Лабораторная работа № 2. Моделирование многомерного нелинейного объекта управления.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 12Следующая ⇒

Тема лабораторной работы. Моделирование многомерного нелинейного объекта управления.

Цель лабораторной работы. Получение практических навыков моделирования и анализа многомерных систем управления с использованием математической модели в пространстве состояний.

Задание. Функциональная схема объекта управления изображена на рисунке 1.

			F2
	F1

Рис. 1. Объект управления

где: G_вх, G_вых, G₁₂ – расход жидкости на входе, между емкостями и на выходе из системы:

;                     

;     

;

где:

F_j – площадь поперечного сечения j-ой емкости;

h_j – уровень жидкости в емкости j;

v _j – положение j-го крана;

α₁, α₁₂, α₂ – параметры;

H₁, H₂ – напор жидкости на выходе и входе.

Изменение уровней в емкостях описывают нелинейные уравнения состояния анализируемой системы (уравнения материального баланса):

                          (1)

                       (2)

Начальные значения уровней  в емкостях определяют решением уравнений:

                             (3)

                           (4)

при заданных значениях параметров и входных воздействий.

Уровнемер установлен в емкости, номер j которой указан в таблице вариантов задания. Выходной сигнал уровнемера связан с уровнем уравнением наблюдения:

,                                                        (5)

где  - уровень в емкости j, значение которого определяют моделированием на ЭВМ;

.                                                (6)    

Изменение уровней в емкостях осуществляют с помощью управляющего воздействия

,                                                               (7)

где  - текущее значение положения крана с номером j, указанного в варианте задания. Изменение во времени управляющего воздействия осуществляется (с помощью регулятора) по следующему закону:

.                                                (8)

Положения остальных кранов остаются неизменными и равными первоначальным значениям.

Параметры уравнений (1)-(8) для разных вариантов задания приведены в таблице 1.

Таблица 1. Параметры объекта управления

При выполнении лабораторной работы необходимо:

1. Построить графики переходных процессов по нелинейным моделям.

2. Составить линеаризованную математическую модель ОУ в пространстве состояний. Линеаризацию выполнить в отклонениях от начального состояния (в момент времени t=0). Переменными состояния считать отклонения уровней от своих начальных значений:

; .                          (9)

3. Выполнить анализ управляемости и наблюдаемости объекта управления с помощью полученной линеаризованной модели.

4. Составить разностные модели объекта управления (квантование времени выполнить с постоянным шагом с.) с помощью метода Эйлера.

5. Моделированием на ЭВМ построить графики изменения во времени управляющего воздействия и уровней жидкости в емкостях с использованием нелинейных уравнений состояния (1)-(8).

6. Моделированием на ЭВМ построить графики изменения во времени переменных состояния объекта управления (отклонений уровней от своих начальных значений) с использованием уравнений линеаризованной модели ОУ.

7. Определить погрешности определения уровней жидкости в емкостях с помощью линеаризованной модели (решение нелинейных уравнений считать в качестве действительных законов изменения уровней).

8. Составить отчет.

Методические указания к выполнению задания

1. Определение начального состояния. Уравнения (4), (5) представим в следующем эквивалентном виде:

;            

.

Или:

;              

.

Составим векторы и матрицу

; ;

.

Тогда в матричном виде уравнения (4), (5) можно представить так:

.

Из решения этого уравнения определим начальные уровни в емкостях:

.                                                                 (10)

2. Составление линеаризованной математической модели ОУ в отклонениях от начального состояния. Составим новые переменные (отклонения входных воздействий и уровней в емкостях от своих начальных значений):

; ; ; .

В начальном состоянии объект управления находится в установившемся состоянии. Поэтому  и .

Дифференциальное уравнение (1) представим в следующей форме:

,                                              (11)

где

.

Разложим правую часть уравнения (11) в ряд Тейлора в окрестности начального состояния и оставим в этом разложении только линейные слагаемые. Тогда с учетом равенства (3) получим следующее линеаризованное уравнение:

,            (12)

где:

; 

;

; 

;  (13)

 − неконтролируемое возмущающее воздействие, обусловленное погрешностью линеаризации нелинейного дифференциального уравнения (3).

Аналогичным образом нелинейному дифференциальному уравнению (4) соответствует линеаризованное уравнение в отклонениях от начального состояния:

,        (14)

где:

; ;

; ;   (15)

.

 − неконтролируемое возмущающее воздействие, обусловленное погрешностью линеаризации нелинейного дифференциального уравнения (4).

В результате уравнения состояния объекта управления в отклонениях от начального состояния можно представить в следующем виде:

,                                                                    (16)

где элементами матриц   и  являются постоянные коэффициенты  и , вычисленные по формулам (13) и (15).

В соответствии с заданием (табл. 1) в процессе управления изменяют положение только клапана, используемого для управления (), а остальные клапаны остаются в начальном состоянии (). Поэтому в уравнениях (12) и (14) нужно учитывать только коэффициенты , стоящие сомножителями при управляющем воздействии.

В частности, если для управления используют клапан с номером , то  и матрицу  нужно формировать так:

.

Уровнемер установлен в емкости с номером . В качестве выходного сигнала  измерительного устройства будем считать отклонение уровня в емкости с номером  от своего начального значения. Тогда уравнение наблюдения примет вид:

,

или в матичной форме:

,                                                                             (17)

где матрица  имеет отличный от нуля элемент  (с номером );  − погрешность измерений.

Таким образом, модель объекта управления в отклонениях от начального состояния включат в себя уравнение состояния (16) и уравнение наблюдения (17).

3. Анализ управляемости и наблюдаемости ОУ. Анализ управляемости и наблюдаемости нужно выполнить по соответствующим критериям Калмана с использованием линеаризованной модели объекта управления (16), (17), имеющей одно управляющее воздействие и две переменные состояния:  и .

Для этого нужно при числе переменных состояния  сформировать матрицу управляемости

,

матрицу наблюдаемости

и проверить с помощью Mathcad выполнение условий управляемости и наблюдаемости:

; .

4. Моделирование переходных процессов. Для этого нужно методом Эйлера составить разностные уравнения состояния объекта управления (см. методические указания к лабораторной работе № 1) и выполнить решение полученных уравнений с помощью Mathcad.

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?