Моделирование многомерных случайных данных

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 15Следующая ⇒

        Если y – случайная величина с математическим ожиданием m и дисперсией σ², то

x = (y – m)/σ

- случайная величина с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, y = m +σ x. Если Y – r -мерный случайный вектор со средним m и ковариационной матрицей Σ, то

X = Σ^-1/2(Y - m)

- r -мерный случайный вектор со средним 0 и ковариационной матрицей E (операция «отбеливания» вектора Y), Y = m + Σ^1/2 X.

   Если функция «квадратный корень из матрицы» недоступна, поступаем следующим образом. Пусть Q -диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа Σ,

P – матрица, столбцами которой являются нормированные собственные векторы S. Построим матрицу

Тогда S ^1/2= . Это позволяет, в частности, моделировать выборки из r -мерного нормального закона N_r (m,Σ), используя стандартный датчик нормально распределенных случайных чисел X = randn(r, n). 

Замечание. Имеется следующий распространенный источник ошибок при моделировании векторных выборок. Если имеются случайные величины x, y со средним 0, СКО σ _x, σ _y и число  то матрица

всегда является ковариационной матрицей случайного вектора  Если же величин три или больше, то коэффициенты корреляции между ними нельзя задавать произвольно. Например, если пары величин (x, y) и (y, z) связаны сильной положительной связью, то связь в паре (x, z) не может оказаться отрицательной. Это значит, что, задавая ковариационную матрицу трехмерного случайного вектора в виде

,

можно прийти к противоречию. Критерий корректности задания  состоит в том, что все собственные числа матрицы Σ должны быть больше или равны 0.

Пример 3.3.  Организовать процедуру эмуляции серии значений вектора X из задачи 3.2 и вычислить по методу Монте-Карло вероятность попадания этого вектора в треугольник с вершинами (0,0), (2,1), (1,3).

Задания на лабораторную работу

1. Решить приведенные ниже задачи. Привести вычисления и иллюстрации в ИМС MatLab.

2. Задать 2 набора значений СКО и коэффициентов корреляции. Сформировать 2 3-мерные ковариационные матрицы. Проверить непротиворечивость.

3. Сформировать 2 3-мерных облака точек как выборки объемом 1000 из заданных таким образом нормальных законов.

4. Получить выборочные оценки параметров. Дать графические иллюстрации.

Контрольные вопросы

  3.1. Построить для вектора X из задачи 2 доверительный эллипс с уровнем значимости 0.9.

  3.2. , k = 2, a = [1 2] ^T, σ₁² = 1, σ₂² = 2, ρ = 0. Найти вероятность попадания этого вектора в прямоугольник

D ={(x,y): -1< x <2, 0< y <2.5}.

3.3. , k = 2, a = [1 2] ^T, σ₁² = 2, σ₂² = 2, ρ = 0. Найти радиус R круга, для которого вероятность попадания в него вектора X равна 0.5.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте