Аналитический способ расчета плоских статически определимых ферм на неподвижную нагрузку

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 17 из 58Следующая ⇒

Задачей расчета является определение опорных реакций и усилий в стержнях фермы. Напомним, что силы к ферме должны быть приложены в узлах. В этом случае стержни работают исключительно на продольные усилия. Расчет фермы следует начинать с определения опорных реакций.

Порядок определения опорных реакций рассмотрим на примере треугольной стропильной фермы (рис. 3.35).

Наклонный груз Р _I разложим на составляющие

                           P_X = Р _I ·Cos α;                                                                      (3.24)

                           P_Y = Р _I · Sin α.                                                                        (3.25)

Рис. 3.35. Плоская статически определимая ферма с неподвижной

системой внешних сил

Левая опорная реакция R _А ^V имеет две составляющих: вертикальную R _А ^V и горизонтальную R _А ^H. Для определения первой составляющей составим уравнение равновесия моментов всех сил, приложенных к ферме, относительно точки В.                   ∑ М_В = 0;

R _А ^V · L + P_X · H - P_Y · 5d - P₂ ·4d - P₃ 2d = 0.

Отсюда R _А ^V = (- P_X · H + P_Y · 5d + P₂ ·4d + P₃ · 2d)/L.                                 (3.26)                                      

Вторая составляющая определится из уравнения проекции всех сил на горизонтальную ось X

∑ X = 0; R _А ^H + P_X = 0;                                                       

R _А ^H = - P_X = - P ₁ · Cos α.

Если в результате вычислений окажется, что правая часть уравнения (3.26) имеет знак минус, то в действительности составляющая опорной реакции направлена в противоположную сторону против принятой в расчетной схеме (рис. 3.35). Это следует иметь в виду при дальнейших расчетах как по определению опорных реакций, так и усилий в стержнях.    

Опорная реакция R _В имеет только одну составляющую - вертикальную. Величину R _В найдем, составив и решив уравнение:

                                     ∑М_А = 0.

После определения величин опорных реакций необходимо проверить правильность вычислений с помощью уравнений

                                     ∑Х = 0; ∑ Y = 0.

Рассмотрим порядок определения усилий в стержнях на примере фермы с ломаным верхним поясом (рис. 3.36).

Рис. 3.36. Расчет усилий в стержнях фермы от неподвижной заданной нагрузки

Прежде чем приступить непосредственно к определению усилий в стержнях, необходимо проверить ферму на неизменяемость и статическую определимость, а также вычислить опорные реакции.

Усилия в стержнях фермы определяют методом «сечений». При этом рекомендуется определять усилия в каждом стержне независимо от ранее найденных величин усилий в других стержнях, что позволяет избежать нарастания возможных ошибок при расчетах.

При использовании метода «вырезанием узлов» ошибка в расчетах предыдущего стержня автоматически будет переходить в последующие стержни.

Порядок расчетов по методу сечений:

а) разрезаем ферму; разрез должен проходить не более чем через три стержня, в том числе и через стержень, усилие в котором требуется определить;

б) отбрасываем часть фермы (к которой приложено больше нагрузок);

в) заменяем действие отброшенной части фермы усилиями в разрезанных стержнях; при этом полагаем, что усилия в стержнях растягивающие, т.е. направленные от узла;

г) составляем такое уравнение статики, чтобы только искомое усилие входило в него в качестве единственного неизвестного;

д) решаем уравнение и находим искомое усилие; если результат будет со знаком плюс, то стержень действительно растянут, если со знаком минус, то стержень сжат.

Рассмотрим метод на примере фермы (рис. 3.36). Ферма статически определима и геометрически неизменяема. Индексы стержня и усилия в нем примем одинаковыми, например, O _3-4  - это усилие в стержне O _3-4  .

Требуется от заданной нагрузки определить величины усилий

O _3-4; U _16-17; D _3-17; D _4-16; V _4-17; V _6-15.

