Свойства сложения и умножения матрицы на число

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

· Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C)

· A + Θ = Θ + A = A, где Θ - нулевая матрица

· A - A = Θ

· Коммутативность: A + B = B + A

· 1 · A = A

· 0 · A = Θ, где Θ - нулевая матрица

· k · (A + B) = k · A + k · B

· (k + n) · A = k · A + n · A

· (k · n) · A = k · (n · A)

1.2.3 Элементарные преобразования матриц

1°. Перестановка местами 2 параллельных рядов матриц;

2°.Умножение всех элементов ряда матрицы на число отличное от нуля;

3°. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих  элементов параллельного ряда, умноженных  на одно и то же число.

Определение: 2 матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А~В.

Произведение матриц

Операция умножения 2-х матриц вводится только для случая когда число столбцов 1 матрицы равно числу  строк 2 матрицы.

Схематично произведение матриц можно изобразить так:

Пример 1.

.

Пример 2.

Выяснить  определено ли произведение А*В.

Матрица А - имеет 3 столбца, матрица В- 2 строки.       Условие умножения матриц не выполняется, значит операция умножения не выполнима.

Рассмотрим произведение . В матрице В -2 строки, в матрице А – 2 столбца. Операция умножения определена.

.

Понятие определителя

Определители были изобретены дважды, что в математике встречается не так уж часто. Сначала они были изобретены в Древнем Китае в начале нашей эры - без глубокой теории, но с хорошими правилами практического применения. Учёные этой страны старались скрывать свои открытия от других народов. В результате то, что было открыто или изобретено китайцами, вновь изобреталось в других странах.

Великий немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) в 1693 г. ввёл двойные индексы, которые записывал ниже сроки. Лейбниц стремился во всех исследованиях к единым методам. В частности, он хотел создать единообразный метод решения систем линейных уравнений, что и привело его к определителям.

Термин «детерминант», иначе говоря «определитель» (от латинского determino – определяю), в нашем смысле ввёл Коши в 1815 г. Ему удалось найти все главные свойства определителей. Дальнейшее развитие теория определителей получила в трудах английских математиков А. Кэли и Дж. Сильвестера (1814 -1897). Первый из них и ввёл поныне употребляемый знак определителя │ │.

Определение: Определитель - это число, которое считается для квадратной матрицы по некоторым вполне определенным правилам.

Порядок определителя – это порядок квадратной матрицы.

Для обозначения определителя квадратной матрицы A пользуются  обозначениями или или .

Пусть A - произвольная квадратная матрица порядка n.

1. Если n=1, то матрица A состоит из одного числа A и определитель равен этому числу.

Пример 1: , тогда определитель

2. Если n=2, то для матрицы  определитель вычисляется по правилу

или

Пример 2:

Дано:

                                                                             .

Решение:

3. Если n=3, то для матрицы    

определитель вычисляется по правилу

или

Пример 3:

Дано:

Решение: Определитель матрицы A

 detA=

detA=9.

Метод Крамера

1.4.1 И сторическая справка

С развитием теории определителей в конце 17 века швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 - 1752) начал разрабатывать свою теорию и в 1751 году, не задолго до своей смерти, опубликовал "правило Крамера" - метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем матрицы системы.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности