Элементы и основные параметры цепей переменного тока.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 22Следующая ⇒

Метод векторных диаграмм.

Метод векторных диаграмм, т. е. изображение величин, характеризующих переменный ток векторами, а не тригонометрическими функциями, чрезвычайно удобен. Поэтому кратко изложим его основы.

Переменный ток в отличие от постоянного характеризуется двумя скалярными величинами — амплитудой и фазой. Поэтому для математического описания переменного тока необходим математический объект, также характеризуемый двумя скалярными величинами. Существуют два таких математических объекта (из известных вам) — это вектор на плоскости и комплексное число. В теории электрических цепей и те и другие используются для описания переменных токов.

При описании электрической цепи переменного тока с помощью векторных диаграмм каждому току и напряжению сопоставляется вектор на плоскости в полярных координатах, длина которого равна амплитуде тока или напряжения, а полярный угол равен соответствующей фазе.

Поскольку фаза переменного тока зависит от времени, то считается, что все векторы вращаются против часовой стрелки с частотой переменного тока. Векторная диаграмма строится для фиксированного момента времени.

Более подробно построение и использование векторных диаграмм будет изложено ниже на примерах конкретных цепей.

Цепь переменного тока с активным сопротивлением.

Сопротивление проводников постоянному току называется омическим сопротивлением и определяется по формуле

,

причем величина этого сопротивления не зависит от тока и напряжения в цепи. Наоборот, сопротивление тех же проводников переменному току уже не является постоянной величиной, оно всегда несколько больше сопротивления постоянному току и называется в отличие от омического сопротивления активным.

Увеличение сопротивления переменному току объясняется явлением поверхностного эффекта. Сущность этого явления заключается в следующем. При прохождении переменного тока через проводник как вокруг, так и внутри него создается переменное магнитное поле. Под влиянием этого поля внутри проводника индуктируется ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца действует против приложенного напряжения, создавая препятствие для прохождения тока. Величина этой ЭДС по сечению проводника неодинакова: в центре она имеет наибольшее значение, а на поверхности – наименьшее. Вследствие этого ток по сечению проводника распределяется неравномерно: в центре проводника его плотность мала, а по мере приближения к поверхности увеличивается, т.е. переменный ток проходит главным образом по поверхности проводника. Таким образом, полезное сечение проводника уменьшается, что и вызывает увеличение сопротивления. Величина активного сопротивления тем больше, чем больше частота переменного тока. Однако для низких частот (50 – 500 Гц) активное сопротивление практически равно омическому.

Рис. 4.6

Если к зажимам цепи с сопротивлением r (рис. 4.6 а) приложить синусоидальное напряжение , то в цепи возникнет переменный ток, величину которого можно определить по закону Ома

.

Как видно из формулы, ток будет также изменяться по закону синуса. Причем как ток, так и напряжение будут достигать своего максимума одновременно при , т.е. совпадать по фазе. На рис. 4.6 б представлены развернутая и векторная диаграммы для этого случая.

Переходя к действующим значениям тока и напряжения в этой цепи, можно написать

.

Отсюда следует, что в цепи переменного тока с активным сопротивлением закон Ома применим в той же форме, как и в цепи постоянного тока. Произведение  называется активным падением напряжения.

Цепь переменного тока с индуктивным элементом.

Предположим, что через катушку с постоянной индуктивностью L и с активным сопротивлением r, практически равным нулю (рис. 4.7 а), проходит переменный ток .

Рис. 4.7

Благодаря этому в катушке создается переменный магнитный поток , который, пересекая катушку, будет наводить в ней ЭДС самоиндукции . Величина этой ЭДС зависит от скорости изменения тока и от индуктивности L, т.е.

.

Поскольку по цепи проходит ток , то ЭДС определится по формуле

.

Эта ЭДС всегда препятствует причине, ее вызывающей. В первую четверть периода она препятствует нарастанию тока, а во вторую – его убыванию. Поэтому изменения ЭДС самоиндукции не совпадают с изменениями тока, ее порождающего, а отстают от них на четверть периода. Значит, между током и ЭДС самоиндукции всегда имеется сдвиг фаз в четверть периода или на угол 90°. Поэтому на развернутой диаграмме (рис. 4.7 б) синусоида ЭДС самоиндукции сдвинута вправо на четверть периода, а на векторной диаграмме вектор  повернут по отношению к вектору тока на 90° в сторону отставания.

Так как ЭДС самоиндукции противодействует любым изменениям тока и как бы является сопротивлением для прохождения тока в цепи, то для поддержания тока в катушке к ее зажимам должно быть приложено напряжение, равное и противоположное ЭДС самоиндукции , т.е.

или

.

Сравнивая полученные выражения с , видим, что напряжение u опережает ток i на 90° и сдвинуто по фазе относительно ЭДС  на 180°.

Из приведенного выражения для напряжения следует, что величина амплитуды напряжения при  будет равна

.

Решая это уравнение относительно амплитуды тока , получим

.

Отсюда следует, что величина  играет роль сопротивления и, следовательно, должна измеряться в омах, поскольку ток измеряется в амперах, а напряжение – в вольтах. Поэтому величина  называется индуктивным сопротивлением или реактивным индуктивным сопротивлением и обозначается

,      (96)

где  - частота тока, а L – индуктивность.

Соотношение между действующими значениями напряжения и тока в цепи с индуктивностью определяется формулой

.  (97)

Это выражение представляет собой закон Ома для цепи переменного тока с чистой индуктивностью. Произведение тока I на индуктивное сопротивление  называется индуктивным или реактивным падением напряжения и обозначается

.

Таким образом, индуктивность в цепи переменного тока обуславливает возникновение в ней ЭДС самоиндукции. Эта ЭДС создает реактивное сопротивление в цепи и вызывает запаздывание тока относительно напряжения.

Все явления, возникающие в цепи переменного тока с индуктивностью, связаны с наличием в этой цепи переменного магнитного поля.

Цепь переменного тока с емкостным элементом.

Если к зажимам конденсатора емкостью С приложить синусоидальное напряжение  (рис. 4.8 а), то конденсатор будет периодически заряжаться и разряжаться, и в цепи будет течь переменный ток.

Рис. 4.8

Но при этом ток через конденсатор не проходит, в цепи лишь происходит движение зарядно-разрядных токов конденсатора.

Действительно, в первую четверть периода вместе с увеличением напряжения источника тока конденсатор будет заряжаться до тех пор, пока напряжение источника не достигнет максимума . При этом напряжение на обкладках конденсатора также достигнет максимума . Ток , поступающий от источника к конденсатору, в момент включения будет максимальным, а по мере заряжения конденсатора будет уменьшаться и в момент, когда напряжение источника достигнет своего амплитудного значения , ток станет равным нулю.

Во вторую четверть периода напряжение источника уменьшается от максимума до нуля, и конденсатор разряжается на источник тока. По цепи снова будет протекать ток, но уже другого направления – ток разряда, который к концу второй четверти достигнет амплитудного значения. В следующую половину периода напряжение источника изменит направление и зарядит конденсатор в обратном направлении до максимума, а затем при уменьшении напряжения конденсатор разрядится опять на источник тока. В третью четверть по цепи будет проходит ток заряда, а в четвертую – ток разряда. Таким образом, внешнее напряжение u и напряжение конденсатора  в любой момент по величине равны, но противоположны по направлению.

Ток, протекающий по цепи с емкостью, изменяется, как и приложенное напряжение внешнего источника, по закону синуса и опережает напряжение на 90° (рис. 4.8 б), что математически можно выразить следующим образом:

.

Отсюда следует, что амплитуда тока равна

.

Разделив правую и левую части этого равенства на , получим действующее значение тока

.    (98)

Это выражение представляет собой закон Ома для цепи переменного тока с емкостью, в котором роль сопротивления выполняет величина

,    (99)

которая измеряется в омах. Эту величину, оказывающую препятствие переменному току в цепи с емкостью, называют реактивным емкостным сопротивлением или емкостным сопротивлением.

Произведение тока I на емкостное сопротивление  называется реактивным емкостным падением напряжения и обозначается :

.

Таким образом, цепь переменного тока с емкостью характеризуется тем, что напряжение, возникающее на обкладках конденсатора, противодействует внешнему напряжению и тем самым создает в цепи емкостное сопротивление . Оно также вызывает сдвиг фаз между током и напряжением.

Явления, возникающие в цепи переменного тока с емкостью, тесно связаны с наличием в такой цепи электрического поля. Изменения этого поля и вызывают заряд-разряд конденсатора.

Неразветвленная цепь переменного тока с активным сопротивлением и реактивными элементами.

Реальные цепи, содержащие индуктивность, всегда имеют и активное сопротивление: сопротивление провода обмотки и подводящих проводов. Поэтому рассмотрим электрическую цепь (рис. 4.9), в которой через катушку индуктивности L, обладающую активным сопротивлением R, протекает переменный ток .

Рис. 4.9

Через катушку и резистор протекает один и тот же ток, поэтому в качестве основного выберем вектор тока и будем строить вектор напряжения, приложенного к этой цепи.

Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности и на резисторе:

.      (100)

Напряжение на резисторе, как было показано выше, будет совпадать по фазе с током:

,      (101)

а напряжение на индуктивности будет равно ЭДС самоиндукции со знаком минус (по второму правилу Кирхгофа):

.  (102)

Мы видим, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол . Построив векторы ,  и  и, воспользовавшись формулой (100), найдем вектор . Векторная диаграмма показана на рис. 4.10.

Рис. 4.10

Мы видим, что в рассматриваемой цепи ток  отстает по фазе от приложенного напряжения , но не на , как в случае чистой индуктивности, а на некоторый угол . Этот угол может принимать значения от 0 до  и при заданной индуктивности зависит от значения активного сопротивления: с увеличением R угол  уменьшается.

Как видно из векторной диаграммы, модуль вектора  равен

,  (103)

где величина

       (104)

называется полным сопротивлением цепи.

Сдвиг по фазе ф между током и напряжением в данной цепи также определяется из векторной диаграммы:

.            (105)

В реальных цепях переменного тока с емкостью всегда имеется активное сопротивление — сопротивление проводов, активные потери в конденсаторе и т.д. Поэтому реальную цепь с емкостью следует рассматривать состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления R и конденсатора С (рис. 4.11):

Рис. 4.11

Через конденсатор и через резистор протекает один и тот же ток, описываемый формулой , поэтому в качестве основного выберем вектор тока и будем строить вектор напряжения, приложенного к этой цепи. Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на конденсаторе и на резисторе:

.            (106)

Напряжение на резисторе, как было показано выше, будет совпадать по фазе с током (формула 101), а напряжение на конденсаторе будет отставать по фазе от тока на угол :

.       (107)

Построив векторы ,  и  и воспользовавшись формулой (106), найдем вектор . Векторная диаграмма показана на рис. 4.12.

Рис. 4.12

Из векторной диаграммы следует, что в рассматриваемой цепи ток  опережает по фазе приложенное напряжение , но не на , как в случае чистой емкости, а на некоторый угол . Этот угол может принимать значения от 0 до  и при заданной емкости С зависит от значения активного сопротивления: с увеличением R угол  уменьшается.

Как видно из векторной диаграммы, модуль вектора  равен

,          (108)

где величина

          (109)

называется полным сопротивлением цели.

Сдвиг по фазе  между током и напряжением в данной цепи определяется из векторной диаграммы:

.     (110)

Рассмотрим теперь цепь переменного тока, содержащую индуктивность, емкость и резистор, включенные последовательно (рис. 4.13).

Рис. 4.13

Через все элементы цепи протекает один и тот же ток, поэтому в качестве основного выберем вектор тока и будем строить вектор напряжения, приложенного к этой цепи. Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности, на емкости и на резисторе:

.         (111)

Мы уже знаем, что напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, напряжение на катушке опережает ток по фазе на , а напряжение на емкости отстает от тока по фазе на . Можно записать эти напряжения в следующем виде:

;

;        (112)

.

Поскольку нам известны амплитуды и фазы этих векторов, мы можем построить векторную диаграмму и найти вектор  (рис. 4.14).

Рис. 4.14

Из этой векторной диаграммы мы можем найти модуль вектора приложенного к цепи напряжения  и сдвиг по фазе  между током и напряжением:

,       (113)

где величина

        (114)

называется полным сопротивлением цепи. Из векторной диаграммы видно, что сдвиг по фазе между током и напряжением определяется уравнением

.               (115)

В результате построения диаграммы мы получили треугольник напряжений, гипотенуза которого равна приложенному напряжению . При этом разность фаз между током и напряжением определяется соотношением векторов ,  и . При  (см. рис. 4.14) угол ф положителен и нагрузка имеет индуктивный характер. При  угол  отрицателен и нагрузка имеет емкостной характер (рис. 4.15 а). А при  угол  равен нулю и нагрузка является чисто активной (рис. 4.15 б).

Рис. 4.15

Неразветвленная цепь переменного тока с произвольным числом активных и реактивных элементов.

В этом случае сопротивления резисторов, согласно (18), складываются. Емкости конденсаторов находятся по формуле (34). А индуктивности катушек складываются.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте