Классическое определение вероятности

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 7Следующая ⇒

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Рассмотрим определение, которое называют классическим.

Каждый из возможных результатов испытания, т.е. каждое событие, которое может наступить в испытании, назовем элементарным исходом.

Те элементарные исходы, при которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания.

;

где  – число элементарных исходов, благоприятствующих событию ;

 – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Вероятность есть число, характеризующее возможность появления события.

Пример. В урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем  из них – красные,  – синие и  – белый. Из урны наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар: а) красный; б) синий; в) белый?

Решение. а) Пусть событие – извлекли красный шар.

Число благоприятствующих событию  исходов, (т.к. в урне  красных шара);

Число возможных исходов n=6 (т.к. всего 6 шаров);

;

б) Пусть событие – извлекли синий шар:

;

в) Пусть событие – извлекли белый шар:

;

Пример. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что на верхней грани появится:

а) число «»; б) четное число; в) число «»; г) не более 6 ^и очков.

Решение. При бросании игральной кости на верхней грани может появится одна из следующих цифр

а) Пусть событие – на верхней грани появится число «».

Число благоприятствующих событию  исходов, (выпадет );

Число возможных исходов n=6 (т.к. всего 6 разных цифр);

;

б) Пусть событие – на верхней грани появится четное число.

Число благоприятствующих событию  исходов, (выпадет );

Число возможных исходов n=6.

;

в) Пусть событие – на верхней грани появится число «».

Число благоприятствующих событию  исходов, (т.к.  не выпадет);

.

г) Пусть событие – на верхней грани появится не более 6 ^и очков.

Число благоприятствующих событию  исходов, (т.к. любое выпавшее число не превышает );

.

Свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице;

2. Вероятность невозможного события равна нулю;

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей ;

Наряду с вероятностью, к основным понятиям теории вероятностей относится относительная частота.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

,

где – число появления события;

– общее число испытаний.

Вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Пример. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели .

Геометрическая вероятность

Геометрическое определение вероятности появилось, благодаря попытке отказаться от конечности m и n.

Пусть на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область g. Требуется найти вероятность того, что точка, взятая наудачу в области G, попадет в область g.

При этом выражению «точка, взятая наудачу в области G» придается следующий смысл: эта точка может попасть в любую точку области G.

Вероятность попадания точки в какую либо область G пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади, объему и т.д.) и не зависит от ее расположения и формы:

;

(геометрическое определение вероятности).

Пример. Круглый диск радиуса R разбит на два сектора. Длина дуги одного из них (заштрихованного) равна радиусу R. По быстро вращающемуся диску произведен выстрел. Найти вероятность попадания в этот сектор.

Решение.

Событие А – попадание в сектор.

В данном случае, в качестве меры выступает площадь;

, где  - площадь круга;  - площадь сектора.

;

площадь кругового сектора соответствующего центральному углу в  радиан: ;

длина дуги, соответствующей центральному углу в  радиан: ;

По условию: рад.

.

Т.о.        .

Пример. (задача о встрече). Два студента А и В условились встретится в определенном месте во время перерыва между 13ч и 13ч 50мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50мин. может произойти наудачу и моменты прихода неизвестны.

 Решение. Обозначим момент прихода студента А через x, а студента В через y.

Для того чтобы они встретились, необходимо и достаточно, чтобы .

Изобразим x и y как декартовы координаты на плоскости, а в качестве масштаба выберем 1 минуту.

Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 50:

;

Исходы, благоприятствующие встрече, - точками заштрихованной области.

;

Откуда

.

Аксиомы теории вероятностей

Аксиома 1.

Каждому событию  соответствует определенное число , удовлетворяющее условию , и называемое его вероятностью.

Аксиома 2.

Вероятность достоверного события  равна единице.

Аксиома 3.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Аксиома 3^*.

Вероятность суммы конечного или бесконечного множества несовместных событий равна сумме их вероятностей:

.

Элементы комбинаторики

Формулы комбинаторики составляют теоретическую базу при использовании классического определения вероятности, которое в прикладных задачах играет большую роль.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций:

q Перестановки;

q Размещения;

q Сочетания;

I. Перестановки.

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называют перестановками.

Обозначаются символом ;

;

Пример. В соревновании участвовало 4 команды, сколько существует вариантов распределить места между ними.

Решение. Количество вариантов распределения четырех команд по местам – равно числу перестановок из четырех элементов: .

Пример. В ящике пять одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики из ящика. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Благоприятствует событию  только один исход, (из всех возможных комбинаций номеров только одна с порядком возрастания номеров).

Общее число возможных исходов – количество комбинаций из  номеров, .

Искомая вероятность: .

Размещения

Комбинации из n элементовпо k элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, илипорядком элементов называют размещениями.

Обозначаются символом

 - количество всех имеющихся элементов;

 – количество элементов в каждой комбинации; .

;

Пример. Сколько существует вариантов размещения  призовых мест, если в розыгрыше участвуют  команд?

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций извлеченных из элементов и включающих по  элемента (причем {I–«Таврия», II–«Динамо», III–«Спартак»} и {I–«Динамо», II–«Таврия», III–«Спартак»}– различные комбинации). Используем число размещений из  элементов по :

.

Пример. Из пяти карточек с буквами О, П, Р, С, Т наугад одну за другой выбирают три и располагают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «ТОР»?

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что получится слово «ТОР».

Благоприятствует событию  только один исход, (комбинация букв «ТОР»).

Общее число возможных исходов – равно числу способов, которыми можно отобрать  карточки из имеющихся , получая при этом комбинации букв отличающиеся либо самими буквами (СОР – ТОР), либо их порядком (РОТ – ОРТ). Оно определяется числом размещений из  элементов по :

.

Искомая вероятность:

.

Сочетания

Сочетаниями называют все возможные комбинации из n элементовпо k элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом.

Обозначаются символом

 - количество всех имеющихся элементов;

 – количество элементов в каждой комбинации; .

;

Пример. Сколькими способами можно выбрать  студентов, из группы численностью  человек.

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций извлеченных из 30 элементов и включающих по  элемента (причем комбинации: {Пархоменко, Сергиенко, Божок} и {Сергиенко, Божок, Пархоменко}– одинаковые комбинации). Используем число размещений из  элементов по :

.

Пример. В урне  белых и  красных шара. Из урны наудачу извлекают  шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары – белые.

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что все 3 шара будут белыми.

Всего в урне  шаров.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь  шара из :

.

Число исходов благоприятствующих событию  равно числу способов, которыми можно отобрать  белых шара из имеющихся  белых:

.

Искомая вероятность равна:

.

Пример. В ящике имеется  одинаковых шаров. Причем  из них окрашены в синий цвет, а остальные белые. Наудачу извлекают  шаров. Найти вероятность того, что среди них  синих.

Решение. Обозначим  событие, состоящее в том, что среди извлеченных  шаров  синих.

Обще число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь  шаров из , т.е.

.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию :  синих шара можно взять из  имеющихся синих шаров  способами; при этом остальные  шара должны быть белыми, взять же  белых шара из имеющихся  можно  способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно:

.

Искомая вероятность:

.

В общем случае, для решения задач типа: В партии из  деталей имеется  стандартных. Наудачу отобраны  деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно  стандартных. Можно использовать формулу:

.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов