Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь
FAQ
Написать работу

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу

ЛЕКЦИЯ 8. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов . Смешанное произведение.

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 10Следующая ⇒

Пусть вектор и вектор найдём векторное произведение этих векторов

[ , ] =

= { = = =0, } = = = { раскроем этот определитель по элементам первой строки, получим } = [

ВЫВОД. Векторное произведение равно определителю третьего порядка, элементами которого являются базисные векторы (первая строка), координаты перемножаемых векторов (вторая строка); (третья строка ).

Замечание. Векторное произведение базисных векторов находят по правилу правых и левых троек

= =

=- =

0 = - = -

Пример 1. Сила = {1, 0, 4 } приложена к точке С (1, 2, 3). Найти момент этой силы относительно точки D (1, 4, 5).

Решение. ,координаты вектора = { 0, -2, -2}.

= -8 + 2 .

Ответ: { -8,2,2}.

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , где ; угол между векторами и равен 60⁰.

Решение. S = = = 5 ⁰ = 5 3 2 =15 кв.ед. Ответ: S = 15

Пример 3. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А (2,3,1); В (5, 6, 3); С (7, 1, 10).

Решение. S = S = . Найдём координаты векторов , для

этого из координат конца вычтем координаты начала, получим {3,3,2}; 30

{5,-2,9}. S = = = = = ед. Ответ: S = ед.

Cмешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением 3-х векторов , называется скалярное произведение вектора [ на вектор , ([ .

Обозначается: ( или (

Cвойства смешанного произведения

1). ([ = ( ;

2). ( = - ( = ( = - ( = +(;

3). (α , .

Доказательство этих свойств следует из свойств определителей, что мы и увидим в дальнейшем.

Геометрический смысл смешанного произведения (

= [

S. По определению ([ =

h = = S =

={h = } = S = V.

Угол может быть < и > , то есть < 0 или >0, поэтому

Вывод: Смешанное произведение векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах сомножителях.

Координатная форма смешанного произведения

Пусть вектор = { X₁, Y₁ Z₁ }; вектор = { X₂,Y₂,Z₂ }; вектор = {X₃,Y₃, Z₃}.

[ ] = = - + . Известно, что скалярное произведение - это произведение одноимённых координат, поэтому

( X₃ - Y₃ + Z₃ , c другой стороны - это разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

= ( (

Используя формулу ( , можно доказать все свойства (1,2,3) смешанного произведения.

Пример. Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках : О (0,0,0); А(5,2,0); В (2, 5, 0); С (1,2,4).

Решение. Объём пирамиды равен объёма параллелепипеда, то есть = V_пир. = V_пар. = , = = ( 100 -16) = 84 куб.ед.

Ответ: V_пир. = 84 куб. ед.

Условие компланарности векторов

Теорема. Необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство необходимости. Пусть компланарны, значит построить параллелепипед на них нельзя, то есть объём равен нулю V=0, а это значит и =0 ч.т.д.

Доказательство достаточности. Пусть ( = 0 это значит, что V=0 и векторы лежат в одной плоскости, то есть компланарны ч.т.д.

Вывод: Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения = 0

Пример. Проверить лежат ли четыре точки в одной плоскости. А (2,-1,1); В(5,5,4); С(3,2,-1); Д(4,1,3).

Решение. Надо проверить лежат ли 3 вектора в одной плоскости, для этого найдём координаты этих векторов {3,6,3}; { 1,3,-2};

( = 18 -24 +6 -18-12+ 12= 18 . Вывод. Эти точки

не лежат в одной плоскости.

Определение. Двойным векторным произведением векторов называется векторное произведение [ или [ .

Задачи

Задача 1. Какому условию должны удовлетворять векторы , чтобы вектор делил пополам угол между векторами

Задача 2. Точка 0 является центром тяжести треугольника АВС. Доказать, что

Задача 3. Найти сумму и разность векторов и , если ;

Задача 4. Дан вектор ; Угол между векторами равен 60⁰. Найти =?

Задача 5. Даны 3 вектора , Определить разложение вектора по базису .

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Лекция 9. Основные понятия. Различные виды уравнения прямой на плоскости.

Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов при помощи аналитического метода. В основе этого метода лежит метод координат, впервые применённый Декартом (великий французский математик и философ 1596-1650). Начальные (основные) понятия аналитической геометрии – точка, прямая линия, плоскость, поверхность.

Понятие об уравнении линии.

Определение. Линия L – это геометрическое множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

Ф(x,y) = 0 или (1)

F(x,y) = 0.

Для более удобного построения линий L, часто вводят вспомогательную переменную или параметр t.

(2)

Исключив из (2) параметр t, перейдём к (1).

Пример. Получить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r.

Решение. Сделаем рисунок.

r Из рисунка видно

oo t x 0 t

Эти уравнения (3) и есть параметрические уравнения окружности. Обе части уравнений (3) возведём в квадрат и сложим . уравнение окружности с центром в точке О(0,0) и радиусом r.

Можно вывести уравнение циклоиды – это линия, которую описывает точка М на окружности, если окружность без скольжения движется по прямой.

0 x

Определение. Линия называется алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она определяется уравнением Ф(x,y)=0, где Ф(x,y) – алгебраический полином – многочлен.

Определение. Алгебраическая линия называется порядка n, если Ф(x,y) многочлен n-ой степени.

Ф(x,y)= Аx+By+C=0 1-ой степени

Ф(x,y)= A 2-ой степени

Ф(x,y)= A 3-й степени.

Определение. Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.

УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Определение. Уравнение Ф(x,y,z)=0 называется уравнением поверхности S

относительно д.с.к., если этому уравнению удовлетворяют координаты x,y,z, любой точки, лежащей на поверхности S.

Например: z ...M

x y М(x,y,z); С(a,b,c) МС =r= или

- это уравнение сферической поверхности

Определение. Линию в рассматривают, как пересечение 2-х поверхностей.

РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Общее уравнение прямой.

_y _N

_M .

_M1 = .

₀ _x ( ∙ )=0 или

A(x- , раскроем скобки

Ax + By +(-A , обозначим

(-Аx-By)=C,получим - общее уравнение прямой.

Неполные уравнения прямой.

1). С=0, Ax+ By=0 - прямая проходит через начало координат.

2). B=0, Ax+ C =0 - прямая параллельна оси оy.

3). A=0, By+ C =0 - прямая параллельна оси ox.

4). B=C=0, Ax=0, x=0 - ось oy.

5). А=С=0, Вy =0, y=0 - ось оx.

Уравнение прямой в отрезках.

Запишем общее уравнение прямой Ax+By+C=0 Ax+By=-C, разделим обе части на -С, получим + =1, обозначим = , = b. уравнение прямой в отрезках, α и b → отрезки, отсекаемые прямой от осей координат соответственно оx, оy. _y

₀ _x

Пример. Привести уравнение прямой 3x+5y+20= 0 к уравнению в отрезках.

Решение. Перенесём 20 вправо и разделим обе части на -20, получим:

или =1, α= , b= .

Ответ. =1.

Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения.

Определение. Вектор коллинеарный прямой, называется направляющим вектором прямой

M ; M(x,y); ;

^L поэтому каноническое

уравнение прямой.

Если то прямая параллельна оси оy. Если m=0, то прямая параллельна оси оx.

Обозначим параметрические уравнения прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

₀ _x ; ,m); пусть

, тогда уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

_y ⁰

k=tg , = + .

= { , }. = , m= .

⁰ ^x , подставим вместо и m

, но = . Получим = (x- = y- или tg (x - = y - , окончательно уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через одну точку. Часто это уравнение называют уравнением пучка прямых. Раскроем в последнем

уравнении скобки y = kx + (- Выражение в скобках обозначим через

b, это постоянное число, получим:

это уравнение прямой с угловым коэффициентом, где b отрезок, который прямая отсекает от осей координат.

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности, перпен-

дикулярности двух прямых

. Пусть две прямые и заданы общими уравнениями.

и ; { ; {

Если ║ , то и → условие параллельности.

Если , то , это значит → условие перпендикулярности.

. Пусть две прямые и заданы каноническими уравнениями.

= и = , , , то

Условие параллельности . Условие перпендикулярности

. Прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентом.

^Y Y = и y =

, tg =tg( =

⁰ _x = , так как tg ,

tg , то .

Если , то tg =0 и tg когда или - условие параллельности прямых.

Если , то tg , поэтому 1+ или - → условие перпендикулярности прямых.

Пример. Получить все виды уравнения прямой, если прямая задана общим уравнением 3x+4y-5=0.

Решение. 1). Уравнение с угловым коэффициентом: 4y=-3x+5 y=- , k=- .

2).Уравнение прямой в отрезках: 3x+ 4y =5 + = 1, , b= .

3).Каноническое уравнение: возьмём 2 произвольные точки на прямой (0, ) и вектор { , } является направляющим вектором прямой, каноническое уравнение запишем через точку = .

4). Уравнение прямой через две точки

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