Первое уравнение Максвелла –

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Обобщение закона полного тока

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля  по замкну­тому контуру   равна полному току, протекающему через поверхность , ограниченную контуром  (рис. 3.1)

,

где  - объемная плотность тока проводимости;  - объемная плотность стороннего тока;   - вектор электрического смещения.

Дифференциальная форма записи этого уравнения имеет вид

,

где  - объемная плотность смещения.

Введение тока смещения связало уравнения Максвелла в систему, реше­нием которой в общем случае является электромагнитная волна.

Второе уравнение Максвелла - обобщение закона

Электромагнитной индукции Фарадея

Циркуляция вектора напряженности электрического поля   по замкнутому контуру  равна скорости изменения магнитного потока , взятой с обратным знаком: .

При изменении магнитной индукции  или деформации и перемеще­нии проводящего контура  в нем возникает ЭДС индукции. Дифференциальная форма записи этого уравнения .

Изменение магнитного поля во времени () вызывает появление вихревого электрического поля в пространстве.

Третье уравнение Максвелла - теорема о потоке вектора

Электрической индукции

Поток вектора электрической индукции  сквозь замкнутую по­верхность  равен полному заряду , находящемуся в объеме , ог­раниченном поверхностью   (рис. 3.2):

,

где  - объемная плотность заряда;  - внешняя нормаль к поверхности.      

Дифференциальная форма записи этого уравнения . Источником силовых линий электрического поля являются электрические заряды.

Четвертое уравнение Максвелла -

Закон непрерывности магнитного поля

Поток вектора магнитной индукции  через замкнутую поверх­ность  равен нулю: .

В дифференциальной форме . В природе нет магнитных за­рядов, которые являлись бы источниками или стоками силовых линий магнитного поля, поэтому магнитные силовые линии поля всегда зам­кнуты.                                            

К основным принципам электродинамики относится закон сохране­ния заряда    или . Минус обозначает, что при вытекании тока из объема заряд в последнем уменьшается.

Дифференциальная форма записи этого уравнения:

.

Материальные уравнения: , .

Обобщенный закон Ома: , где     - удельная проводимость среды.

Задачи

3.1. Определить циркуляцию векторов  и  по контуру с координатами (0, 0); (0, 1); (1, 1); (1, 0), если плотность тока проводи­мости , ^ плоскости ; плотность тока смещения ; .

3.2. Определить циркуляцию векторов  и  по контуру (см. 3.1), если объемная плотность тока проводимости , а вектор электрического смещения .

3.3. Квадратная рамка со стороной = 1 м находится в поле . Магнитная проницаемость среды , плоскость рамки перпендикулярна к . Определить ЭДС, наведенную в рамке.

3.4. Дано . Доказать, что для переменных во времени полей в однородной изотропной среде без свободных токов и зарядов ^ . Считая , показать, что ^ .

3.5. Проводник длиной  движется со скоростью   в равномерном магнитном поле, напряженность которого равна , пересекая силовые линии под углом . Вычислить ЭДС между концами проводника (рис. 3.3).

3.6. Вычислить напряженность магнитного поля , где - расстояние от оси прямолинейного бесконечного проводника, по которому протекает ток .

3.7. Пластины плоского конденсатора, подключенного к источнику ЭДС = const, сближаются со скоростью . Вычислить плотность тока смещения и величину тока во внешней цепи, если площадь пластин , а расстояние между пластинами при = 0 равно . Краевой эффект не учитывать.

3.8. В однородном магнитном поле с напряженностью  вращается прямоугольная плоская рамка со ско­ростью . Длина сторон равна  и , число витков , магнитная проницаемость среды ,  - число оборотов в секунду. Вычислить ЭДС в рамке (рис. 3.4).    

3.9. Напряженность поля в некоторой области меняется по закону , , ; . Найти объемную плотность заряда в данной области, если   .

3.10. Некоторое тело с диэлектрической проницаемостью   и проводимостью    в момент времени  имеет плотность заряда . Oпpeделить, за какое время во внутренней части тела объемная плотность заряда  уменьшится вдвое. Нарушается ли закон сохранения заряда?

3.11. Задано поле :          

где  - радиус-вектор. Найти распределение зарядов, образовавших такое поле.

3.12. В некоторой области с диэлектрической проницаемостью  задано поле . Вычислить объемную плотность заряда.

3.13. В проводящей среде с проводимостью = 8 См/м постоян­ный ток создает магнитное поле . Определить электрическое поле  в среде.   

3.14. Задано поле . Показать, что оно не может быть ни электрическим, ни магнитным.       

3.15. В свободном пространстве () задано электромагнит­ное поле своими составляющими , . При каких значениях  и  это поле удовлетворяет уравнениям Максвелла.           

3.16. Показать, что электромагнитное поле в вакууме , , ни при каких  и  не удовлетворяет уравнениям Максвелла.

