Парабола, ее каноническое уравнение

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Пусть имеются точка  и прямая . Точку назовем фокусом, а прямую – директрисой.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы.

Обозначим произвольную точку параболы через  и заметим, что расстояние между точкой М и вертикальной прямой  равно длине перпендикуляра, опущенного из точки М на эту прямую. При этом основанием перпендикуляра является точка Q с координатами , так как, во-первых, точка Q лежит на прямой , а во-вторых, М Q – отрезок горизонтальной прямой, а это означает, что ординаты точек М, Q совпадают.

Определение параболы можно записать в виде равенства .

Рис. 5.5

Поскольку , ,

то уравнение параболы принимает вид .

Рис. 5.6

Чтобы получить каноническое уравнение параболы, возведем в квадрат обе части последнего равенства, получим уравнение ,

или после несложных преобразований . Легко видеть, что единственной точкой пересечения параболы с координатными осями является начало координат О (0; 0).

Парабола  представляет собой кривую, симметричную относительно оси . Если  то, поскольку , получаем неравенство . Это означает, что график параболы располагается в правой полуплоскости.

Если , то из того же неравенства  находим, что , то есть график параболы располагается в левой полуплоскости.

Пусть имеются фокус  и директриса . Воспользовавшись определением параболы и проведя аналогичные рассуждения, мы можем получить каноническое уравнение .                                              (5.12)

Если  в уравнении (5.12), то график параболы располагается в верхней полуплоскости, если же , то ее график расположен в нижней полуплоскости. Заметим, что парабола в обоих случаях характеризуется одним параметром .

Эксцентриситет параболы принимают равным единице.

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ

1.Матрицы и действия с ними.

2.Симметрическая, диагональная, единичная матрицы.

3. Ортогональная матрица.

4. Обратная матрица. 

5. Ранг матрицы.

6. Определители второго и третьего порядков.

7. Определители n-го порядка.

8. Определители n-го порядка и их свойства.

9. Алгебраические дополнения и миноры.

10. Вычисление определителей разложением по столбцу или по строке.

11. Системы линейных алгебраических уравнений. 

12. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

13. Декартовы координаты. Векторы. Базис.

14. Операции над векторами.

15. Скалярное произведение векторов, его основные свойства.

16. Координатное выражение скалярного произведения векторов.

17. Длина вектора, угол между двумя векторами.

18. Ортогональность,  коллинеарность,  компланарность векторов.  

19. Проекции векторов.

20. Векторное произведение векторов,  его свойства,  геометрический смысл.

21. Смешанное произведение векторов, его свойства,  геометрический смысл.

22. Координатное выражение векторного и смешанного произведений.

23. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

24.Угол между прямыми.

25. Направляющий вектор прямой.

26. Векторное уравнение прямой линии в пространстве.

27. Параметрическое уравнение   прямой линии в пространстве.

28. Каноническое уравнение прямой линии в пространстве.

29. Что называется углом между прямыми в пространстве.

30. Сформулируйте условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.

31. Сформулируйте условие параллельности двух прямых в пространстве.

32. Сформулируйте условие параллельности прямой и плоскости.

33. Сформулируйте условие перпендикулярности прямой и плоскости.

34. Кривые второго порядка: окружность,

35. Кривые второго порядка: эллипс,

36. Кривые второго порядка: гипербола,

37. Кривые второго порядка: парабола.

Библиографический список

Основная литература

1. Кремер Н. Ш. Линейная алгебра [Текст]: учеб. и практикум для академ. бакалавриата: рек. УМО по образованию в обл. мат. методов в экономике в качестве учеб. для студентов / Н. Ш. Кремер, М. Н. Фридман; под ред. Н. Ш. Кремера; Финанс. ун-т при Правительстве Рос. Федерации. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Юрайт, 2014. - 308 с. - Электронная версия в ЭБС "Юрайт".

Дополнительная литература

1. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрии [Текст]: учеб.-справ. пособие: рек. УМО вузов Рос. Федерации по образованию в обл. мат. методов в экономике в качестве учеб. пособия для студентов высш. учеб. заведений / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин; под ред. Н. Ш. Кремера; Финанс. ун-т при Правительстве Рос. Федерации. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2014. - 724 с. - Электронная версия в ЭБС "Юрайт".

2. Клюшин В. Л. Высшая математика для экономистов: задачи, тесты, упражнения [Текст]: учеб. пособие для бакалавров: доп. Науч.-метод. сов. по математике М-ва образования и науки Рос. Федерации в качестве учеб. пособия для студентов вузов - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2015. - 165 с. - Электронная версия в ЭБС "Юрайт".

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология