Учебно-методический комплекс. Учебно-методический комплекс

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 5Следующая ⇒

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

для студентов заочной формы обучения

Г. Набережные Челны

2011

1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.

Цель преподавания дисциплины «Линейная алгебра» -формирование системы базовых знаний по данной дисциплине, которая позволит будущим специалистам решать в своей повседневной деятельности актуальные задачи практики, понимать написанные на современном научном уровне результаты других исследований и тем самым совершенствовать свои профессиональные навыки.

Основными задачами дисциплины являются:

- ознакомление студентов с ролью математики в современной жизни, с характерными чертами математического метода изучения реальных задач;

- обучение студентов теоретическим основам курса;

- привитие практических навыков математического моделирования реальных социально-экономических задач с использованием математического аппарата данного курса;

- развитие у студентов навыков творческого и логического мышления, повышение общего уровня математической культуры.

Данная дисциплина является основой при изучении таких дисциплин, как «Численные методы», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Многомерные статистические методы», «Методы оптимизации», «Исследование операций», «Эконометрика», а также других дисциплин, изучающих современные экономико-математические методы. В свою очередь, для изучения данной дисциплины необходимо знание элементарной математики.

В результате изучения данной дисциплины студент должен:

- знать теоретические основы линейной и векторной алгебры, алгебры многочленов, аналитической геометрии;

- уметь использовать полученные знания для решения практических задач.

Изучение дисциплины предусматривает проведение лекционных, практических занятий и самостоятельную работу студентов. В лекциях излагается содержание тем программы с учётом требований, установленных для специалиста в квалификационной характеристике. Практические занятия проводятся с целью закрепления теоретических основ курса, получения практических навыков решения математических задач. Контроль знаний осуществляется с помощью контрольной работы и итогового экзамена. 

2. Содержание и структура дисциплины.

2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).

Раздел I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.

Тема 1. Определители.

Определители 2-ого, 3-его, порядков, порядка n. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Вычисление определителей.

Литература: [1] –C.142-154; [2] – C.22-26; [3] – C.426-431;  [4] – C.263-268.

Тема 2. Матрицы.

Определение матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Линейная зависимость и независимость строк матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Обратная матрица, условие существования, основные способы её нахождения. Матричные уравнения, их решение.

Литература: [1] –C.136-142; 159-165;174-182; [2] – C.9-16; 26-29;    

                     [3] – C.416-426; 431-435;             [4] – C.259-263; 272-276.

Тема 3. Системы линейных уравнений.

Системы линейных уравнений (СЛУ). Основные понятия и определения. Матричная запись СЛУ. Теорема Кронеккера-Капелли. Формулы Крамера. Решение СЛУ методом обратной матрицы. Решение СЛУ методом Гаусса. Базисные и свободные неизвестные. Общее, базисное и опорное решения СЛУ. Однородные системы линейных уравнений, свойства их решений. Условия существования ненулевых решений однородных СЛУ. Фундаментальная система решений. Структура общего решения СЛУ.

Литература:    [1] –C.136-142; 154-159; 165-174;  [2] – C.38-53;     

                        [3] – C.436-457;                                 [4] – C.268-276.

Тема 5. Линейные операторы.

Линейный оператор, действия над ними. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов, их свойства и нахождение.      

Литература: [1] –C.202-221;                     [2] – C.78-86.

Тема 6. Квадратичные формы.

Квадратичные формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы. Критерии знакоопределённости квадратичных форм.

Литература: [1] –C.251-261;             [2] – C.86-91.

Тема 7. Векторная алгебра.

Геометрические векторы на прямой, плоскости и в пространстве, действия над ними. Проекция вектора. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме. Длина и направляющие косинусы вектора. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их свойства, выражение в координатной форме, приложения для решения геометрических задач. Условия перпендикулярности, параллельности и компланарности векторов.

Литература: [1] –C.5-37; [2] – C.63-68; [3] – C.301-305; [4] – C.222-241.

Задания для контрольной работы.

1 – 10. Вычислить определитель:

а) непосредственным разложением по  строке;

б) непосредственным разложением по  столбцу.

1.     2.      3.

4.       5.        6.

7.       8.     9.      

                                     10.

11 – 20. Найтиматрицу , если .

11. ,   12. ,

13. ,     14. ,

15. ,    16. ,

17. ,    18. ,

19. ,   20. , .

21 – 30. Найтисобственные числа и собственные векторы матрицы .

21. .  22. .   23. .

24. .   25. .     26. .

27. .   28. . 29. .

                                       30. .

31 – 40. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:  а) найти решение системы методом Крамера;

б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы;    в) найти решение системы методом Гаусса.

31.                      32.

33.                     34.

35.                     36.

37.            38.

39.            40.

41–50. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:

41 а) б)

42 а) б)

43. а) б)

44. а) б)

45. а)    б)

46. а)   б)

47. а)      б)

48. а) б)

49. а) б)

50. а)     б)

51 – 60. Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость (по критерию Сильвестра).

51. .

52. .

53. .    

54. .

55. .

56. .

57. .

58. .

59. .

60. .

61 – 70. Даны векторы .  Требуется:                     

а) вычислить скалярное произведение векторов , если , ; б) вычислить векторное произведение векторов ;        в) показать, что векторы  образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71-80. Даны вершины треугольника . Требуется найти:

а) длину стороны ; б) уравнение стороны ;

в) уравнение медианы , проведённой из вершины ;

г) уравнение высоты , проведённой из вершины ;

д) длину  высоты ; е) площадь  треугольника . Сделать чертёж.

71. .     72.

73.       74.

75.          76.

77.         78.

79.   80.

81 – 90. Даны вершины пирамиды . Требуется найти:

а) длины ребер  и ;                     б) угол между ребрами  и ;

в) площадь грани ;                       г) объем пирамиды ;

д) уравнение плоскости грани ;

е) длину  высоты  пирамиды .

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91–100. Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её.

91.                   92.

93.              94.         

95.             96.

97.          98.      

99.                    100.

101-110. Требуется: а) изобразить графически область допустимых решений системы неравенств; б) найти графическим способом решение задачи линейного программирования.

101.   102.  103.  

104.     105.     106.

107.                           108.    

109.                      110.

111-120. Имеются данные о работе трёх отраслей экономики в отчётном периоде и план выпуска конечной продукции  в следующем периоде (в усл. ден. ед.). Требуется, используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, найти: а) матрицы коэффициентов прямых и полных затрат; б) плановые объёмы выпуска валовой продукции каждой из отраслей, межотраслевые поставки и объёмы выпуска чистой продукции. В ответе записать данные межотраслевого баланса планового периода. (Указание: значения коэффициентов прямых и полных затрат вычислить с точностью до 0.01; значения плановых объёмов выпуска валовой и чистой продукции, межотраслевых поставок округлить до целых значений).

111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120.

Вопросы к экзамену.

Приложения.

6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.

1 – 10. Вычислить определитель:

а) непосредственным разложением по  строке;

б) непосредственным разложением по  столбцу;

Решение. а) вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: = .

Тогда = =

б) вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам второго столбца: = .

Тогда = = .

Ответ: .

11-20. Найти матрицу , если:

,      .

Решение:

1) Транспонируем матрицу : .

2) Вычисляем произведение матриц :       

.

3) Находим матрицу :       

.

4) Находим матрицу :   

.

Ответ: .

21-30. Найти собственные числа и векторы матрицы .

Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы : , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: , определяемым методом Гаусса.

Решение:

1) Составляем характеристическое уравнение матрицы :

.

Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):

, .

Таким образом, собственными числами матрицы  являются:  и .

2) Находим собственные векторы матрицы , отвечающие различным собственным числам  и .

2.1) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :  

или

,

записываем его в виде системы линейных уравнений:  и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Такая система имеет бесконечно много решений, которые записывают в виде общего решения. Для записи общего решения этой системы указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисными являются неизвестные, столбцы коэффициентов системы при которых образуют базисный минор матрицы этой системы. Такой минор образует, например, столбец коэффициентов при неизвестной : . Поэтому выбираем в качестве базисной – неизвестную , тогда свободными будут неизвестные  и . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , где , , одновременно, и выражаем через них значение базисной неизвестной из уравнения системы: . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу  будет иметь вид: .

2.2) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :    

или

,

записываем его в виде системы линейных уравнений:  и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно,  эквивалентна системе , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Система имеет бесконечно много решений. Для записи её общего решения указываем базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных  и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные  и , тогда свободной будет неизвестная . Свободной неизвестной придаём произвольное постоянное значение: , где  и выражаем через неё значения базисных неизвестных  и  из уравнений системы специального (трапециевидного) вида, начиная с последнего уравнения: . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу , будет иметь вид: , .

Ответ: , , , ;

             , , .

31 – 40. Дана система уравнений: .         Требуется:

а) найти решение системы методом Крамера;  б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.

Решение.

А) Метод Крамера.

1а) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

                                             .

2а) Так как , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:          

3а) Вычисляем определители :

,

,

.

4а) Находим решение: .

5а) Выполняем проверку: .

Ответ: .

Б) Метод обратной матрицы.

1б) Записываем систему уравнений в матричном виде:

или

2б) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

3б) Так как , то матрица системы  имеет обратную матрицу  и единственное решение системы определяется формулой:                              

или

4б) Находим обратную матрицу  (методом присоединённой матрицы):