Математические операции над дискретными случайными величинами.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Пусть заданы две дискретные величины своими рядами распределения:                                                     

Произведением kX случайной величины X на постоянную k назовем случайную величину, которая принимает значения  с теми же вероятностями .                                                                                                              

Определение. m – ой степенью случайной величины , то есть , назовем случайную величину, которая принимает значения  с теми же вероятностями .

Пример. Дана случайная величина

Найти закон распределения а) ; б) .

Решение. а) Значения . Вероятности те же.

б) Значения случайной величины  с теми же вероятностями. Случайная величина  имеет два различных значения 1 и 4. Так как 4 можно получить, как - , так и , то по теореме сложения вероятностей  Итак, закон распределения случайной величины                                 

Пусть закон распределения случайной величины , а случайной величины .

Определение. Случайные величины X и Y называются независимыми, если выполняется соотношение

, для всех  и  , где  , а

Суммой (разностью, произведением) случайных величин X и Y назовем случайную величину, которая принимает все возможные значения

,

где , с вероятностями  того, что случайная величина  примет значение , а случайная величина  примет значение .

Пример.  Даны законы распределения случайных величин

Найти законы распределения случайных величин а)  

б)

Для удобства подсчета составим таблицу

		0,05	0,30	0,15
		0,02	0,12	0,06
		0,03	0,18	0,09

Например, X = 2 (второй элемент первого столбца), а Y = 0 (второй элемент первой строки). На пересечении строки и столбца стоит соответствующий элемент  с вероятностью  С учетом того, что среди 9 возможных значений  есть одинаковые, получим закон распределения

Z:

 б) Аналогично получается закон распределения

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины  (обозначается ) назовем сумму произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.

, если значений счетное число.

Пример. Вычислить MX в задаче 1.

Решение.  Полученный результат означает, что все вырученные деньги от продажи билетов лотереи идут на выигрыши.

Замечание. Так как дискретная случайная величина может принимать счетное число значений, то ряд  может расходиться. Тогда случайная величина не имеет конечного математического ожидания.

Свойства математического ожидания:

Предположим, что MX и MY – конечны.

1.

2.

3.

4.    

Пример. Известно, что   Найдите  где  

Решение. Используя свойства 2, 3, 6, 1, имеем

Дисперсия

Дисперсией DX случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания, то есть

Если  – дискретная случайная величина и  то

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом)  случайной величины  называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии.

                                    Свойства дисперсии:

1. , где  – постоянная;

2.

3.

4. Если  и — независимые случайные величины, то

Пример.  и  — независимые случайные величины.

Найти .

Решение. По свойствам 4, 2 

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?