Усилие O _3-4. Проведем разрез I - I, он проходит через три стержня, включая стержень O _3-4 (рис. 3.36 а). Отбросим правую часть фермы, заменив ее действие усилиями в разрезанных стержнях O _3-4 , V _4-17, U _16-17, предполагая, что они растягивающие (рис. 3. 36 б). Эти усилия неизвестны. Рассмотрим равновесие левой части фермы. Уравнение равновесия нужно составить так, чтобы в него вошло неизвестное усилие O _3-4, но не вошли усилия V _4-17 U _{16-17 .} Очевидно, этому условию удовлетворяет уравнение - сумма моментов всех сил, приложенных к левой части фермы, относительно точки 17, находящейся на пересечении стержней V _4-17  и U _16-17.

М₁₇ = 0.

Получим (величины R _А ^V и R _А ^H предварительно определены)

O _3-4 · r ₁₇ + R _А ^V · 2 d - P ₂ · d = 0.

Отсюда

O _3-4 = (P ₂ · d - R _А ^V · 2 d)/ r ₁₇.   

Если в результате вычислений получили, что правая часть уравнения отрицатель­ная, то это значит, что стержень O _3-4 в действительности не растянут (как предположили в расчетной схеме), а сжат.

При определении усилий в стержнях фермы иногда приходится пользоваться величинами ранее найденных усилий в других стержнях. В этом случае рекомендуется сохранить принятую расчетную схему неизменной, в которой усилия в разрезанных стержнях показаны растягивающими. И только в вычислениях учитывать действительный знак величины ранее найденного усилия. Если стержень в действительности сжат, а не растянут, то при вы­числениях величина усилия встержне должна фигурировать со зна­ком минус. Если мы откорректируем расчетную схему, поменяв нап­равление действий усилия в сжатом стержне на противоположное принятому, то возможна путаница со знаками величин в дальнейших расчетах.  

Усилие U_16-17. Для определения U _16-17 воспользуемся тем жеразрезом I - I (рис. 3.36 а). Величину и знак усилия опреде­лим из уравнения

                                                  ∑М₄ = 0.

Получим - U _16-17 · h + R _А ^V · 2 d + R _А ^H · h - P ₂ · d = 0.

U_16-17 = (R _А ^V · 2d + R _А ^H ·h - P₂ · d)/h.                                                                 (3.28)

Стержень растянут.

Усилие V_4-17 . Величину и знак усилия определим из уравнения ∑М_К = 0.

Моментная точка «К» находится на пересечении стержней O _3-4 и U _16-17 за пределами фермы.

Получим - V _4-17 · (а + 2 d) - R _А ^V · а + P ₂ · (а + d) = 0.

V _4-17 = [ P ₂ · (а + d) - R _А ^V · а]/ (а + 2 d).                                                           (3.29)

Знак усилия V _4-17 определится по результатам вычислений.

Усилие D_3-17. Проводим разрез II - II, проходящий через стержень D _3-17 и два других стержня (рис. 2.36 а). Отбросим правую часть фермы, заменим опять действие отброшенной части усилиями в разрезанных стержнях и рассмотрим равновесие оставшейся левой части фермы (рис. 2.36 в).

Величину и знак усилия определим из уравнения ∑М_К = 0.

Получим D _3-17 · r _К - R _А ^V · а + Р₂ · (а + d) = 0.

                                     D _3-17 = [ R _А ^V · а - Р₂ · (а + d)]/ r _К.                                 (3.30)

Усилие D_4-16. Проводим разрез III-III (рис. 2.36 а), отбросим правую часть фермы и рассмотрим равновесие левой. Величину и знак усилия определим из уравнения равновесия - сумма проекций всех сил, приложенных к рассматриваемой части фермы, на вертикальную ось Y  (рис. 2.36 г), равна нулю: ∑ Y = 0.

Получим: - D _4-16 · Cos α + R _А ^V - P ₂ = 0;

        D _4-16 = (R _А ^V - P ₂)/ Cos α.                                                                          (3.31)

Усилие V_6-15. Проводим разрез IV - IV, начинающийся и окан­чивающийся с одной стороны фермы, т.е. вырезаем узел 15 (рис. 3.36 а). Рассмотрим равновесие вырезанного узла (рис.2.36 д). Величину и знак усилия определим из уравнения

∑ Y = 0.

Получим     + V _6-15 - P ₄ = 0;        V _6-15 = P ₄.                                                                (3.32)

Стержень растянут.

Нетрудно видеть, что если бы к узлу 15 не была приложена сила P ₄, усилие

V _6-15 равнялось бы нулю. Такие стержни, работающие исключительно на местную нагрузку, представляют особую группу стержней фермы (признаки таких неработающих «нулевых» стержней приведены на рис. 3.39 – 3.41.

Дополнительные сведения по определению усилий в стержнях ферм.

В некоторых случаях не удается составить уравнение, в которое входит, только одно неизвестное. Так, например, для опреде­ления усилия в средней стойке V 4_-10 фермы (рис 3.37) необходимо вырезать узел 4 и определить величину усилия с помощью уравнения                      ∑ Y = 0,

получим - V_4-10 - О_3-4 · Cos α - О_4-5 · Cos α -Р₂ = 0,

тогда V _4-10 = - (О_3-4 · Cos α + О_4-5 · Cos α +Р₂).                                           (3.33)

          Рис. 3.37. Анализ усилий в стержнях методом вырезания узла

Очевидно, величину усилия можно определить лишь после того, как будут найдены усилия О_3-4 и О_4-5 (здесь вследствие сим­метрии О_3-4 = О_4-5).

Выше было указано, что разрез фермы должен проходить, как правило, не более чем через три стержня. Однако в некоторых случаях разрез может проходить и более чем через три стержня. Например, для определения усилия в стержне О_3-4  (рис. 3.38) разрез I - I через четыре стержня допустим, так как три из них пересекаются в одной точке. К этому можно добавить, что разрезать более трех стержней допустимо и тогда, когда усилия в некоторых стержнях уже определены.

                                                         Рис. 3.38. Определение усилия в стержне О_3-4  при                                                                      разрезе через 4-е стержня

В фермах при заданной нагрузке некоторые стержни не работают и усилия в них, естественно, равны нулю. Перед расчетом их целесообразно отыскать, и тем самым упростить определение усилий в остальных стержнях.

Признаки неработающих, так называемых, «нулевых» стержней (рис. 3.39):

а) если в узле фермы сходятся два стержня, не лежащих на одной прямой, и к узлу не приложена нагрузка, то усилия в этих стержнях равны нулю (N ₁ = N ₂  = 0) (рис. 3.39 а);

б) если в узле фермы сходятся два стержня, не лежащие на одной прямой, и к узлу приложена нагрузка Р, действующая по направлению одного из них, то усилие во втором стержне равно нулю (N ₂  = 0) (рис. 3.39 б);

в) если в узле фермы сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой, и к узлу не приложена нагрузка, то усилие в третьем стержне (одиночном) равно нулю (N ₃  = 0) (рис. 3.39 в).

Рис. 3.39. Признаки неработающих стержней

Используем рассмотренные признаки для анализа фермы, показанной на рис. 3.40, при определении «нулевых» стержней.

Рис. 3.40. Плоская ферма с параллельными поясами: а - исходная структура;      б - упрощенная структура с удалением неработающих (нулевых) стержней               

 Узел 2. Усилия в обоих стержнях, сходящихся в узле, равны нулю; O _2-3 =0, V _1-2 =0.

Узел 10. Усилие в одиночном стержне равно нулю; V _3-10 =0.

Узел 9. Усилие в одиночном стержне равно нулю V _4-9 =0.

Узел 3. Если V _3-10 =0, то это равнозначно, что стержень 3-10 отсутствует. Следовательно, стержень 1-3 оказывается одиночным и усилие в нем равно нулю: D _1-3 = 0.

Узел 3. Если из четырех стержней, сходящихся в узле, в трех усилия равны нулю, то и в четвертом усилие равно нулю; O _3-4 =0.

На рис. 3.40 а двойным штрихом показаны неработающие стержни фермы.

Таким образом, из всей фермы при данной нагрузке работают только стержни, показанные на рис. 2. 40 б.

