Практический расчет сжатых стержней

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 26Следующая ⇒

Такформула Эйлера имеет ограниченияв ее применении, то в инженерных расчетах чаще всего применяется практический расчет сжатых стержней.

Так называется расчет сжатых стержней не по формуле Эйлера, а расчет по коэффициентам снижения расчетного сопротивления.

Расчет на прочность требует, чтобы расчетные напряжения не превышали расчетного сопротивления R с учетом коэффициента условия работы γ _c, т.е.

.                                          (11.23)

Условие устойчивости сжатого стержня требует, чтобы расчетное напряжение было меньше критического σ _{к p} с учетом коэффициента запаса на устойчивость n_y, т. е.

.                                         (11.24)

Рассмотрим отношения правых частей этих зависимостей, обозначенных через коэффициент φ.

Коэффициент φ, определяемый в зависимости от гибкости стержня λ, называется коэффициентом продольного изгиба или коэффициентом снижения расчетных напряжений при продольном изгибе.

  или

и подставим в условие устойчивости (11.23)

.                                       (11.25)

Отсюда получаем два вида расчета на устойчивость.

В первом расчете определяется допускаемая нагрузка на сжатую стойку.         

Допускаемая сжимающая сила равна произведению площади поперечного сечения на расчетное сопротивление с учетом коэффициента снижении расчетного сопротивления.

.                                        (11.26)

При этом учитывается вся площадь поперечного сечения без учета отверстий или выточек. Такие ослабления влияют на действительные напряжения и учитываются в расчете на прочность.

Так как критическое напряжение всегда меньше расчетного сопротивления R, то коэффициент φ меньше единицы и называется коэффициентом уменьшения расчетного сопротивления при расчете на устойчивость (или коэффициентом продольного изгиба). Этот коэффициент можно вычислить, если имеется диаграмма критических напряжений и задан коэффициент запаса устойчивости. Однако, этого делать не следует, так как существуют таблицы для подбора коэффициента φ по гибкости λ, см. табл. 11.1.

Таблица 11.1

При отсутствии таблиц приближенное значение этого коэффициента можно вычислить по следующим формулам:

       для мягкой стали

, ,                       (11.27)

       для дерева

, ,                    (11.28)

       для чугуна

, .                    (11.29)

Обратим внимание на то, что расчет по коэффициентам φ можно выполнять при любых гибкостей, но в таблице 11.1 для каждого материала есть ограничения. Это означает, что стержни с гибкостями выше ограниченных в таблице применять не рекомендуется в виде малых напряжений, которые можно допустить при работе на устойчивость.

Второй вид расчета на устойчивость – подбор поперечного сечения выполняется по формуле (11.30).

Площадь поперечного сечения сжатой стойки определяется подбором коэффициента снижения расчетного сопротивления, при котором расчетное напряжение не превысит расчетного сопротивления.

.                                            (11.30)

Поскольку коэффициент φ выбирается из таблиц по гибкости λ, зависящей от радиуса инерции , а, следовательно, и от площади, то расчет по (11.29) производится подбором. В первой попытке задают любое значение φ (например φ₁=0,5). По этому коэффициенту вычисляют требуемую площадь поперечного сечения F ₁, радиус инерции i ₁ и действительную гибкость для полученного сечения λ₁. По этой гибкости из таблиц находят соответствующий коэффициент φ_1,Т. Если окажется, что заданный коэффициент не совпадет с полученным φ_1,Т,  то расчет повторяется до тех пор, когда заданный и полученный в расчете коэффициенты будут примерно одинаковыми.

Пример 11.1.Жестко защемленная стойка из двутавра № 22 (рис. 11.6) длиною l =5 м загружена силой Р. Определить допускаемую силу и коэффициент запаса устойчивости, если расчетное сопротивление R =210 МПа, а коэффициент условия работы γ_c=0,9.

Решение. Выписываем их таблиц ГОСТа площадь поперечного сечения F =30,6 см²и меньший радиус инерции (относительно оси стенки двутавра) i_y =2,27 см.

Определяем максимальную гибкость стойки

. По этой гибкости из табл. 11.1 находим коэффициент продольного изгиба φ=0,52.

По формуле 11.5 с учетом коэффициента условия работы и расчетного сопротивления находим допускаемую силу =30,6·10^-4·210·10⁶·0,9=

=300,7·10³ Н=300,7 кН.

Так как гибкость , то критическую силу можно найти по формуле Эйлера 11.17.

 Па=495,8 МПа.

Коэффициент запаса устойчивости .

Пример 11.2. Для стойки длиною l =3 м, две проекции которой показаны на рис. 11.6, под нагрузку Р =500 кН подобрать двутавр.

Решение. По формуле 11.29, приняв φ=0,5, вычисляем площадь поперечного сечения двутавра

м² =52,9 см².

Из таблиц ГОСТа подбираем двутавр примерно с такой площадью: №33, F =53,8 см^2..

Его радиусы инерции i_y =2,79 см, i_x =13,5 см.

Вычисляем гибкости стойки относительно двух положений двутавра, соответственно способу закрепления на опорах:

По большей гибкости 75,3 из табл. 11.1 находим соответствующий коэффициент продольного изгиба φ=0,78, который оказался больше, принятого в первой попытке расчета.

Во второй попытке принимаем примерно среднее значение коэффициента  и расчет повторяем:

 м² =40,7 см².

Этой площади соответствует двутавр №27 с минимальным радиусом инерции i_y =2,54 см. Гибкости  соответствует коэффициент φ=0,734.

В третьей попытке принимаем φ=0,7,

 м² =37,8 см².

чему соответствует двутавр  №24, а: F =37,5 см², i_y =2,63 см, λ _y =79,8, φ=0,75.

Проверяем расчетное напряжение

 Па=197,5 МПа.   

В виду недонапряжения на 5,9%, примем предшествующий двутавр №24: F =34,8 см², i_y =2,37 см, λ _y =88,6, φ=0,745, σ_расч=214,3 МПа.

Так как гибкость λ _y =88,6<100, то критическое напряжение вычисляем по формуле 11.20

 МПа.

Так как действительное напряжение  Па, т.е. 143,7 МПа, то коэффициент запаса устойчивости

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США