3.17. Самолет летит горизонтально, со скоростью =200 м/с. Вычислить разность потенциалов между концами крыльев, если расстояние между ними 30 м, а вертикальная составляющая напряженности маг­нитного поля земли = 0,02 А/м. Можно ли построить прибор, измеряющий таким образом скорость самолета?

3.18. По бесконечному прямоли­нейному проводнику протекает посто­янный ток . Плоская рамка (рис. 3.5) удаляется от проводника со скоростью . Вычислить ЭДС в рамке, если чис­ло витков в ней равно , а параметры среды , .

3.19. При какой частоте отноше­ние плотностей токов смещения и про­водимости в меди ( =5,7×10⁷ См/м,  ) будет таким же, как и в сухой почве ( = 10^-4 См/м, = 2 ) на частоте = 10³ Гц?

3.20. Определить частоту , при которой амплитуды объемной плотности тока смещения и плотности тока проводимости будут равны:

1) среда - медь ( =57×10⁶ См/м; =1); 2) среда - морская вода ( =4 См/м; =80); 3) среда - фарфор ( =10^-13 См/м; = 6).

3.21. Вычислить, на какой частоте плотности токов смещения и проводимости будут одинаковыми в среде с =10^-2 См/м, .

3.22. Жесткий провод, согнутый в полукруг радиусом   , вращается с угловой скоростью  в однородном магнитном поле . Чему равны частота и амплитуда напряжения и тока, наведенного в проводнике, если внутрен­нее сопротивление вольтметра равно , a сопротивление остальных частей цепи пренебрежимо мало? Предположить, что поле, создаваемое током, мало по сравнению с полем  (рис. 3.6).

3.23. По прямолинейному проводнику протекает ток  (рис. 3.7). Вычислить ЭДС, наведенную в рамке, состоящей из 10 вит­ков, если = 0,5 м; =5 см; =10 см; =1 A; =10³ 1/с. Паpаметpы окружающей сpеды: , .

3.24. Металлический стержень длиной  вращается с угловой ско­ростью  в однородном магнитном поле . Вычислить ЭДС в стержне (рис. 3.8).

 4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Граничные условия - это форма уравнений Максвелла для точек, принадлежащих граничной поверхности, в которых параметры среды ме­няются скачком. В этих точках уравнения Максвелла в дифференциаль­ной форме теряют смысл и должны быть дополнены условиями, определя­ющими поведение векторов поля при переходе через границу раздела сред.

Граничные условия получаются из интегральных уравнений Макс­велла с использованием предельных переходов. Исходя из первого уравнения Максвелла, определяющего циркуляцию напряженности магнит­ного поля  

                                      ,                   (4.1)

получают граничные условия для касательных составляющих вектора

                        или ,       (4.2)

где  - единичный вектор нормали к поверхности раздела, направленный в первую среду.

Это означает, что разность между касательными составляющими вектора  на границе раздела сред равна поверхностному току; при отсутс­твии последнего   

                                                ,                                     (4.3)

т.е. составляющие непрерывны.      

Исходя из второго уравнения Максвелла, определяющего циркуляцию напряженности электрического поля

                              ,                           (4.4)   

получают граничные условия для касательных составляющих напряженно­сти электрического поля                  

                                 или ,             (4.5)

которые на границе раздела сред непрерывны. 

 Третье уравнение Максвелла, определяющее поток вектора электричес­кого смещения

                                ,                                 (4.6)

позволяет получить граничные условия для нормальных компонент вектора      

                        или .              (4.7)

Аналогично из четвертого уравнения Максвелла о потоке вектора маг­нитной индукции  

                                                                               (4.8)

получаются граничные условия для нормальных составляющих вектора

                            или .                        (4.9)

Записанные выше граничные условия являются основными, они получают­ся непосредственно из уравнений Максвелла. Граничные условия для составляющих , ,  и  получают, используя соотношения (4.2), (4.5), (4.7), (4.9) и материальные уравнения состояния среды

                         , .                             (4.10)

Задачи

4.1. По границе раздела сред протекает ток . В первой среде = 0. Определить магнитное поле во второй среде вблизи поверхнос­ти.

4.2. По плоской поверхности раздела металл-диэлектрик течет поверхностный ток . Определить уравнения силовых линий вектора .          

4.3. У поверхности раздела двух сред задано значение вектора  (  и ). Определить вектор  у поверхности в первой среде при условии, что поверхностный ток отсутствует ( = 0) (рис. 4.1).

4.4. У поверхности раздела двух сред задано значение вектора  (  и ). Определить вектор  у поверхности в первой сре­де, если на границе раздела отсутствуют свободные заряды ( =0) (рис. 4.2).

4.5. Среды разделены заряженной поверхностью, и в одной из них поле отсутствует. Каково электрическое поле в другой среде, если поверхностная плотность заряда , а диэлектрическая проницаемость второй среды ?    

4.6. Определить, по какому за­кону преломляются силовые линии век­тора  при переходе из среды с па­раметрами ,   в среду с параметра­ми , . Показать, что силовые ли­нии на входе и выходе плоскопаралле­льной пластины параллельны (рис. 4.3).  

4.7. Среды различаются магнит­ными проницаемостями (рис. 4.4). Какая из сред имеет большую магнитную проницаемость, если силовые линии идут, как показано на рис. 4.4.

4.8. Два диэлектрика, имеющие плоскую границу раздела, помеще­ны в электрическое поле, перпендикулярное к границе. Величина поля  =10 ^-8 К/м². Графически изобразить картину поля   в первой и второй средах, если на границе раздела имеется заряд = 10^-8 К/м².

4.9. На каком рисунке (рис. 4.5,а,б,в) изображены силовые линии элек­трического поля, магнитного поля, если вторая среда - идеальный проводник?

4.10. Среды с плоской границей раздела различаются диэлек­трическими проницаемостями. Угол преломления  (рис. 4.6). Какое соотношение должно выполняться между  и ?

4.11.У поверхности идеального проводника, совпадающей с плос­костью XOY, задан электрический потенциал . Определить поверхностную плот­ность заряда, если среда над проводником - вакуум.

4.12. У поверхности идеального проводника в плоскости XOY за­дано магнитное поле . Чему равен ток, протекающий по участку поверхности XOY в виде ленты, расположенной по оси Х, ширина которой = 0,2 м?

4.13. По бесконечному прямолинейному проводнику течет постоян­ный ток плотностью . Показать, что на границе раздела для магнит­ного поля выполняются граничные условия.

4.14. Радиус металлического шара, несущего заряд , изменяется по закону . Как изменяется  у поверхности шара? Среда вокруг шара - вакуум.

4.15. Определить напряженность электрического поля на расстоянии  от бесконечной заряженной плоскости. Плотность поверхностно­го заряда .

4.16. Показать, что на поверхности раздела двух проводников линии тока испытывают преломление по закону , где   - углы между линиями тока и нормалью к поверхности раздела , а  и  - проводимости сред.

Показать, что на поверхности раздела двух диэлектриков силовые линии вектора  преломляются по закону: .

4.17. По бесконечной плоскости течет ток с поверхностной плот­ностью . Считая плоскость бесконечно тонкой, определить напряжен­ность магнитного поля в точке, отстоящей от нее на расстоянии .

4.18. Плоский конденсатор заполнен двухслойным диэлектриком. Диэлектрическая проницаемость первого слоя , удельная проводимость = 10^-8 См/м. Для второго слоя , = =10^-7 См/м. Толщины слоев  и . Разность потенциалов между обкладками =100 В. Найти поверхностную плотность зарядов  на границе раздела диэлектриков в установившемся режиме и плотность тока проводимости. При каких параметрах диэлектриков =0? Поле считать однородным.

4.19. Цилиндр радиусом , заряженный равномерно с поверхност­ной плотностью , вращается вокруг оси со скоростью . Вычислить напряженность магнитного поля у поверхности цилиндра, если =10 см;  1/с; =10^-17 Кл/м².    

5. ТЕОРЕМА ПОЙНТИНГА

В макроскопической электродинамике система основных аксиом - уравнений Максвелла - дополняется двумя энергетическими аксиомами:

1) электромагнитная энергия распределена в пространстве с объ­емной плотностью , Дж/м³, где  - объемная плотность энергии электрического поля;  - объемная плотность энергии магнитного поля;

2) величина и направление потока электромагнитной энергии ха­рактеризуются вектором Пойнтинга .

С учетом этого закон сохранения энергии для электромагнитных процессов, происходящих в некотором объеме , ограниченном поверх­ностью   (теорема Пойнтинга), имеет следующий вид:

,

где  - мощность сторонних сил;  - мощность тепловых потерь;  - электромагнитная энергия, запасенная в обьеме ;  - мощность, переносимая электромагнитным полем через поверхность ;  - вектор, по направлению совпадающий с внешней нормалью;  - внешняя нормаль к поверхности .

Таким образом, теорема Пойнтинга утверждает, что мощность сто­ронних сил, действующих в объеме , расходуется на тепловые потери, изменение электромагнитной энергии и излучение за пределы объема.

Отметим, что слагаемые  и  могут быть как положитель­ными, так и отрицательными;  и  всегда положительны.

Для полей, записанных в виде комплексных амплитуд, вводится комплексный вектор Пойнтинга . Среднее значение вектора Пойнтинга

 ,

где  - период колебаний.

Аналогично определяются средние значения и других энергетичес­ких величин.

Задачи

5.1. Вычислить энергию, запасенную в плоском конденсаторе. Разность потенциалов между пластинами