Предлагается самостоятельно определить «нулевые» стержни в фермах, показанных на рис. 3.41.

Рис. 3.41. Примеры ферм для выявления неработающих стержней: а, б – схемы ферм;   в, г – работающие стержни (нулевые условно удалены)

Трехшарнирные арочные фермы

Некоторые типы конструкций трехшарнирных арочных ферм представлены на рис. 3.42. В фермах этого типа шарниров в действительности не три, как мы видим, а гораздо больше. Термин «трехшарнирная» принят условно. Подразумевается при этом, что речь идет о двух опорных шарнирах А и В и среднем шарнире Св пролете. Такая конструкция предопределяет отличие трехшарнирных ферм похарактеру работы от «традиционных» ферм балочного типа.

Трехшарнирные фермы, как и трехшарнирные арки, являются распорными системами, их опорные реакции наклонны при вертикальной нагрузке. Иначе говоря, при вертикальной нагрузке опорные реакции трехшарнирных ферм имеют каквертикальные, так и горизонтальные составляющие - распоры. (Вфермах балочного типа при вертикальной нагрузке опорные реакции имеют только вертикальные составляющие).     

Рис. 3.42. Примеры трехшарнирных арочных ферм

Трехшарнирные фермы соединяют в себе свойства арок и ферм,. поэтому с их помощью можно перекрывать большие пролеты без воз­ведения промежуточных опор. Они нашли широкое применение при возведении мостов, строительстве ангаров, павильонов, выставочных залов и спортивных сооружений. По внешнему виду трехшарнирные фермы легки и изящны. В некоторых сооружениях несущие металлические конструкции с использованием трехшарнирных ферм намеренно не декорируют, оставляя их открытыми для обозрения. При удачном конструктивном решении и тщательном исполнении в этих случаях трехшарнирные фермы (так же, как и арки) составляет эстетическую канву всего сооружения, придавая ему воздушность и изящество.

Определенным недостатком трехшарнирных арок является необходимость возведенияотносительно мощных и тяжелых опорных частей. Поэтому для облегчения опор, если позволяют габариты, трехшарнирные арочные фермы устраивают с затяжками (рис. 3.42 г).

Как правило, стержни трехшарнирных арочных ферм делают пря­молинейными. Аналитический способ расчета трехшарнирных ферм рассмотрим на примере (рис. 3.43 а).

Предварительно проведем анализ на неизменяемость и статическую определимость. Первое необходимое условие неизменяемости как арок, так и ферм, выражается уравнением (3.23): 2У = С_Ф + С_ОП

Для арки по  рис. 3.43: 2·17 = 30 + 4.

Это условие выполняется. Как известно, выполнение указанного ус­ловия является одновременно признаком статической определимости фермы. Выполнение второго необходимого условия неизменяемости в нашем случаецелесообразно установить следующим образом. В ферме (рис. 3.43 а), выделим диски - фермы простого образования АС и СВ. Совместно с диском «земля» общее количество дисков в рассматриваемой системе равно трем.Эти три диска соединяются тремя шарнирами - А, В и С (А и В - условные шарниры). Следовательно, правило соединения трех дисков в единую неизменяемую систему выполнено.

Рис. 3.43. Схема к расчету трехшарнирной арочной фермы

Делаем заключение, что ферма,представленная на рис. 3.43 а, геометрически неизменяема и статически определима.

Расчет начнем с определения опорных реакций. Для определе­ния вертикальной составляющей левой опорной реакции R_A^V   приравняем нулю сумму моментов всех сил, приложенных к ферме, относительно точки В ∑М_В = 0;

                    R_A^V· L - P₁ · b₁ - P₂ · b₂ - … - P₆ · b₆ = 0,

отсюда

                    R_A^V = (P₁ · b₁ + P₂ · b₂ + … + P₆ · b₆)/L = ∑ М_В /L.

Приравнивая нулю сумму моментов всех сил, приложенных к ферме, относительно точки А, найдём вертикальную составляющую R_B^V правой опорной реакции.

         R _В ^V = (P₁ · a₁ + P₂ · a₂ + … + P₆ · a₆)/L = ∑ М _A /L = ∑ М _A /L.

Можно сделать проверку, приравняв нулю сумму проекций всех сил (включая теперь R_A^V и R _В ^V)на вертикальную ось: ∑ Y = 0.

  Горизонтальную составляющую левой опорной реакции R_A^H найдем, используя условие, что сумма моментов всех сил, расположенных слева от среднего шарнира С, относительно этого шарнира равна нулю

R_A^V · L _а - Р₁ (L _а - а₁) - Р₂ (L _а - а₂) - Р₃ (L _а - а₃) - R_A^H · f = 0;

R_A^H = [ R_A^V · L _а - Р₁ (L _а - а₁) - Р₂ (L _а - а₂) - Р₃ (L _а - а₃)] / f.

Нетрудно видеть, что числитель здесь представляет собой величину изгибающего момента для простой балки на двух опорах, того же пролета, под той же нагрузкой в сечении C под средним шарниром (рис, 3.43 б). Обозначив величину этого изгибающего момента через М_С⁰, запишем

          М_С⁰ = R_A^V · L _а - Р₁ (L _а - а₁) - Р₂ (L _а - а₂) - Р₃ (L _а - а₃).

Тогда

             R_A^H = М_С⁰ / f.                                                                                  (3.36) 

Горизонтальная составляющая правой опорной реакции R _В ^H равна также

                               R _В ^H = М_С⁰/ f.

Следовательно, горизонтальные составляющие опорных реакций правой и левой равны по величине R_A^H = R _В ^H = Н.

В статике сооружений их принято называть распором и обозначать индексом «Н».

Усилия в стержнях определяются как для обычной балочной фермы.

_Усилие_0_3-4. Проведем разрез I - I (рис. 3.43 а), отбросим правую часть фермы, заменим ее действие усилиями в разрезанных стержнях, полагая, что они растянуты, и рассмотрим равновесие левой части фермы (рис.3.44 а).

Моментная точка 13 находится на пересечении двух остальных разрезанных стержней. Искомое усилие О_3-4 определим из уравнения

                     ∑М₁₃ = 0,

выражающего условие, что момент всех сил, действующих на левую часть фермы относительно моментной точки 13, равен нулю. Раскроем уравнение

                   О_3-4· r ₁ + R_A^V · x ₁ - P ₁ · r ₂ - H · y ₁ = 0,

отсюда О_3-4 = (R_A^V · x ₁ - P ₁ · r ₂ - H · y ₁)/ r ₁.

Рис. 3.44. Схема к расчету усилий в стержнях фермы

Усилие D _3-13. Воспользуемся тем же разрезом I - I. Моментная точка К _I находится на пересечении стержней 3-4 и 12-13. Составляем уравнение равновесия ∑М _{K 1} = 0

D _3-13 · r ₃ + R_A^V · x ₂ - P ₁ · r ₄ - H · y ₂ = 0,

отсюда D _3-13 = (R_A^V · x ₂ - P ₁ · r ₄ - H · y ₂) / r ₃.

Усилие U_12-13.Воспользуемся еще раз разрезом I - I. Моментная точка 3 находится на пересечении стержней 3-4 и 3-13. Искомое усилиеопределим из уравнения ∑М₃ = 0. Прежде чем записать это уравнение в развернутом виде, необходимо, как мы видели выше, найти плечи всех сил, действующих на рассматриваемую левую часть фермы, относительно моментной точки 3. На рис. 3.44 а они не показаны. Предлагается это сделать самостоятельно. Напоминаем, что плечом силы относительно выбранной моментной точки является величина перпендикуляра, опущенного из моментной точки налинию действия данной силы.

Усилие О_5-6.Проведем разрез П-П (рис. 3.43 а). Отбросим правую часть фермы, заменим ее действие усилиями в разрезанных стержнях, полагая их растянутыми (направление усилий в стержнях от узлов), и рассмотрим равновесие левой части фермы (рис. 3.44 б). Искомое усилие О_5-6 определим из уравнения    

                                                            ∑ М ₁₄ = 0;

                            О _5-6 · r₅ + R_A^V·x₃ - P₁ · r₆ - P₂ · r₇ - H · y₃ = 0.

Отсюда

                      О _5-6 =  (R_A^V·x₃ - P₁ · r₆ - P₂ · r₇ - H · y₃) /r₅.

Усилие U_6-14. Воспользуемся тем же разрезом П-П. Искомое усилие U _6-14 можно определить из уравнения ∑М₅ = 0.

Предлагаем составить и записать это уравнение в развернутом виде самостоятельно, предварительно определив плечи сил.

Усилие V_7-15. Вырежем узел 7 (рис. 3.43 а). Рассмотрим равновесие вырезанного узла 7 (рис. 3.44 в). Искомое усилие определим из уравнения ∑γ = 0, выражающего условие, что сумма проекций усилий в стержнях фермы, сходящихся в узле 7, на ось γ, перпендикулярную линии действия усилий О_6-7 и

О _7-8, равна нулю.

V_7-15 · Cos β - P₄ · Cos β = 0.

Отсюда V _7-15 = - P ₄. Стержень V _7-15 сжат.

Усилие U_1-12.  Проведем разрез IV - IV (рис. 3.43 а). Рассмотрим равновесие левой части фермы (рис. 3.44 г). Искомое усилие определится из уравнения

                                                 ∑Х = 0;

                    + U _1-12 · Cos σ + Н = 0.

Отсюда U _1-12  = - Н/ Cos σ. Стержень U_1-12  сжат.

Усилие О_1-2. Воспользуемся тем же разрезом IV-IV. Искомое усилие О_1-2 определится из уравнения ∑ Y = 0;

+ О_1-2  + R_A^V + U _1-12 · Sin σ = 0.

Отсюда О_1-2  = - (R_A^V + U _1-12 · Sin σ) = Н · tg σ - R_A^V.

Если величина правой части уравнения будет иметь знак минус, стержень О_1-2  сжат, если знак плюс - растянут.

Подобным образом можно определить усилия во всех остальных стержнях рассмотренной трехшарнирной арки.

3.4.5. Перемещения в статически определимых фермах

Если к ферме приложить внешнюю нагрузку, то она изменит свою форму и размеры. Это происходит вследствие того, что стержни ферм упруго деформируются под действием продольных усилий. При этом растянутые стержни удлиняются, сжатые - укорачивается. Упругая деформация несущих конструкций, в том числе и ферм, под действием внешней нагрузки - это неизбежное нормальное явление. При проектировании обращают внимание на главный компонент дефор­мации фермы под нагрузкой - прогиб (f) посредине пролета. Дело в том, что жесткость несущих конструкций, в том числе и ферм, ко­торую оценивают показателем f / L, где L - пролет является очень важной эксплуатационной характеристикой. Для ферм разного назначения норма жесткости находится в пределах 1/300 - 1/750. Величина жесткости должна бытьоптимальной. Например, если ферма имеет малую жесткость f / L > 1/200, то она вследствие большого прогиба под нагрузкой может оказаться непригодной к использованию, даже если условия прочности выполнены.

Рассмотрим способ аналитического определения прогиба фермы (pиc.3.45). Статически определимая ферма пролетом 4 метра нагружена в узле 2 одной сосредоточенной силой Р = 10 т. Материал, из которой изготовлена ферма, - сталь, имеющая величину модуля упругости Е-=2,1·10⁶ кг/см².  Требуется аналитически определить прогиб посредине пролета f, т.е. вертикальное перемещение узла 4. Результаты вычислений приведены в табл. 3.1.

Рис. 3.45. К расчету перемещений фермы: а - схема нагружения заданной нагрузкой;      б - схема нагружения фиктивной единичной нагрузкой в узле 4, премещение которого требуется определить

Перемещения узлов фермы определяются по формуле:

                         ∆_ХР = ∑ (N_X · N_P · L_i) / (E · F_i),                                            (3.37)

где ∆_ХР - искомое перемещение, см;

N_X - усилие в стержне фермы от действия фиктивной единичной силы X = 1, приложенной к ферме в искомом узле по искомому направлению; в нашем примере еди­ничную силу прикладываем в узле 4 вертикально вниз (рис. 3.45 б).

N_P - усилие в стержне фермы от заданной нагрузки, в на­шем примере от

Р = 10 т;

L_i - длина i -го стержня, см;

E - модуль упругости материала фермы, в нашем случае E = 2,1· 10⁶ кг/см²;

F_i - площадь поперечного сечения i -го стержня, см.

Приступим к расчету. Сначала определим опорные реакции и усилия в стержнях фермы от действия заданной силы Р = 10 т (рис.3.45 а).

Опорные реакции. Вследствие полной симметрии опорные реакции одинаковы и равны   R_AP = R_BP = 5 т = 5000 кГ.

Усилие O_1-2. Вырежем узел 1 и рассмотрим его равновесие (рис.3.46 а).       

  ∑ Y = 0:        + R_A + O _1-2 · Sin α = 0.

Отсюда O_1-2 = - R_AP / Sin 45º = - 5000/ 0,707 = - 7072 кГ.

Вследствие симметрии O _2-3 = - 7072 кГ.

Усилие U_1-4P. Также используем условие равновесия узла I: ∑ X = 0:

                        + U _{1-4 P} + O _{1-2 P} · Cos 45º = 0.

Отсюда U _{1-4 P} = - O _{1-2 P} · Cos 45º = -(-7072) · 0,707 = + 5000 кГ.

Вследствие симметрии U _3-4 = + 5000 кГ.

Усилие V_2-4P. Вырежем узел 4. Рассматривая систему стержней, сходящихся в узле, можно без труда обнаружить, что стержень 2-4 подпадает под признак «нулевого». Напоминаем формулировку этого признака: если в узле сходятся три стержня, два из них расположены по одной прямой, и к узлу не приложена нагрузка, то усилие в третьем стержне равно нулю. Следовательно, усилие

V _{2-4 P} = 0.

Заметим, что величину усилия в стержне 1-2 можно установить, рассматривая равновесие узла 4, составив и решив уравнение статики: ∑Х = 0.

Определим усилия в стержнях фермы от действия единичной силы Хˉ = 1 (рис. 3.46 б).

Рис. 3.46. Определение усилий в стержнях узла 1 (а) и узла 4 (б)

Значения усилий в стержнях фермы (кроме усилия V _2-4Х    в стержне 2-4)от действия силы Хˉ = 1 можно определить, не прибегая к специальным расчетам, из численного отношения величин Р и Хˉ = 1.                                                                                                             Усилие V_2-4X.   Вырежем и рассмотрим равновесие узла 4 (рис. 3.46 б). Так как сила

Хˉ =1 приложена к узлу 4, то стержень 2-4 в этом случае не является нулевым. Усилие в нем определим, соста­вив и решив уравнение ∑ Y = 0 V _{2-4 X}  - Хˉ = 0.

Отсюда V _{2-4 X}  = + 1.

Результаты вычислений поместим в таблицу 3.1.

                                                                             Таблица 3.1

Данные к расчету перемещения узла 4 от заданной нагрузки

Вычислим значения величины (N_X · N_P · L_i) / F_i     для каждого стержня и результаты поместим в правый столбец табл. 3.1 Модуль упругости E одинаков для материала всех стержней, поэтому его значение пока опустим и учтем в итоговом результате вычислений.

Подсчитаем величину искомого прогиба ∑ (N_X · N_P · L_i) / F_i = + 241480.

Прогиб f = ∆_ХР = ∑ (N_X · N_P · L_i) / (E · F_i) = 241480 / 2100000 = 0,11 c м.

Подсчитаем величину показателя жесткости фермы

f / L = 1,1 · 10^-1 / 4 · 10² = 1 / 4000 = 0, 00025.

Такая классическая методика расчета перемещений узлов ферм применима для простых ферм с небольшим количеством стержней. Для сложных ферм (статически определимых и неопределимых) при большом количестве стержней, а также объемных ферм в настоящее время используются программы расчета ферм, например, по методу конечных элементов предлагается использовать компьютерную программу 3DFerm (ОСКАЛ).

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?