок на истинные значения измеряемых параметров для моделирования измеренных значений П и D,  

- модуль расчета оценок ПДО и их расчетных дисперсий,

- модуль вычисления статистических ошибок  оценивания при повторении N раз моделируемого процесса (см. приложение 3).

Структурная схема модели приведена в приложении 1.1

3. Разработать программу статистического исследования алгоритма на языке программирования, заданном преподавателем.

4. Рассчитать вручную контрольные варианты. Провести отладку и тестирование программы.

5. Провести на компьютере машинный эксперимент в соответствии с заданными исходными данными моделирования. Оформить пояснительную записку, включающую программную документацию и результаты исследования.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману