Основные типы случайных процессов

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 14Следующая ⇒

1. Семейство независимых случайных величин: .

Пример: гауссов белый шум:  если для всех t

Параметр σ² называется интенсивностью белого шума ξ(t).

2. Процесс ξ(t) называется процессом с независимыми приращениями, если для всех моментов  случайные величины  независимы. Очевидно, что в случае дискретного времени это просто суммы независимых случайных величин.

  3. Процесс ξ(t) называется процессом с однородными приращениями, если при всех τ, t распределения величин  не зависят от t. Такой процесс можно полностью восстановить по распределениям  и начальному значению .

Пример: цепи Маркова с непрерывным временем: за счет однородности цепь задается своей инфинитезимальной матрицей .

4. Процессы с независимыми и однородными приращениями называются процессами со стационарными приращениями.

Пример. Броуновское движение – это процесс со стационарными гауссовыми приращениями, для которого  Можно доказать, что в этом случае  Обычно рассматривают случай a = b = 0.

Найдем корреляционную функцию такого процесса  Пусть s < t,тогда

Аналогично рассматривается случай s > t, при этом   Окончательно

Пример. Процесс Пуассона - это такой процесс со стационарными приращениями, у которого приращения  распределены по закону Пуассона .

5. Стационарные случайные процессы.

Опр. Процесс ξ(t) называется стационарным в узком смысле, если для любых t, h процессы  и  имеют одинаковые конечномерные распределения.

Опр. Процесс ξ(t) называется стационарным в широком смысле, если для любых t, h

           а)

           б)   не зависят от h.

Очевидно, в этом случае

Если взаимная корреляционная функция двух стационарных процессов также зависит только от разности (t - s), то они называются стационарно свя­занными.

В классе стационарных процессов выделяется подкласс эргодических процессов, для которых усреднение по ансамблю реализаций эквивалентно усреднению по времени. Свойство эргодичности дает возможность делать для процесса статистические выводы, основываясь на одной отдельно взя­той его реализации. Условием эргодичности выступает достаточно быстрое убывание функции K (τ) с ростом параметра t = t - s.

6. Марковские процессы: для любых t > t ₁>…> t_n >… и для любого борелевского А

Пример.  Пусть случайный процесс с дискретным временем порождается разностной схемой ; начальное значение ξ(0) не зависит от  Такой процесс, очевидно, является Марковским.

а)   если

б)  если

в)

       Сделаем в последнем выражении замену индексов суммирования: 

       k – j = l – i; j – i = k - l = τ;  j = i + τ. Тогда

        если

Т. обр., при  процесс сходится к гауссовому стационарному процессу , у которого

   Утв. Любой стационарный процесс можно с любой степенью точности аппроксимировать одной из компонент многомерного Марковского процесса.

  Пример. Процесс Юла порождается разностной схемой

с заданными начальными значениями ξ(0) и ξ(1), определяемыми независимо от  . 

  Утв. Процесс Юла сходится при  к стационарному процессу, если оба корня уравнения z ² – α z – β = 0 лежат внутри единичного круга комплексной плоскости или, что то же самое, если .

  Обозначим

,

тогда

 -

- это векторный Марковский процесс второго порядка.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры