Метод инструментальных переменных

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Предполагаем, что в регрессии x = z α + ε переменные-факторы z являются случайными, и нарушена гипотеза g 2 в обобщенной формулировке: ошибка ε зави- сит от факторов z, так что корреляция между z и ошибкой ε не равна нулю. Такую

274                     Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

регрессию можно оценить, имея набор вспомогательных переменных y, называ- емых инструментальными переменными. Часто инструментальные переменные называют  просто   инструментами.

Для того, чтобы переменные y можно было использовать в качестве инстру- ментальных, нужно, чтобы они удовлетворяли следующим требованиям:

1) Инструменты y некоррелированы с ошибкой ε. (В противном случае метод даст несостоятельные оценки, как и МНК.) Если это условие не выполнено, то такие переменные называют негодными  инструментами 4.

2) Инструменты y достаточно сильно коррелированы с факторами z. Если данное условие не выполнено, то это так называемые «слабые» инструменты. Если инструменты слабые, то оценки по методу будут неточными и при малом количестве наблюдений сильно смещенными.

Обычно z и y содержат общие переменные, т.е. часть факторов используется в качестве инструментов. Например, типична ситуация, когда z содержит константу; тогда в y тоже следует включить константу.

Пусть имеются N наблюдений, и X, Z и Y — соответствующие данные в матричном виде. Оценки по методу инструментальных переменных (сокращенно IV от англ. instrumental variables) вычисляются по следующей формуле:

1

a IV    =  Z t Y. Y t Y. −1  Y t Z −

Z t Y

.Y t Y

.−1

Y t X.          (8.8)

В случае, если количество инструментальных переменных в точности равно

количеству факторов, (rank Y = n + 1) получаем собственно классический ме- тод инструментальных переменных. При этом матрица Y t Z квадратная и оценки

вычисляются как

a IV    =. Y t Z. −1  Y t Y. Z t Y. −1  Z t Y. Y t Y. −1 Y t X.

Средняя часть формулы сокращается, поэтому

a IV    =. Y t Z. −1  Y t X.                                                                  (8.9)

Рассмотрим вывод классического метода инструментальных  переменных, т.е. случай точной идентификации (ср. с (6.15) в главе 6):

Умножим уравнение регрессии x = z α + ε слева на инструменты y (с транс- понированием). Получим следующее уравнение:

y t x = y t z α + y tε.

4 В модели ошибок в переменных ошибка регрессии имеет вид ε − ε z α, где ε — ошибка в исходном уравнении, а ε z — ошибка измерения факторов  z  . Чтобы переменные  y   можно было использовать в качестве инструментов, достаточно, чтобы  y   были некоррелированы с ε и ε z.

8.5. М е тод ин с тру ме нта ль н ы х п е р еме нн ы х                   275

Если взять от обеих частей математическое ожидание, то получится

E (y t x) = E (y t z α),

где мы учли, что инструменты некоррелированы с ошибкой, E (y tε) = 0.

Заменяя теоретические моменты на выборочные, получим следующие нормаль- ные уравнения, задающие оценки a:

Myx   = Myz a,

где Myx    =  1 Y t X   и Myz    =  1 Y t Z. Очевидно, что эти оценки совпадут с (8.9).

N                                     N

Фактически, мы применяем здесь метод моментов.

Метод инструментальных переменных можно рассматривать как так называе- мый д вухшаговый метод наименьших квадратов. (О нем речь еще пойдет ниже в пункте 10.3.)

1

j

-й шаг. Строим регрессию каждого фактора Zj   на Y. Получим в этой ре- грессии расчетный значения Z c. По формуле расчетных значений в регрессии

Z c

j = Y (Y

t Y)−1 Y

t Z. Заметим, что если Zj   входит в число инструментов, то по

j

этой формуле получим Z c

= Zj  , т.е. эта переменная останется без изменений.

Поэтому данную процедуру достаточно применять только к тем факторам, которые не являются инструментами (т.е. могут быть коррелированы с ошибкой). В целом

для всей матрицы факторов можем записать Z c   = Y (Y t Y)−1  Y t Z.

2 -й шаг. В исходной регрессии используются Z c вместо Z. Смысл состоит в том, чтобы использовать факторы «очищенные от ошибок».

Получаем следующие оценки:

a 2 M   =. Z c t Z c. −1  Z c t x =

=  Z t Y. Y t Y. −1 Y t Y. Y t Y. −1  Y t Z −1  Z t Y. Y t Y. −1 Y t x =

IV

=  Z t Y. Y t Y. −1 Y t Z −1  Z t Y. Y t Y. −1  Y t x = a         .

Видим, что оценки совпадают.

Если записать оценки в виде a IV   = (Z c t Z)−1  Z c t x, то видно, что обобщенный метод инструментальных переменных можно рассматривать как простой метод ин- струментальных переменных с матрицей инструментов Z c.

j

Такая запись позволяет обосновать обобщенный метод инструментальных пе- ременных. Если исходных инструментов Y больше, чем факторов Z, и мы хотим построить на их основе меньшее количество инструментов, то имеет смысл сопо- ставить каждому фактору Zj   в качестве инструмента такую линейную комбинацию исходных инструментов, которая была бы наиболее сильно коррелирована с Zj  . Этому требованию как раз и удовлетворяют расчетные значения Z c.

276                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

Другое обоснование обобщенного метода инструментальных переменных со- стоит, как и выше для классического метода, в использовании уравнений E (y t x) =

= E (y t z α). Заменой теоретических моментов выборочными получим уравнения M yx   = M yz a, число которых больше числа неизвестных. Идея состоит в том, чтобы невязки M yx   − M yz a были как можно меньшими. Это достигается минимизацией следующей квадратичной формы от невязок:

yy

(M yx   − M yz a)t M −1(M yx   − M yz a),

N

где Myy   =  1 Y t Y. Минимум достигается при

yy

1

a =  M zy M −1 M yz   −

M zy M −1 M yx.

yy

Видим, что эта формула совпадает с (8.8). Эти рассуждения представляют собой применение так называемого обобщенного  метода моментов, в котором количе- ство условий на моменты может превышать количество неизвестных параметров.

Чтобы можно было использовать метод инструментальных переменных на практике, нужна оценка ковариационной матрицы, с помощью которой можно было бы вычислить стандартные ошибки коэффициентов и t -статистики. Такая оценка имеет вид

Ma IV = s

2. Z

c t Z

c. −1.

Здесь   s 2  — оценка дисперсии ошибок  σ2, например   s 2  =   e t e / N   или   s 2  =

= e t e / (N − 1). Остатки рассчитываются по обычной формуле e = x − Za IV  . (Здесь следует помнить, что остатки, получаемые на втором шаге тут не годят- ся, поскольку они равны x − Z c a IV  . Если использовать их для расчета оценки дисперсии, то получим заниженную оценку дисперсии и ковариационной матрицы.

Отсюда следует, что из регрессии второго шага можно использовать только оценки коэффициентов. Стандартные ошибки и t -статистики требуется пересчитывать.)

Обсудим теперь более подробно проблему идентификации5.

Чтобы можно было вычислить оценки (8.8), нужно, чтобы выполнялись следу- ющие условия:

1) Матрица  инструментов  должна  иметь  полный  ранг по  столбцам, иначе

(Y t Y)−1  не существует.

2) Z t Y (Y t Y)−1  Y t Z должна быть невырожденной.

В частности, матрица Z t Y (Y t Y)−1 Y t Z необратима, когда rank Y < rank Z. Предположим, что матрица факторов Z имеет полный ранг, т.е. rank Z = n +1.

5 См. также обсуждение идентификации в контексте систем уравнений ниже в пункте 10.2.

8.5. М е тод ин с тру ме нта ль н ы х п е р еме нн ы х                        277

Т.е. если rank Y < n + 1, то уравнение неидентифицируемо, т.е. невозмож- но вычислить оценки (8.8). Таким образом, количество инструментов (включая константу) должно быть не меньше n +1 (количество регрессоров, включая кон- станту). Если rank Y > n + 1, то говорят, что уравнение сверхидентицировано. Если количество инструментов равно n + 1, то это точная идентификация.

Если возможен случай сверхидентификации, то это обобщенный метод инстру- ментальных переменных. При точной идентификации (rank Y = n + 1) получаем собственно классический метод инструментальных переменных.

Таким образом, необходимое условие идентификации имеет следующий вид:

rank Y “ rank Z (= n + 1).

Это так называемое порядковое условие идентификации, условие на размерность матриц.

Словесная формулировка порядкового условия:

Количество инструментов   Y   должно быть не меньше количества ре- грессоров   Z   (учитывая константу).

Заметим, что можно сначала «вычеркнуть» общие переменные в Z и Y и смотреть только на количество оставшихся. Количество оставшихся инструментов должно быть не меньше количества оставшихся регрессоров.

j

Почему это только необходимое условие? Пусть, например, некоторый фактор Zj   ортогонален Y. Тогда Z c   = 0, и невозможно получить оценки a IV  , т.е. данное условие не является достаточным.

Необходимое и достаточное условие идентификации формулируется следую- щим образом:

Матрица Z c    имеет полный ранг по столбцам: rank Z c   = n + 1.

Это так называемое ранговое условие идентификации.

Встречаются случаи, когда ранговое условие идентификации соблюдается, но матрица Z c   близка к вырожденности, т.е. в Z c   наблюдается мультиколли- неарность. Например, если инструмент Zj является слабым (Zj   и Y почти ор- тогональны), то Z c   близка к вырожденности. Один из способов проверки того, является ли инструмент слабым, состоит в анализе коэффициентов детерминации и F -статистик в регрессиях на первом шаге.

278                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

Упражнения и задачи

Упраж н е н ие 1

Таблица 8.1

Дано уравнение регрессии X = Z α + ε = −1. 410 z 1 +

+ 0. 080 z 2 + 56. 962 + ε, где ε — вектор-столбец нормальный

случайных ошибок с нулевым средним и ковариационной мат- рицей

Z1 Z2 1 26.8 541 1 25.3 616 1 25.3 610 1 31.1 636 1 33.3 651 1 31.2 645 1 29.5 653 1 30.3 682 1 29.1 604 1 23.7 515 1 15.6 390 1 13.9 364 1 18.8 411 1 27.4 459 1 26.9 517 1 27.7 551 1 24.5 506 1 22.2 538 1 19.3 576 1 24.7 697 1

E. εεt. = σ2Ω =









1 ρ  ρ2



N



···  ρ  −1









  ρ                                                        1  ρ ··· ρ N −2

2

σ 



=      2



N −3

(8.10)



1 − ρ2    ρ

ρ          1 ··· ρ 



.

..







...

...

...     ... 









ρ N −1                                                   ρ N −2 ρ N −3 ··· 1

с ρ = 0. 9 и σ2 = 21. 611.

Используя нормальное распределение с незасисимыми на- блюдениями, средним 0 и ковариационной матрицей (8.10), получите  100  выборок  вектора  ε  размерности  (N × 1), k = 1 ,..., 100,  где   N   =  20.  Эти  случайные  векторы

потом  используйте  вместе  с  известным  вектором  αt           =

= (−1. 410, 0. 080, 56. 962) и матрицей регрессоров (табл. 8.1). Сначала получите ожидаемое значения X 0  = Z α, затем, чтобы получить 100 выборок вектора X размерности (20 × 1),

добавьте случайные ошибки: X 0 + ε = X.

1.1. Рассчитайте  невырожденную  матрицу   D   такую,  что

D −1 D t−1 = Ω.

1.2. Найдите истинную матрицу ковариации для МНК-оценки (a   =  (Z t Z)−1   Z t X):

E. (a − α) (a − α)t. =

= E.. Z t Z. −1  Z tεεt Z. Z t Z. −1. =

= σ2 . Z t Z. −1  Z tΩ Z. Z t Z. −1

8.6. Упражнения и задачи                                                        279

и истинную матрицу ковариации для ОМНК-оценки (a омнк  =  . Z tΩ−1 Z. −1 Z tΩ−1 X):

E. (a омнк − α) (a омнк − α)t. = σ2 (Z t D t DZ) = σ2 . Z tΩ−1 Z. −1 .

Результат поясните.

1.3. Используйте  10  из  100  выборок, чтобы посчитать по каждой выборке зна- чения следующих оценок:

– МНК-оценки

a = (Z t Z)−1  Z t X;

– ОМНК-оценки

a омнк =. Z tΩ−1 Z. −1  Z tΩ−1 X;

– МНК-оценки остаточной  дисперсии

s ˆ2 = (x − Z a) (x − Z a)t;

e                        N − n − 1

– ОМНК-оценки  остаточной  дисперсии

1

s ˆ2

(x − Za омнк) Ω−

(x − Za омнк)t .

=

ej омнк

N − n − 1

Объясните результаты.

1.4. Вычислите среднее и дисперсию для 10 выборок для каждого из параметров, полученных в упражнении 1.3 и сравните эти средние значения с истинными параметрами.

1.5.

a 1 омнк

На основе упражнения 1.3 рассчитайте   S 2

, который является первым

e омнк

диагональным элементом матрицы s ˆ2

.ZtΩ−1 Z. −1  и S 2  , который явля-

a 1

e

ется первым диагональным элементом матрицы

s ˆ2 (Z t Z)−1. Сравните раз-

a 1

личные оценки   S 2

2

и S

a 1 омнк

друг с другом и с соответствующими значени-

ями из упражнения 1.2.

1.6. На основе результатов упражнений 1.3 и 1.5 рассчитайте значения t -статис- тики, которые могут быть использованы для проверки гипотез: H 0: α1 = 0.

1.7. Повторите упражнение 1.3 для всех 100 выборок, постройте распределения частот для оценок и прокомментируйте результаты.

280                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

Упраж н е н ие 2

Таблица 8.2

Предположим, есть данные, состоящие из 100 выборок X, по 20 значений в каждой, сгенерированных при помощи моде- ли X = Z α + ε = α1 z 1 + α2 z 2 + 1 N   β + ε, где ε i    — нормально и независимо распределенная случайная величина с E (ε i) = 0,

z 1 z 2 1 N 13,9 364 1 15,6 390 1 18,8 411 1 27,4 459 1 24,5 506 1 23,7 515 1 26,9 517 1 22,2 538 1 26,8 541 1 27,7 551 1 19,3 576 1 29,1 604 1 25,3 610 1 25,3 616 1 31,1 636 1 31,2 645 1 33,3 651 1 29,5 653 1 30,3 682 1 24,7 697 1

E. ε2. = σ2

2     (γ1  zi 2 +γ2 )

i                                     i   и σ i   = e

. Наблюдения за X были полу-

чены с использованием следующих значений параметров: α =

= (α1                          α2 β)t = (−1. 410, 0. 080, 56. 962)t  и γ = (γ1   γ2)t  =

= (0. 25, −2)t , а матрица значений факторов, упорядоченных

в соответствии с величиной   z 2 , имеет следующий вид (табл.

8.2).

Найдите матрицу ковариации для

– ОМНК-оценки a омнк =. Z tΩ−1 Z. −1  Z tΩ−1 X;

– МНК-оценки a = (Z t Z)−1  Z t X.

Что вы можете сказать об относительной эффективности этих оценок?

Используйте  10  из  100  выборок, чтобы посчитать  по каждой выборке значения следующих оценок:

– МНК-оценки a = (Z t Z)−1  Z t X;

– оценки  γ =

. N

i

 y i y t

i =1

.−1 N

i

 y i ln(e 2),  где y i   =

i =1

i

= (z i 2, 1) и e i   = x i − z t  a;

– ОМНК-оценки a, используя найденую оценку γ.

Сравните все эти оценки друг с другом и с соответствую- щими истинными значениями.

a 1 омнк

На основе упражнения 2.2 рассчитайте   S 2

, кото-

рый является первым диагональным элементом матри-

s ˆ

цы

2

e омнк

(Z tΩ−1 Z)−1, S 2 , который является первым

a 1

e

диагональным элементом матрицы

S 2

s ˆ2 (Z t Z)−1, а также

a 1 Уайта , который является первым диагональным эле- ментом скорректированной оценки ковариационной матрицы (оценка Уайта

или устойчивая к гетероскедастичности оценка). Сравните различные оцен-

ки S 2  , S 2

и S 2

друг с другом и с соответствующими значениями

a 1               a 1 омнк

a 1 Уайта

из упражнения 2.1.

8.6. Упражнения и задачи                                                   281

2.4. На основе результатов упражнений 2.1 и 2.3 рассчитайте значения t -статис- тики, которые могут быть использованы для проверки гипотез H 0:  α1 = 0.

2.5. Возьмите те же выборки, что и в упражнении 2.2, и проведите проверку на гетероскедастичность с помощью:

– критерия Бартлета;

– метода второй группы (метод Голдфельда—Квандта) с пропуском 4-х значений в середине выборки;

– метода третьей группы (метод Глейзера).

2.6. Выполните упражнение 2.2 для всех 100 выборок и, используя результаты, оцените математическое ожидание и матрицу среднеквадратических ошибок для каждой оценки. Есть ли среди оценок смещенные? Что можно сказать об относительной эффективности  МНК-оценки и ОМНК-оценки?

Упраж н е н ие 3

Предположим, есть данные, состоящие из 100 выборок X, по 20 значений в каждой, сгенерированных при помощи модели X = Z α+ε = α1 z 1 +α2 z 2 +1 N   β +

+ ε, где ε i   = ρε i −1 + η i  , и η — нормально распределенная случайная величина с E (η i) = 0, E. η2. = σ2 . Наблюдения за X были получены с использованием

i                                 η

следующих значений параметров: αt = (α1 α2 β) = (−1. 410, 0. 080, 56. 962),

η

ρ = 0. 8 и σ2 = 6. 4, а матрица значений факторов взята из упражнения 1.

3.1. Найдите матрицу ковариации для:

– ОМНК-оценки a омнк =. Z tΩ−1 Z. −1  Z tΩ−1 X;

– МНК-оценки a = (Z t Z)−1  Z t X.

Что вы можете сказать об относительной эффективности этих оценок?

3.2. Используйте  10  из  100  выборок, чтобы посчитать по каждой выборке зна- чения следующих оценок:

– МНК-оценки a = (Z t Z)−1  Z t X;

N

 e i e i −1

– оценку r =

i =2  ;

N

e

  2

i

i =1

– ОМНК-оценки, используя найденую оценку r.

282                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

Сравните все эти оценки друг с другом и с соответствующими истинными значениями.

3.3. Возьмите те же выборки, что и в упражнении 3.2, и проверьте гипотезу об ав- токорреляции ошибок.

3.4. Найдите скорректированную оценку ковариационной матрицы, устойчивую к гетероскедастичности и автокорреляции (оценку Ньюи—Уэста).

3.5. Выполните упражнение 3.2 для всех 100 выборок и, используя результаты, оцените математическое ожидание и матрицу среднеквадратических ошибок для каждой оценки. Есть ли среди оценок смещенные? Что можно сказать об относительной эффективности  МНК-оценки и ОМНК-оценки?

Упраж н е н ие 4

Для уравнения X = Z o α+ε = −1. 410 z 0 +0. 080 z 0 +1 N   56. 962+ε, z 1 = z 0 +ε z  ,

1                                                               2                      1 1

2

z 2  = z 0

+ ε z 2

и при предположении, что  ε i    ∼ N (0, 21. 611),  ε z 1

∼ N (0, 21. 700)

и ε z 2

∼ N (0, 21. 800), были генерированы 20 значений выборки. Результаты при-

ведены в таблице 8.3.

Предполагая, что истинная матрица факторов Z 0  неизвестна, выполните сле- дующие задания:

4.1. Найдите МНК-оценки a = (Z t Z)−1  Z t X   параметров уравнения регрессии

X = Z α + ε = α1 z 1 + α2 z 2 + 1 N   β + ε.

4.2. Рассчитайте ковариационную матрицу ошибок измерения факторов — W и ковариационный вектор — w и оцените параметры регрессии как a = (M − W)−1(m − w).

4.3. Найдите оценку через ортогональную регрессию.

4.4. Сравните эти все оценки друг с другом и с соответствующими истинными значениями.

Зада ч и

1. Какие свойства МНК-оценок коэффициентов регрессии теряются, если ошибки по наблюдениям коррелированы и/или имеют разные дисперсии?

2. Как оцениваются параметры уравнения регрессии, если известна матрица ковариации ошибок и она не диагональна с равными элементами по диа- гонали?

8.6. Упражнения и задачи                                                        283

Таблица 8.3

284                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

3. Рассматривается регрессионная модель X = Z α + ε. Пусть α∗ = AX — это любая несмещенная оценка параметра α. Полагая, что E (εεt) = σ2Ω, покажите, что матрица ковариации α∗ превышает матрицу ковариации αомнк = (Z tΩ−1 Z)−1 Z tΩ−1 X на какую-то положительно полуопределенную матрицу.

4. Докажите, что σ2

(x     z α)t Ω−

−

=

1 (x − z α)

есть оценка σ2.

омнк

N − n − 1

5. Какое преобразование матрицы наблюдений перед оценкой регрессии полез- но сделать, если среднеквадратические отклонения ошибок регрессии про- порциональны какому-либо фактору?

6. Оценивается регрессия по 10 наблюдениям. Известно, что дисперсия оши- бок для первых 5 наблюдений в два раза больше, чем дисперсия ошибок остальных 5 наблюдений. Опишите процедуру оценивания этой регрессии.

7. Рассмотрите регрессию xt   = α1 t + β + ε t  , t = 1 ,..., 5, где

t

E (ε t) = 0, E (ε2) = σ2 t 2, E (ε t ε s) = 0, при   t ƒ= s. Пусть εt = (ε1, ε2, ε3, ε4, ε5) и E (εεt) = σ2Ω.

– определите Ω;

– найдите Ω−1;

                                                                                

α1

– найдите матрицу ковариации МНК-оценки параметра α =    ;

                                                                                

β

                                                                                     

α1

– найдите матрицу ковариации ОМНК-оценки параметра α =  .

                                                                                     

β

8. Рассмотрите регрессию xt   = α1 t + ε t  , t = 1 ,..., 5,

t

где E (ε t) = 0, E (ε2) = σ2 t 2 , E (ε t ε s) = 0, t ƒ= s. Если x = (6, 4, 9, 8, 7)t :

– определите оценку МНК для α1 и ее дисперсию;

– определите оценку ОМНК для α1 и ее дисперсию;

– сравните эти оценки друг с другом и сделайте вывод.

9. Рассматривается модель X = Z α + ε, где ε i   — нормально и независимо распределенная случайная величина с E (ε i) = 0 и E. ε2. = σ2 = e y i γ .

i i

8.6. Упражнения и задачи                                                        285

                                                                   

2 1

4                                                         2 1         





                                                                   



8

 5        1

3        1

                                                                     

                                                                   

                                                                   

В предположении, что X = 6  ,    Z =  2 1 , Y = 1 1 ,

                                                                   

                                                                   

                                                                   

2

 1        1

0        1

                                                                   

                                                                   

                                                                     

9                                                          10 1          2 1

– найдите МНК-оценки a = (Z t Z)−1  ZX;

– найдите ОМНК-оценки a омнк =. Z tΩ−1 Z. −1  Z tΩ−1 X;

– постройте два 95%-х доверительных интервала для α1: один непра- вильный, основанный на результатах МНК, а другой правильный, осно- ванный на результатах ОМНК;

– проверьте гипотезу γ1 = 0.

10. Параметры трехфакторного уравнения регрессии оценены по 20 наблю- дениям. S 1 и S 2 — остаточные дисперсии по первой и второй половинам временного ряда. В каком случае гипотезы о гомоскедастичности следует отвергнуть?

11. Приведите примеры графиков зависимостей ошибки от времени в авторе- гресионной схеме первого порядка для случаев, когда модуль коэффициента авторегрессии превышает единицу. Что можно сказать об автокорреляции ошибок, если этот коэффициент равен нулю?

12. Ошибка в регрессии задана процессом ε i   = 0. 6ε i −1 + η i, и η — нор- мально распределенная случайная величина с E (η i) = 0, E (η2) = σ2

i     η

и i = 1 ,..., 5. Как выглядит матрица преобразования в пространстве пе-

ременных для ОМНК?

13. Проверьте, что D t D = Ω−1, где

                      





√1 − r 2           0 0  ··· 0













                                            − r   1 0  ··· 0



D = 











0

...

−

...

r 1

...

···

...





0,



..



. 



                          

                          

0                                                       0 0  ··· 1

286                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели



2

  1                                               r   r





··· r



N −1







   r                                                 1  r ··· r N   −2



1 



r

Ω =                                    2



1 − r 2 

r         1 ··· r



−

N   3.







.

..







...

...

...

..   



.







Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте