Математическая обработка результатов

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 17 из 19Следующая ⇒

ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Предположим, что истинное значение измеряемой величины равно а и выполнено n аналогичных измерений, результаты которых равны х₁, х₂,..., х_n. Каждый из результатов х_i, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения, называю результатом наблюдения. Результатом измерения является оценка а значения измеряемой величины, вычисленная на основании всей совокупности результатов наблюдений х₁, х₂,..., х_n. Разность D_i = х_i - а есть погрешность i-го наблюдения. Относительно этой погрешности сделаем следующие допущения:

- погрешность D_i является случайной величиной с нормальным законом распределения;

- математическое ожидание погрешности М = 0, т.е. отсутствует систематическая погрешность;

- погрешность Di имеет дисперсию s2, одинаковую для всех измерений, т.е. измерения равноточные;

- погрешности отдельных наблюдений независимы.

Допущение о нормальности закона распределения погрешности основано на том, что случайная погрешность обычно вызывается целым рядом различных причин, а следовательно, какие бы законы распределения ни имели отдельные ее составляющие, при одинаковом порядке их малости закон распределения результирующей погрешности будет близок к нормальному.

Тогда плотность распределения любого результата хi запишется в виде

f = (хi, a) = e - (xi - a)^2 / 2 s^2 / Ö 2 p s.

Так как результаты отдельных наблюдений независимы, то плотность распределения системы случайных величин х1, х2,..., хn

n

f (х1, х2,..., хn, а) = Õ f (хi, a).

i = 1

Плотность распределения системы случайных величин и представляет собой функцию правдоподобия, которую обозначим

n é n ù

L = (х1, х2,..., хn, а) = Õ f (хi, a) = (2p) -n/2 s-n exp ê- (1/ 2s2) å (хi - a)2 ê. (2.6)

i = 1 ë i = 1 û

Использовав метод максимального правдоподобия, найдем оценку а таким образом, чтобы при а = а достигалось

L (х1, х2,..., хn, а) = max. (2.7)

Из (2.6) следует, что для выполнения (2.7.) необходимо, чтобы

n

å (хi - a)2 = min. (2.8)

i = 1

Условие (2.8) является формулировкой критерия наименьших квадратов. Отсюда следует, что при нормальном законе распределения случайной величины оценки по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают. Обозначим

тогда оценку а найдем из условия

n

å (хi - a)2 =

i = 1

^ n

¶Q/¶ а = - 2 å (хi - a) = 0. (2.9)

i = 1

Отсюда получим

n

а = (1/ n) å хi = х, (2.10)

i = 1

т.е. наилучшей оценкой является среднее значение х результатов наблюдений.

Из (2.10) следует, что оценка х является случайной величиной с нормальным законом распределения, причем

М = а, s2 = s2 / n. (2.11)

Таким образом, оценка х имеет более высокую точность, так как ее дисперсия в n раз меньше дисперсии отдельных измерений. Неопределенность результатов измерений характеризуется значением среднего квадратического отклонения погрешности, поэтому из (2.11) следует, что при усреднении результатов n наблюдений случайную погрешность уменьшают в Ö n раз.

Следует отметить, что эффект уменьшения случайной погрешности при усреднении результатов n наблюдений снижается при наличии корреляции между этими результатами. Дисперсия оценки х для коррелированных результатов наблюдений

n

s2 = (s2 / n),

i j

где rij - коэффициент корреляции между результатами i -го и j-го наблюдений.

Полученная оценка а = х является состоятельной, несмещенной и эффективной.

Для оценки неопределенности величины а необходимо, используя те же экспериментальные данные, оценить значение дисперсии (или среднего квадратического отклонения) погрешности измерений. Для этого воспользуемся функцией правдоподобия (2), представив ее в виде

n é n ù

L = (х1, х2,..., хn, а,s2) = Õ f (хi, a) = (2p)-n/2 (s2)-n/2 exp ê- (1/ 2s2) å (хi - a)2 ê. (2.12)

i = 1 ë i = 1 û

На основе метода максимального правдоподобия найдем оценку s2 из условия

L (х1, х2,..., хn, а, s2) = max. (2.13)

Для упрощения вычислений прологарфимируем (2.12)

n

i = 1

Так как логарифм является монотонной функцией, то значения s2, при которых функции (7) и (9) достигают экстремума, совпадают. Поэтому оценку дисперсии найдем из условия

¶ ln L (х1, х2,..., хn, а, s2) /¶ s2 = 0. (2.15)

Продифференцировав (2.15) по s2, получим

- (1 / n) (1 / s2) + (1/ 2s4) å (хi - a)2 = 0. (2.16.)

i = 1

n

s2 = (1 / n) å (хi - a)2. (2.17)

i = 1

Так как истинное значение а неизвестно, то воспользуемся его оценкой х, а соответствующую оценку дисперсии обозначим S2:

n

S2 = (1 / n) å (хi - х)2. (2.18)

i = 1

Рассмотрим вопрос о смещенности полученной оценки S2.

Предварительно преобразуем (2.18):

n n n

S2 = (1 / n) å (хi2 - 2 х (1 / n) å хi + (х)2 = (1 / n) å хi2 - (х)2. (2.19)

i = 1 i = 1 i = 1

é n ù n

М = М ê(1 / n) å хi2 ê - М = (1 / n) å М - М =

ë i = 1 û i = 1

= (1 / n) å (s2 + а2) - (s / n + а2) = s2 (1 - 1 / n) = s2. (2.20)

i = 1

lim М = s2.

n®¥

Такая оценка называется асимптотически несмещенной.

Из (2.20) следует, что для ликвидации смещенности оценки достаточно ввести поправочный множитель n /(n - 1). Полученную несмещенную оценку обозначим s2:

^ n

s2 = n /(n - 1) S2 = n /(n - 1) å (хi - х)2. (2.20)

i = 1

Использовав (2.20), можно записать другую формулу для расчета оценки, равносильную ей но более удобную для вычислений:

ë i = 1 û

Полученные выше оценки значений измеряемой величины и дисперсии погрешности являются точечными оценками. Рассмотрим оценивание этих величин с помощью доверительных интервалов.

Определим доверительный интервал для истинного значения а измеряемой величины.

Границы этого интервала зависят не только от оценки а = х измеряемой величины, но и от оценки s среднего квадратического отклонения погрешности. Поэтому для построения доверительного интервала необходимо воспользоваться распределением случайной величины

tn -1 = (х - а) / S Ö n - 1 = (х - а) / s Ö n. (2.22)

Обычно в таблицах приводятся значения ta для величины t, имеющей расределение Стьюдента с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия

¥

ò f n - 1 (t) dt = a, (2.23)

ta

Подставив в (2.23) граничные значения ± ta, получим границы доверительного интервала для измеряемой величины:

х - ta s / Ö n а х + ta s / Ö n.

u = n S2 / s2 = (n - 1) s2 / s2

распределена по закону C2n-1 с n - 1 степенями свободы. В таблицах приводятся значения C2a для величины u, имеющей C2-распределение с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия

¥

ò f n - 1 (u) du = a, (2.24)

C2a

Подставив в (2.24) вместо u найденные граничные значения C2a1 и C2a2, получим границы доверительного интервала для дисперсии:

n S2 / C2a1 s2 n S2 / C2a2

или

(n - 1) s2 / C2a1 s2 (n - 1) s2 / C2a2

КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

В результате косвенных измерений определяется значение физической величины, функционально связанной с другими физическими величинами, значения которых равны а1, а2,..., аm:

z = F (а1, а2,..., аm).

Пусть каждая из величин аj (j = 1, 2,..., m) измерена с погрешностью Dj. Необходимо оценить значение погрешности Dz результата косвенного измерения.

Рассматривая z как функцию m переменных аj, запишем ее полный дифференциал::

dz = (¶F/¶a1)da1 + (¶F/¶a2)¶a2 +... + (¶F/¶am) dam,

или

dz = å (¶F/¶aj) daj.

j = 1

Положив, что погрешности измерений достаточно малы, заменим дифференциалы соответствующими приращениями:

m

dz = å (¶F/¶aj) Dj. (6.1)

j = 1

Рассмотрим оценивание случайной погрешности результатов косвенных измерений. Пусть величины aj измерены со случайными погрешностями Dj, имеющими нулевые математические ожидания М = 0 и дисперсии s2j. Использовав формулу, запишем выражения для математического ожидания М и дисперсии s2 погрешности Dz:

m

М = å (¶F/¶aj) М = 0;

j = 1

m m ¶F ¶F

s2 = å (¶F/¶aj)2 s2j + 2 å rkl ½------ ------½ sk sl,

j = 1 k 1 ¶ak ¶al

Если погрешности Dj некоррелированы, то

m

s2 = å (¶F/¶aj)2 s2j (6.2)

j = 1

Таким образом, для оценки результата z косвенного измерения естественно применить формулу

z = F (а1, а2,..., а m),

а для оценки систематических и случайных погрешностей соответственно (6.1) и (6.2).

Заметим, что в общем случае при нелинейной функции коэффициенты влияния ¶F/¶aj, присутствующие в этих формулах, в свою очередь являются функциями значений величин aj. Коэффициенты влияния обычно оцениваются путем подстановки в выражения частных производных оценок aj. Следовательно, вместо самих коэффициентов влияния получают лишь их оценки. Кроме того, иногда коэффициенты влияния определяют экспериментально. В том и другом случае они устанавливаются с некоторой погрешностью, что является еще одним источником погрешности при обработке результатов косвенных измерений.

ФОРМЫ ЗАПИСИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Производственные измерения проводятся обычно однократно, и точность полученного результата оценивается по нормируемым метрологическим характеристикам используемых средств измерения.

В общем случае суммарная погрешность измерения будет содержать систематическую и случайную составляющие (1.2)

Если не произведено разделение погрешностей на систематические и случайные, то результат измерения (в соответствии с ГОСТ 8.011-72 «Показатель точности и формы представления результатов измерений» записываются в следующем виде:

х, Dх от Dхн до Dхв, Р,

где х - результат измерения в единицах измеряемой величины;

Dх, Dхн = Dгн, Dхв = Dгв - соответственно погрешность измерения с нижней и верхней ее границами.

ГОСТ 8.011-72 допускает и другие формы записи результата измерения, отличающиеся от приведенной формы тем, что в них указывают отдельно характеристики систематической и случайной составляющих погрешности. При этом для систематической погрешности также называют ее вероятностные характеристики: математическое ожидание м(Dс) и среднее квадратическое отклонение σ(Dс). При записи результата измерения и погрешности младшие разряды числовых значений результата измерения и числовых значений погрешности должны быть одинаковыми

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ

И ОБРАБОТКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ.

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ

ИНФОРМАЦИОННО ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ИЗМЕРИТЕЛЬНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕЛЕМАТИКИ

Информационно вычислительные комплексы представляют собой автоматизированные средства измерений и обработки измерительной информации. Их отличительной чертой является наличие в комплексе свободно программируемой ЭВМ, которая используется не только для обработки результатов измерения, а также для управления воздействием (если это необходимо) не объект исследования. ИВК - разновидность ИИС.

Средства измерений, которые могут использоваться не только автономно, но и в составе систем называют средствами измерений системного применения. В этих средствах широко используются средства вычислительной техники. ИВК и другие средства измерений, содержащие средства вычислительной техники, образуют группу измерительно-вычислительных (процессорных) средств.

Для выполнения массовых технологических измерений применяются измерительные установки. Измерительной установкой называют совокупность функционально и конструктивно объединенных средств измерений и вспомогательных устройств, предназначенных для рациональной организации измерений. Электроизмерительные установки используют, например, для градуировки и поверки электроизмерительных приборов.

Все средства измерений по выполняемым метрологическим функциям делят на образцовые и рабочие.

Образцовые средства измерений предназначены для поверки с их помощью других рабочих средств измерений.

Рабочие средства используют для выполнения всех измерений, кроме измерений, связанных с поверкой, т. е. передачей размера единиц величин.

Усложнение современного производства, развитие научных исследований привело к необходимости измерять и контролировать одновременно сотни и тысячи различных физических величин. Естественная физиологическая ограниченность возможностей человека в восприятии и обработке больших объемов информации стала одной из причин появления таких СИ, как измерительные системы. Измерительные системы - это совокупность функционально объединенных средств измерений, средств вычислительной техники и вспомогательных устройств, соединенных между собой каналами связи, предназначенных для выработки сигналов измерительной информации о физических величинах, свойственных данному объекту, в форме, удобной для автоматической обработки, передачи и (или) использования в автоматических системах управления. Примерами могут служить системы, развернутые на крупных предприятиях и предназначенные для контроля технологического процесса производства какого-либо изделия, например производства стали, электроэнергии и т.п.

В зависимости от назначения измерительные системы разделяют на измерительные, контролирующие, управляющие. По числу измерительных каналов системы подразделяются на одно-, двух-, трех- и многоканальные.

Важной разновидностью измерительно-вычислительных комплексов являются информационно-измерительные системы (ИИС), предназначенные для представления измерительной информации в виде, необходимом потребителю. По организации алгоритма функционирования различают системы:

• с заранее заданным алгоритмом работы, правила функционирования которых не меняются, поэтому они могут использоваться только для исследования объектов, работающих в постоянном режиме;
• программируемые, алгоритм работы которых меняется по заданной программе, составляемой в соответствии с условиями функционирования объекта исследования;
• адаптивные, алгоритм работы которых, а в ряде случаев и структура, изменяются, приспосабливаясь к изменениям измеряемых величин и условий работы объекта.

Наиболее перспективным методом разработки и производства ИИС является метод агрегатно-модульного построения из сравнительно ограниченного набора унифицированных, конструктивно законченных узлов или блоков.

Связь между блоками системы и их совместимость устанавливается посредством стандартных интерфейсов. Под интерфейсом понимается совокупность механических, электрических и программных средств, позволяющих объединять блоки в единую систему.

Структура ИИС довольно разнообразна и существенно зависит от решаемых задач.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров