статически неопределимого бруса

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7

Стальной ступенчатый брус (рис. 1.11) жёстко защемлён с торцов и несёт нагрузку известной величины. Площади поперечного сечения и длины участков заданы.

Требуется:

1. Используя условие равновесия и уравнение перемещений, найти ве­личины реактивных сил, возникающих в жёстких заделках.

2. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ, относительных деформаций e и продольных перемещенийδ.

3. Указать опасное сечение и значениеσ_max, проверить прочность при допускаемом напряжении [σ]=200Мпа. Если условие прочности не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

4. Указать значения e_max и δ_max, проверить жёсткость при допускаемой относительной деформации [e] = 0,005 и допускаемом продольном переме- щении [δ] = 0,5мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

5. Для опасного сечения бруса вычислить касательные τ_α и нормальные s_α напряжения в наклонной площадке, проведенной под углом α = 45⁰ к оси бруса.

6. Вычислить температурные напряжения, возникающие в брусе при повышении температуры среды на 50⁰ С. Принять коэффициент линейного удлинения a = 1,25∙10^-5 1/град.

7. Как изменятся величины реактивных сил, если между левой заделкой и торцом бруса будет зазор величиной 0,0001∙ L ₁?

Рис. 1.11

Решение

1. Вычисление реактивной силы заделки

В этой задаче так же использована унифицированная схема ступенчатого бруса при растяжении-сжатии. Пусть в нашем примерезаданы следующие величины: сосредоточенная сила Р=- 30кН;интенсивность распределённой нагрузки по участкам: q ₁=60кН/м, q ₂=0; длины участков 1 ₁=0,5м, 1 ₂=0,6м; площади сечений участков F ₁=5см², F ₂=3см².

Сначала по исходным данным изобразим в масштабе заданный брус и действующую на него нагрузку (рис. 1.12, б). Брус имеет два грузовых участка (нумерацию участков начинаем справа) и две заделки, в которых возникают реактивные силы R _A и R _В. Для решения задачи необходимо найти величины этих сил. Составим уравнение равновесия бруса по (1.1) :

.

Как видно, в уравнении имеем два неизвестных, и задача отыскания реакций является статически неопределимой. Составим дополнительное уравнение − уравнение перемещений, записав перемещение правой заделки и приравняв его нулю. Используем (1.6), запишем перемещение как сумму деформаций от каждого воздействия, начиная с левого торца бруса. Получим

.

Отсюда R_A =5кН, а из уравнения равновесия найдём вторую реакцию: R _В =5кН.

2. Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений, относительных деформаций и продольных перемещений

Для оценки прочности и жёсткости бруса необходимо найти значения и построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ, относительных деформаций e и продольных перемещений δ. Запишем требуемые алгебраические выражения и вычислим значения, используя метод сечений и известные формулы.

1 -й участок:  z _{1 1}= 0,5м. В текущем сечении 1-го участка на расстоянии z ₁, продольная сила N ₁, напряжение σ₁ и относительная деформация ε₁ согласно (1.2), (1.3) и закона Гука, по которому , получаем

,

.

Рис. 1.12

,

.

2 -й участок:  z _{2 2}= 0,6м. В текущем сечении 2-го участка,

.

По полученным значениям продольных сил, напряжений, относительных деформаций непосредственно под брусом построим эпюры этих величин и подпишем их характерные значения (рис. 1.12, в, г, д).

Перейдём к перемещениям. Составим выражения продольных смещений δ характерных поперечных сечений А, В, С. Для этого вычислим абсолютные деформации участков по формуле

Получаем следующие значения:

.

.

Реальное перемещение сечения заделки отсутствует,поэтому запишемперемещениеδ _В = 0. Последнее сечение 1-го участка (сечение С) получило перемещение δ _С, которое равно деформации этого участка:δ _С = .Последнее сечение 2-го участка (сечение А) не имеет смещения, так как в нём заделка. Действительно, получаем

На эпюресил N наклонная прямая пересекает ось (рис. 1.12, б) на расстоянии z_o от начала 1-го участка (это сечение К). В этом сечении на эпюре перемещений ожидается экстремум (перегиб кривой перемещений). Используя выражение продольной силы на 1-м участке, запишем уравнение N_К = 0:

 , отсюда м.

Знаяабсциссу z_о сечения К, найдём значение экстремального перемещения δ _К (перемещения при z=z _о) на основании (1.7) как сумму перемещенияδ _В и деформации куска z _о

.

Отложив полученные значения перемещений, построим под брусом эпюру δ (рис. 1.12, е).

3 и 4. Проверка условий прочности и жёсткости бруса

Далее, для ответа на пункты 3 и 4, назовём максимальные напряжения σ_max, деформации ε _мах, перемещения δ_мах  и сделаем выводы о прочности и жёсткости бруса при заданных величинах допускаемых напряжений [σ]=200МПa, деформаций [ε]=0,005 и перемещений [δ] = 0,5мм:

σ_max=50МПа < [σ]=200MПa, ε_max = 0,00025< [ε] = 0,005,  δ_мах=0,05мм < [δ] = 0,5мм,

и, следовательно, прочность жёсткость бруса обеспечена.

5. Вычисление напряжений в наклонной площадке

Для опасного сечения бруса вычислим касательныеτ_α и нормальные s_α напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α=45⁰ к оси бруса. Опасным сечением является сечение, в котором нормальные напряжения максимальны по абсолютной величине: в нашем примере это последнее сечение 1-го участка и σ_max=50МПа. Вычислим напряжения в наклонной площадке:

7. Вычисление температурных напряжений

Найдём температурные напряжения, возникающие в брусе при повышении температуры среды на 50⁰С. Для этого составим уравнение перемещений, учитывая удлинение от температуры и сжатие от реакций, возникающих в заделках:

Вычислим наибольшие температурные напряжения , которые будут возникать в более тонком месте − на 2-м участке:

7. Влияние зазора на величину реакций

Оценим влияние зазора на величину реакций от нагрузки. В случае зазора при действии нагрузки торец бруса переместиться за счёт деформации на величину зазора. Поэтому величины реактивных сил должны удовлетворять уравнению перемещений, в котором правая часть равна 0,0001∙ L ₁:

Получаем R_A =1,7кН, R _В =1,7кН. Как видим, значение реакций при наличии зазора уменьшается.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте