Величина транспонированного определителя равна величине исходного определителя.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 8Следующая ⇒

2. Перестановка местами двух строк (столбцов) изменяет знак определителя на противоположный.

3. Определитель, содержащий две (или более) одинаковых строки (столбца), равен нулю.

4. Для того чтобы умножить определитель на число , достаточно умножить на это число все элементы какой-либо одной строки (столбца). Обратно: если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель , то его можно вынести за знак определителя.

5. Если две каких-либо строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю.

6. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то опреде-литель равен нулю.

7. Если элементы какой-либо строки (столбца) можно представить в виде двух слагаемых, то сам определитель можно представить в виде суммы двух определителей.

8. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на вещественное число  и прибавить к соответствующим элементам другой строки (соответственно, столбца), то величина определителя равна нулю.

9. (Метод раскрытия определителя по элементам какой-либо строки (столбца); универсальный способ вычисления определителя любого порядка). Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения: .

Пример 6. Вычислить определитель  по элементам 3 строки и по элементам 2 столбца.

Воспользуемся свойством 9: раскроем определитель по элементам 3 строки

.

Вычислим определитель по элементам 2 столбца

.

Отсюда видно, что свойство 9 является универсальным методом вычисления определителя любого порядка по элементам любой строки или столбца.

“Матрицы и действия с ними”

О1. Матрицей называется таблица чисел (выражений), имеющая m строк и n столбцов: .

В дальнейшем будем писать матрицу в сокращенном виде , где числа  называются матричными элементами,  – нумератор строк,  – нумератор столбцов, выражение  будем называть размерностью матрицы или ее структурой.

О2. Если матрица содержит m строк и 1 столбец, то она называется матри-цей-столбцом .

О3. Если матрица содержит 1 строку и n столбцов, то она называется мат-рицей-строкой .

Пример 1.  – матрица-столбец;  – матрица-строка.

О4. Матрица, у которой совпадает количество строк с количеством столбцов, называется квадратной.

Пример 2.  – квадратная матрица размерностью 2 х 2.

Всякой квадратной матрице соответствует определитель, составленный из тех же матричных элементов, который в теории матриц называется детерминантом матрицы .

О5. Транспонированной к исходной квадратной матрице называется такая матрица, строки которой заменены на соответствующие столбцы, а столбцы – на соответствующие строки.

Согласно свойству 1 для определителей для квадратных матриц детерминант исходной матрицы равен детерминанту транспонированной матрицы.

О6. Матрицу, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, будем называть треугольной .

О7. Матрица, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, называется диагональной .

О8. Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю:

.

Над матрицами можно выполнять следующие действия:

1. Суммой (разностью) двух матриц  и   одинаковой структуры называется матрица той же размерности , элементы которой вычисляются по формуле: .

Пример 3. Найти сумму и разность матриц

.

Из приведенных матриц складывать (вычитать) можно только матрицы  и , которые имеют одинаковую структуру. Найдем сумму

и разность этих матриц

.

2. При умножении вещественного числа  на матрицу   все элементы матрицы умножаются на это число.

Пример 4. Умножить (-2) на матрицу .

Результат умножения имеет вид .

3. Произведением матриц  и  называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:: .

Перемножать можно лишь те матрицы, для которых количество столбцов первой перемножаемой матрицы совпадает с количеством строк второй перемножаемой матрицы. Матрица, получаемая в результате перемножения, имеет количество строк равное количеству строк первой матрицы и количество столбцов равное количеству столбцов второй матрицы.

Пример 5. Найти (если это возможно) произведение матриц

.

Матрица  имеет структуру , матрица – , матрица – . Согласно определению можно найти произведения . Не существуют произведения , .  Вычислим  произведение . Прежде  всего, определим

структуру результирующей матрицы: имеем размерности  и , убирая подчеркнутые цифры, получим структуру результирующей матрицы . Теперь вычислим ее элементы. Для того чтобы найти элементы результирующей матрицы, надо просуммировать произведения элементов выбранной строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы:

     .

Отсюда следует, что . Остальные возможные произведения найти самостоятельно.

Из приведенного примера видно, что в общем случае произведение матриц некоммутативно (неперестановочно), т. е. .

О9. Обратной матрицей к исходной квадратной матрице  называется

матрица  той же структуры, произведение которой с матрицей  коммутативно и равно единичной матрице, то есть .

Рассмотрим схему построения обратной матрицы :

– находят детерминант матрицы  (  – определитель матрицы );

– вычисляют алгебраические дополнения  (см. «Определители») всех элементов определителя ;

– записывают выражение для обратной матрицы .

Обращаем внимание на то, что матрица алгебраических дополнений записана в транспонированном виде.

Пример 6. Найти обратную матрицу к матрице .

Вычислим детерминант данной матрицы , раскроем этот определитель по элементам первой строки:

.

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов данного определителя:

.

Запишем обратную матрицу . Проверим правильность нахож-дения обратной матрицы, для чего воспользуемся ее определением. Умножим найденную матрицу на исходную матрицу, вычислим элементы результирующей матрицы

  .

Таким образом, , то есть обратная матрица вычислена верно.

“Методы решения систем линейных алгебраических уравнений”

Метод Крамера.

О1. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение , где числа  называются коэффициентами при неизвестных , а числа  называются свободными коэффициентами.

О2. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы .

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный опре-делитель на , для этого умножим все элементы первого столбца на эту неиз-вестную: .

Второй столбец умножим на , третий столбец – на , …, -ый столбец – на  и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение  не изменится: .

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет

собой столбец свободных коэффициентов, то есть .

О3. Определитель  называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

.

Для того чтобы найти вспомогательный определитель , надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец  на столбец свободных коэффициентов.

О4. Полученные выше соотношения называются формулами Крамера.

Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины .

Проанализируем полученные формулы:

– если главный определитель системы отличен от нуля (), то система имеет единственное решение;

– если главный определитель системы равен нулю (), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля (  или , или …, или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено(!!!));

– если все определители системы равны нулю ( ), то система уравнений имеет бесчисленное множество решений.

Пример 1. Решить СЛАУ методом Крамера .

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом . Найдем главный определитель СЛАУ . Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

;

;

.

Воспользуемся формулами Крамера 

; ; .

После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляются в нормализованную си-стему линейных алгебраических уравнений. Выполним проверку

. Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров