Тема 1. Функция одной переменной: определение,

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Тема 1. Функция одной переменной: определение,

способы задания. Построение графиков.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ и ПРИМЕРЫ

Определение функции

Определение. Пусть даны два числовых множества  и .

Функцией, заданной на множестве , называется закон (правило) , по которому каждому элементу  ставится в соответствие единственный элемент .

Обозначение функции: ,

где  – аргумент функции или независимая переменная,

 – значение функции или зависимая переменная,

 – закон соответствия,

 – область определения функции,

 – область значений функции.

Под областью определения функции понимается множество значений аргумента , при которых функция  имеет смысл.

Областью значений функции является множество значений переменной , которые принимает функция  в ее области определения.

2. Нахождение области определения функций

Для нахождения области определения функции необходимо записать математически условия для , при которых функция имеет смысл, или исключить из множества всех действительных чисел  те значения аргумента , при которых функция не имеет смысл.

Если  есть сумма, разность или произведение функций , , …, , то областью определения функции  является пересечение областей определений этих функций:  

Пример 1. Найти области определения функций:

1. ;                    2. ;

3. ; 4. .

Решение.

1. . Это - линейная функция, она определена при любых действительных значениях . Значит, область определения .

2. . В числителе нет «особенностей», а з наменатель дроби должен быть не равен нулю: . Найдем точки , при которых знаменатель равен нулю: ,  Полученное уравнение имеет два корня: , .

Исключим эти точки из числового промежутка :

.

Ответ: .

3. . Область определения  данной функции – это множество значений , при которых подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля, .

Разложим квадратный трёхчлен на множители по формуле , где  - корни квадратного уравнения .

, ,

, .

Неравенство  примет вид .

Отметим найденные корни  и  на числовой оси. Определим, на каких интервалах , ,   выполняется неравенство . Подставим какое-либо значение  в это неравенство:

при  получим: ,

при  получим: ,

при  получим: .

Точки  и  не входят в решение неравенства  (см. рис. 1).

Рис. 1. Графическое представление решения примера 3

На  и  выполняется . Значит, область определения

Ответ: .

4. . Данная функция является суммой функций . Значит, ее область определения  является пересечением (общей частью) областей определения каждой функции: .

Первая функция  определена, если ее знаменатель не равен нулю, т.е. , т.е. .

Вторая функция  имеет смысл, если подкоренное выражение  больше или равно нулю, т.е. , или

Решим систему найденных условий: , отсюда  или .

С помощью числовых промежутков область определения функции запишется так: .

3. Способы задания функций

А. Аналитический способ: функция задается с помощью одной или нескольких формул или уравнений.

Наиболее удобный способ задания функции действительного аргумента  предполагает такое ее определение, в котором прямо указывается, какие алгебраические действия и в каком порядке надо произвести над величиной , чтобы получить соответствующее значение .

Например, ,  и т.д.

Функция может быть задана не только одной формулой (например, ), но и разными формулами на определенных числовых промежутках (кусочно-аналитическое задание функции): например, 

Эта функция называется «абсолютная величина ».

Пример 2. Вычислить значения функции  при , , .

Решение.

Значение  удовлетворяет условию , поэтому подставляем  в выражение . Получим .

Значение  также удовлетворяет условию , поэтому подставляем  в выражение . Получим: .

Значение  удовлетворяет условию , поэтому подставляем  в выражение . Получим .

Ответ: , , .

В. Графический способ

Графиком функции  называется множество точек  плоскости , абсциссы которых есть значения аргумента  из области определения, а ординаты – соответствующие им значения функции .

Пример. Функция «абсолютная величина »:

.

Функция задана с помощью двух функций на разных числовых промежутках. Поэтому график функции «склеен» из двух графиков – графика  на промежутке  и графика  на промежутке .

4. Преобразования графиков функций

Построение графиков функций вида  и   производится в несколько этапов (действий), используя последовательно преобразования графиков.

Правило 1. Сдвиг (перенос) на данный отрезок вдоль оси абсцисс .

Чтобы построить график функции , нужно график функции  сдвинуть вдоль оси  на  единиц вправо (при ) и на  единиц влево (при ).

Правило 2. Сдвиг (перенос) на данный отрезок вдоль оси ординат .

Чтобы построить график функции , нужно график функции  сдвинуть вдоль оси  на  единиц вверх (при ) и на  единиц вниз (при ). 

Правило 3. Растяжение (или сжатие) вдоль оси абсцисс .

График функции  получается их графика функции  сжатием вдоль оси  в  раз (при ), или растяжением в  раз (при ).

Правило 4. Растяжение (или сжатие) вдоль оси ординат.

График функции  получается их графика функции  растяжением вдоль оси  в  раз (при ), или сжатием в  раз (при ).

Правило 5. Зеркальное отображение относительно оси абсцисс

Чтобы построить график функции , нужно оставить без изменения те участки графика функции , где , и зеркально отобразить относительно оси  участки графика , где .

Замечания.

1. График функции  строят, применяя в определенной последовательности описанные выше преобразования:

· сначала строим графики  и ;

· затем – график ;

· далее строим график ;

· наконец, получаем график функции .

Пример 3. Построить график функции  с помощью преобразований графика функции .

Решение.

1. Строим график функции .

2. Для построения искомого графика нужно:

1) график сдвинуть по оси ОХ вправо на 1 ед. (правило 1); получим график ;

2) график  поднять на 2 ед. вверх по оси ОУ (правило 2), получим график функции .

         2

График функции

5. Построение графиков кусочно заданных функций

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Тема 1. Функция одной переменной: определение,

способы задания. Построение графиков.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ и ПРИМЕРЫ

Определение функции

Определение. Пусть даны два числовых множества  и .

Функцией, заданной на множестве , называется закон (правило) , по которому каждому элементу  ставится в соответствие единственный элемент .

Обозначение функции: ,

где  – аргумент функции или независимая переменная,

 – значение функции или зависимая переменная,

 – закон соответствия,

 – область определения функции,

 – область значений функции.

Под областью определения функции понимается множество значений аргумента , при которых функция  имеет смысл.

Областью значений функции является множество значений переменной , которые принимает функция  в ее области определения.

2. Нахождение области определения функций

Для нахождения области определения функции необходимо записать математически условия для , при которых функция имеет смысл, или исключить из множества всех действительных чисел  те значения аргумента , при которых функция не имеет смысл.

Если  есть сумма, разность или произведение функций , , …, , то областью определения функции  является пересечение областей определений этих функций:  

Пример 1. Найти области определения функций:

1. ;                    2. ;

3. ; 4. .

Решение.

1. . Это - линейная функция, она определена при любых действительных значениях . Значит, область определения .

2. . В числителе нет «особенностей», а з наменатель дроби должен быть не равен нулю: . Найдем точки , при которых знаменатель равен нулю: ,  Полученное уравнение имеет два корня: , .

Исключим эти точки из числового промежутка :

.

Ответ: .

3. . Область определения  данной функции – это множество значений , при которых подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля, .

Разложим квадратный трёхчлен на множители по формуле , где  - корни квадратного уравнения .

, ,

, .

Неравенство  примет вид .

Отметим найденные корни  и  на числовой оси. Определим, на каких интервалах , ,   выполняется неравенство . Подставим какое-либо значение  в это неравенство:

при  получим: ,

при  получим: ,

при  получим: .

Точки  и  не входят в решение неравенства  (см. рис. 1).

Рис. 1. Графическое представление решения примера 3

На  и  выполняется . Значит, область определения

Ответ: .

4. . Данная функция является суммой функций . Значит, ее область определения  является пересечением (общей частью) областей определения каждой функции: .

Первая функция  определена, если ее знаменатель не равен нулю, т.е. , т.е. .

Вторая функция  имеет смысл, если подкоренное выражение  больше или равно нулю, т.е. , или

Решим систему найденных условий: , отсюда  или .

С помощью числовых промежутков область определения функции запишется так: .

3. Способы задания функций

А. Аналитический способ: функция задается с помощью одной или нескольких формул или уравнений.

Наиболее удобный способ задания функции действительного аргумента  предполагает такое ее определение, в котором прямо указывается, какие алгебраические действия и в каком порядке надо произвести над величиной , чтобы получить соответствующее значение .

Например, ,  и т.д.

Функция может быть задана не только одной формулой (например, ), но и разными формулами на определенных числовых промежутках (кусочно-аналитическое задание функции): например, 

Эта функция называется «абсолютная величина ».

Пример 2. Вычислить значения функции  при , , .

Решение.

Значение  удовлетворяет условию , поэтому подставляем  в выражение . Получим .

Значение  также удовлетворяет условию , поэтому подставляем  в выражение . Получим: .

Значение  удовлетворяет условию , поэтому подставляем  в выражение . Получим .

Ответ: , , .

В. Графический способ

Графиком функции  называется множество точек  плоскости , абсциссы которых есть значения аргумента  из области определения, а ординаты – соответствующие им значения функции .

Пример. Функция «абсолютная величина »:

.

Функция задана с помощью двух функций на разных числовых промежутках. Поэтому график функции «склеен» из двух графиков – графика  на промежутке  и графика  на промежутке .

4. Преобразования графиков функций

Построение графиков функций вида  и   производится в несколько этапов (действий), используя последовательно преобразования графиков.

Правило 1. Сдвиг (перенос) на данный отрезок вдоль оси абсцисс .

Чтобы построить график функции , нужно график функции  сдвинуть вдоль оси  на  единиц вправо (при ) и на  единиц влево (при ).

Правило 2. Сдвиг (перенос) на данный отрезок вдоль оси ординат .

Чтобы построить график функции , нужно график функции  сдвинуть вдоль оси  на  единиц вверх (при ) и на  единиц вниз (при ). 

Правило 3. Растяжение (или сжатие) вдоль оси абсцисс .

График функции  получается их графика функции  сжатием вдоль оси  в  раз (при ), или растяжением в  раз (при ).

Правило 4. Растяжение (или сжатие) вдоль оси ординат.

График функции  получается их графика функции  растяжением вдоль оси  в  раз (при ), или сжатием в  раз (при ).

Правило 5. Зеркальное отображение относительно оси абсцисс

Чтобы построить график функции , нужно оставить без изменения те участки графика функции , где , и зеркально отобразить относительно оси  участки графика , где .

Замечания.

1. График функции  строят, применяя в определенной последовательности описанные выше преобразования:

· сначала строим графики  и ;

· затем – график ;

· далее строим график ;

· наконец, получаем график функции .

Пример 3. Построить график функции  с помощью преобразований графика функции .

Решение.

1. Строим график функции .

2. Для построения искомого графика нужно:

1) график сдвинуть по оси ОХ вправо на 1 ед. (правило 1); получим график ;

2) график  поднять на 2 ед. вверх по оси ОУ (правило 2), получим график функции .

         2

График функции

5. Построение графиков кусочно заданных функций