О дифференциальных уравнениях
6.1. Основные понятия и определения
Дифференциальными называются уравнения, которые со- держат искомые функции, их производные и (или) дифферен- циалы различных порядков, независимые переменные.
Теория дифференциальных уравнений появилась в кон- це XVIII в. в результате решения некоторых задач механики и физики. Термин дифференциальные уравнения ввел Г. Лей- бниц.
Дифференциальные уравнения подразделяются на диф- ференциальные уравнения в частных производных, неизвест- ная функция в которых зависит от двух и большего количества неизвестных, и на обыкновенные дифференциальные уравне- ния, неизвестная функция в которых зависит от одного аргу- мента.
В данном учебнике кратко рассмотрим обыкновенные диф- ференциальные уравнения.
Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения следующий:
F (x, y, y ′, y ″, …, y ( n )) = 0
или
Наивысший порядок производных, входящих в дифферен- циальное уравнение, называется его порядком.
Например,  это дифференциальное уравне- ние второго порядка.
Решить дифференциальное уравнение — это значит найти такую функцию, подстановка которой в это дифференциаль- ное уравнение превращает его в тождество.
Любое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Геометрически они изображаются се- мейством интегральных кривых. И эту совокупность решений называют общим решением дифференциального уравнения и записывают так: y = ϕ(x, C 1, C 2, …, C n).
А решения, содержащие конкретные значения постоян-
ных, называются частными решениями дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Общие понятия
Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, связывающее независимую переменную, неизвест- ную функцию, ее производную и (или) дифференциал.
Его общий вид следующий:
F (x, y, y ′) или  .
Если это уравнение можно разделить относительно произ- водной (y ′), то получим одно или несколько уравнений вида:
y ′ = f (x, y).
Общее решение этого дифференциального уравнения име- ет следующий вид:
y = ϕ(x, C).
Для того чтобы получить конкретные частные решения, надо задать начальные условия, т. е. указать пару соответс- твующих друг другу значений аргумента (х 0) и функции (у 0). Обычно это записывается так: .
Задавая начальные условия, из семейства интегральных кривых выделяем какую-то конкретную кривую.
Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что час- тное решение дифференциального уравнения, удовлетворяю- щее заданному начальному условию существует, а также явля- ется единственным, становится ясным из следующей теоремы.
Теоремы 6.1. Если в дифференциальном уравнении
y ′ = f (x, y) функция y = f (x, y) и ее частная производная по y
 непрерывны в некоторой области D на плоскости х 0 у, содержащей точку (x 0, y 0), то существует единственное реше- ние этого дифференциального уравнения y = ϕ(x,), удовлетво- ряющее условию при х = х 0 и у = у 0 [44, 59].
Приведенная теорема была впервые сформулирована и
доказана Коши. Поэтому задачу нахождения частного решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.
|
