С многократными наблюдениями

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 6Следующая ⇒

Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение получают непосредственно, например, измерение напряжения вольтметром.

Требуемая точность измерений может обеспечиваться, в том числе, повторением многократных наблюдений. Чтобы сократить время для обработки нескольких рядов применяют критерии, позволяющие определить предпочтительный ряд и в дальнейшем обрабатывать только этот ряд.

Такими критериями является сумма остаточных погрешностей и сумма квадратов остаточных погрешностей. Они являются косвенной характеристикой несмещенности и эффективности оценки, полученной при обработке результатов многократных наблюдений.

Ряд, в котором результаты распределены симметрично относительно среднего арифметического значения, т.е. наиболее близко к нормальному закону, в наибольшей степени будет удовлетворять условию равноточности, а при исключенной систематической погрешности – условию несмещенности оценки результата измерения. Несмещенная оценка – статистическая оценка, математическое ожидание которой совпадает с оцениваемой величиной. Несмещенная оценка лишена систематической погрешности.

Эффективной называется та из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию. Условию эффективности будет удовлетворять ряд с наименьшей суммой квадратов остаточных погрешностей.

Рекомендации по обработке результатов прямых измерений с многократными наблюдениями

Перед освоением этого раздела учебного пособия целесообразно ознакомиться с кратким изложением теоретического материала (Приложение 1).

Всю обработку результатов прямых измерений с многократными наблюдениями следует проводить в следующем порядке.

1. Проверить результаты наблюдений на наличие грубых погрешностей (промахов). При обнаружении таковых – исключить.

Существует несколько критериев, которые позволяют выявить промахи.

«Правило 3σ»

Критерий «трех сигм» применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону при числе измерений (наблюдений) n > 20...50. По этому критерию считается, что результат q -го измерения, возникающий с вероятностью P ₁ < 0,003  маловероятен и его можно считать промахом. Здесь P ₁=1- P, где Р – д оверительная вероятность, заданная для обработки результатов измерений.

Таким образом, критерий оценки: | , где σ₁ – среднеквадратическое значение отклонений измерений,

 ,                               (1.1)

                                              (1.2)

Величины  и σ вычисляют без учета экстремальных значений x _q.

Критерий Романовского

Критерий Романовского применяется в случае, если число измерений n <20. При этом вычисляется отношение

|                                       (1.3)

и сравнивается с критерием b_Т, выбранным по таблице 1.1 при заданном уровне вероятности Р P ₁ =1- P. Если b > b_Т, то результат x_q считается промахом и отбрасывается.

Таблица 1.1 – Таблица уровней значимости

2. Оценить наличие исключаемых систематических погрешностей. При обнаружении таковых исправить результаты наблюдений (формируют новую таблицу с исправленными результатами), исключив эти (эту) погрешности. 

3. Вычислить среднее арифметическое   исправленных результатов наблюдений по формуле (1.2).

4. Вычислить среднеквадратическое значение σ среднего арифметического результата измерения по формуле:

 ,                             (1.4)

5. Определить для заданного значения доверительной вероятности P и числа n из таблицы 1.2 значение коэффициента Стьюдента t _np.

Таблица 1.2 – Коэффициенты Стьюдента

6. Вычислить случайную погрешность Δ X _сл, в соответствии с выражением:

.                                            (1.5)

7. Оценить значения не исключенных систематических погрешностей. Составляющими этих погрешностей являются: основная и дополнительная погрешности средства измерения, погрешность метода, погрешность, вызванная взаимодействием средства измерения на объект исследования и т.п. В большинстве случаев в качестве границ составляющих не исключенной систематической погрешности принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений.

8. Вычислить полную не исключенную систематическую погрешность Δ X _сис для заданного значения доверительной вероятности P:

 ,                                                 (1.6)

где ∆ X _j   - составляющие полной систематической погрешности (основная, дополнительная и прочие погрешности), k - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности (для P = 0,95 k = 1,1 ).

9. Вычислить полную погрешность ∆ X, включающую в себя случайную и полную систематическую погрешности:

 .                                              (1.7)

10. Округлить числовые значения полной погрешности и среднего арифметического результата измерения (см. приложение 2).

11. Вычислить относительную погрешность (при необходимости):

 .                                                  (1.8)

12. Записать результат измерения в виде:

 […] для P =…                                   (1.9)

                                          δ=…

Пример обработки результатов измерений с многократными наблюдениями

В исследуемой электрической цепи на резисторе R ₁ сопротивлением 100 Ом проводились измерения напряжения U с помощью цифрового вольтметра. Результаты многократных наблюдений представлены в таблице 1.3.

                                                                                                                             Таблица 1.3 – Результаты многократных наблюдений

Примечание: измеряемая физическая величина – напряжение, обозначается буквой U, а поэтому в формулах (1.1 - 1.8) величина x заменяется на U.

Характеристики вольтметра:

- входное сопротивление, R_V = 10 МОм;

- приведенная погрешность, γ = 0,2%;

- верхний предел диапазона измерений, U _В  = 20 мВ;

- относительная дополнительная погрешность, δ_доп, описывается выражением:

,

где t _р – температура окружающей среды.

Условия измерения: t _р= 120° С; доверительная вероятность P = 0,95.

Обработку результатов измерения проводим в соответствии с ранее представленными рекомендациями.

1. Рассмотрев результаты в таблице 1.3, замечаем, что результат под номером 3 сильно отличается от остальных результатов. Определим, является ли это значение промахом. Так как количество наблюдений n 20, то применяем критерий Романовского. Воспользуемся выражениями (1.1) – (1.3). Получаем: ; σ₁ = 0,042 мВ; b =15,2. Из таблицы 1.1 для Р =0,01 и n =8 находим b_Т = 2,43.

Поскольку b , то результат под номером 3 оказывается промахом. Он отбрасывается.

2. Анализируем методику измерения на предмет наличия исключаемых систематических погрешностей.

Для нашего случая к ним можно отнести: погрешность, связанную с возможным смещением «нуля» вольтметра и погрешность взаимодействия, вызванную шунтированием резистора R ₁ входным сопротивлением вольтметра.

Соединяем клеммы входного кабеля вольтметра между собой. Показания вольтметра: - 0,35 мВ. Это – исключаемая систематическая погрешность. Исправляем результаты таблицы 1.3. Исправленные результаты представлены в таблице 1.4.                                        

Таблица 1.4 – Исправленные результаты

Анализируем возможную погрешность взаимодействия исследуемого объекта (резистора R ₁, на котором измеряем напряжение) и вольтметра. Определим отношение параллельного соединения R ₁, R_V к R ₁:

.

Из последнего видно, что изменение сопротивления составляет всего 0,001 %, что в 200 раз меньше приведенной погрешности вольтметра. Таким образом, вклад погрешности взаимодействия в полную погрешность ничтожен. Этой погрешностью можно пренебречь.

3. Вычисляем среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений:

.

4. Вычисляем среднеквадратическую погрешность σ результата измерения, используя выражение 1.4:

σ = 0,016 мВ.

5. Определяем из таблицы 1.2 для Р =0,95 и n =8 коэффициент Стьюдента:

t _np = 2,365.

6. Вычисляем случайную погрешность:

Δ U _сл, = t _np σ = 0,038 мВ.

7. Оценим значения не исключенных систематических погрешностей. Для нашего случая к этим погрешностям относятся: основная и дополнительная погрешности вольтметра.

Рассчитываем абсолютное значение основной погрешности Δ U ₁, используя значения приведенной погрешности γ и верхнего предела диапазона измерений U _в: 

Δ U ₁ = γ U _в/100% = (0,2%)20/100% = 0,04 мВ.

Рассчитываем абсолютное значение дополнительной погрешности Δ U ₂:

.

8. Вычисляем полную не исключенную систематическую погрешность ∆ U _сис для заданного значения доверительной вероятности P =0,95 по формуле (1.6):

 .

9. Вычисляем с помощью выражения (1.7) полную погрешность Δ U, включающую в себя случайную и полную систематическую погрешности:

.

10. Округляем результаты до второго знака после запятой:

                                          =3,34 мВ; Δ U = 0,08 мВ.

11. Вычисляем относительную погрешность δ:

12. Записываем результат измерения:

                                              δ = 2,4%.

Задания по обработке результатов прямых измерений с многократными наблюдениями

Обработать результаты и записать конечный результат измерения.

Задание 1.3.1

В результате проведенных студентом («рука не поставлена» - отсутствие опыта) измерений толщины стальной плиты с помощью микрометра получены следующие результаты (таблица 1.5):

Таблица 1.5 – Результаты измерений

Характеристики микрометра:

микрометр 1-го класса точности, предел допускаемой погрешности  мкм;

шаг микрометрического винта – 0,5 мкм;

допускаемое отклонение температуры от 20⁰С: ± 4⁰С.

Окончание таблицы 1.5

Условия измерения:

температура окружающей среды - +18⁰С;

изделие выдерживалось при этой температуре 2 часа;

измерение проводилось в перчатках;

доверительная вероятность Р = 0,999.

Результаты измерения в таблице 5 относятся к нормальному распределению.

Задание 1.3.2.

Проводились измерения напряжения U на выходе усилителя постоянного тока (выходное сопротивление менее 1 Ом) с помощью цифрового вольтметра. Результаты многократных наблюдений представлены в таблице 1.6.

Таблица 1.6 – Результаты многократных наблюдений

Характеристики вольтметра:

- входное сопротивление R _v =10 Мом;

- приведенная погрешность, γ = 0,2%,

- верхний предел диапазона измерений, U _в = 1В,

- относительная дополнительная погрешность, , описывается выражением:

,

где t _р – температура окружающей среды.

Условия измерения: t _р = 80⁰ С; доверительная вероятность P = 0,95.

Результаты измерения в таблице 6 относятся к нормальномураспределению.

Задание 1.3.3.

Для отбраковки электрических детонаторов по их собственной емкости проводились измерения в геологической партии в полевых условиях. Результаты многократных наблюдений представлены в таблице 1.7 при P =0,95.

Применялся мультиметр с параметрами:

 γ = 2%; С _max=1000 пФ; С _м=20 пФ – входная емкость мультиметра (с входным кабелем); 

относительная дополнительная погрешность  описывается выражением:

,

где  – температура окружающей среды;

Таблица 1.7 – Результаты многократных наблюдений

Задание 1.3.4.

В австралийском штате Квислэнд (Queensland) в местечке Лайтнинг Ридж (Lightning Ridge) найден редкий драгоценный черный опал. Для определения стоимости находки (один карат, кт = 0,2 г, черного опала стоит около 4000$) были проведены многократные взвешивания на электронных весах в условиях сильной жары (температура ), низкой влажности и большой запыленности (причины грубых погрешностей). Результаты измерений представлены в таблице 1.8.

Обработать результаты многократных наблюдений для доверительной вероятности P =0,95 и записать результат измерения.

Основная погрешность весов  0,02 кт (определялась при температуре окружающей среды ).

Дополнительная погрешность: .

Таблица 1.8 – Результаты многократного взвешивания опала

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров