Смешанное произведение трёх векторов

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Определение: Смешенным произведением векторов ,  и  называется выражение вида .

Если векторы ,  и  заданы своими координатами, то

.

Свойства смешенного произведения:

1. От перестановки двух соседних сомножителей смешенное произведение меняет знак:

.

2. Если два из трех данных векторов равны или коллинеарные, то их смешенное произведение равно нулю.

3. Имеет место тождество , поэтому смешенное произведение можно записать в виде , т.е. без знаков действий и без скобок.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  и :

.

Объем пирамиды, построенной на векторах ,  и :

.

Условия компланарности трёх векторов:

Если ,  и  компланарны, то  и наоборот.

Аналитическая геометрия.

Уравнения плоскости.

1.Уравнение плоскости, проходящей через точку  и перпендикулярной к вектору .

Пусть  произвольная точка плоскости,

 и по условию ортогональности векторов (см. 2.1.2.)

       (1)

2.Общее уравнение плоскости:

                                  (2)

Вектор  называется нормальным вектором к плоскости (1) и (2).

3.Уравнение плоскости в отрезках на осях:

                                               (3)

Пусть заданы две плоскости  Ax+By+Cz+D=0 и

1.Угол, образованный двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами:

2.Условие параллельности плоскостей

3.Условие перпендикулярности плоскостей:

Расстояние точки  от плоскости Ax+By+Cz+D=0:

Уравнения прямой в пространстве

1. Уравнения прямой,  проходящей через точку  и параллельной вектору .

Пусть  произвольная точка прямой, тогда ,

 и по условию коллинеарности векторов (см.2.1.2)

Уравнения (5) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор  называется направляющим вектором прямой.

2. Параметрические уравнения прямой получим, приняв каждое из отношений (5) параметру t:

                                                                   (6)

3. Уравнения прямой, проходящей через две точки  и :

4. Общие уравнения прямой:

Угол между прямой  и плоскостью Ax+By+Cz+D=0

Уравнения прямой на плоскости.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент , где -  угол наклона прямой к оси ОХ.

Общее уравнение прямой

Уравнение прямой в отрезках на осях Х

, где a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнения пучка прямых, проходящих через заданную точку :

Угол , отсчитанный против часовой стрелки от прямой  до прямой  определяется формулой

Условие перпендикулярности  

Условие параллельности

Решение типового варианта.

Задача№3.

Даны координаты точек A,B,C,D.

Найти:   а) угол между векторами ;

              б) площадь треугольника АВС;

              в) высоту треугольника АВС, опущенную из вершины С;

              г) объем пирамиды ABCD;

              д) высоту пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание АВС.

А(-1,2,3), В(4,-1,3), С(2,0,5), D(7,8,-1)

Решение:

а)

б) Площадь треугольника АВС, построенного на векторах

в) Известно, что , значит ,

г)

=5(8-12)+3(-12-16)=-20-84= - 104

д)

Задача №4.

  Составить уравнение плоскости проходящей через точку А и перпендикулярно вектору  А(1;4;-2), B(6;7;0), C(8;6;3).

Решение.

 – нормальный вектор к искомой плоскости (см. 2.2.1.)

Пусть точка M(x,y,z) – произвольная точка искомой плоскости,  и по условию перпендикулярности векторов 2(х-1)+(-1)(y-4)+3(z+2)=0, 2x-2-y+4+3z+6=0,  

2x-y+3z+8=0 - уравнение искомой плоскости.

Задача №5.

Даны координаты точек A,B,C,D.

Найти:   а) уравнение плоскости, проходящей через точки А,В,С;

              б) расстояние точки D до плоскости АВС;

              в) угол между плоскостью АВС и плоскостью 5x-3y+7z-3=0

А(1;1;3), В(-2;1;4), С(-1;2;3), D(-1;1;5).

Решение:

а) В искомой плоскости возьмём некоторую точку M(x,y,z), тогда вектора

лежат в искомой плоскости, значит компланарны.

    Запишем условие компланарности трёх векторов (см. 2.1.4.):

(x-1)(0-1)-(y-1)(0+2)+(z-3)(-3+0)=0

-x+1-2y+2-3z+9=0

X+2y+3z-12=0 – уравнение плоскости АВС, её нормальный

 вектор .

б) Найдем расстояние точки D до плоскости АВС. (см. 2.2.1. формула (4))

в) угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами

    Задача №6.

  Прямая  задана общими уравнения.

Найти:   а) канонические и параметрические уравнения прямой ;

              б) найти угол между прямой  и прямой :

Решение:

а) Прямая  задана как пересечение плоскостей (1) и (2) с нормальными векторами соответственно. .

Направляющий вектор прямой  ортогонален  и , найдем его как векторное произведение (см. 2.1.3).

Для простоты возьмём направляющим вектором противоположный

 Найдем какую-нибудь точку, лежащую на , т.е. удовлетворяющую условиям (1) и (2).

Пусть z=0, тогда   Сложим уравнение, получим 2х=8, х=4, значит y=-4. Точка  принадлежит искомой прямой, параллельной вектору  Пусть точка M(x,y,z) некоторая точка искомой, тогда вектор  коллинеарен вектору . Запишем условие коллинеарности двух векторов (см.2.2.2)

 Тогда параметрические уравнения прямой  имеют вид (см. 2.2.2):

б) Угол между прямыми  равен углу между их направляющими векторами

Задача №7.

Найти точку пересечения прямой и плоскости. Найти угол между прямой и плоскостью.

Решение:

    Уравнения прямой запишем в параметрическом виде (см. 2.2.2):

  Выражения подставим в уравнения плоскости, решим его относительно t:

2(t+1)+3(-2t-1)+6t-1=0, 2t+2-6t-3+6t-1=0, 2t=2, t=1.

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости , подставим найденное значение t в параметрические уравнения, получим x=2, y=-3, z=6, т.е.  Угол  между прямой и плоскостью находим по формуле (9) пункта 2.2.2. Направляющий вектор прямой , нормальный вектор плоскости .

Задача №8.

Даны координаты точек А,В,С.

Найти:   а) уравнение медианы AD;

             б) уравнение высоты АЕ;

              в) угол между AD и АЕ;

              г) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно АВ.

А (-4;2), В (6;-4), С (4;10).

Решение:

а) Точка D – середина отрезка ВС, её координаты (см. 2.1.1.):

Уравнение медианы AD находим как уравнение прямой, проходящей через две точки (см. (11) в пункте 2.2.3.).

б) Чтобы найти уравнение высоты АЕ, составим уравнение перпендикулярной ей СВ (см. (11)).

-7(x-6)=y+4, y=-7x+38 - уравнение СВ,

 и поставим вместо k значение

в) По формуле (13) пункта 2.2.3 найдем угол между АЕ и AD, в нашем случае

г) Найдем уравнение прямой АВ (см. (11)

Искомая прямая  (см. (15) пункт 2.2.3)

Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку С:

y-10=k(x-4) и подставим вместо k значение .

y-10=-0,6(x-4)

y=-0,6x+12,4 уравнение прямой СМ.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте