Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Тема 1. Функции двух переменных, линии уровня. частные производные

Область определения функции двух переменных

1.1. Найти значения функции при заданных значениях аргументов.

1) , , ;

2) , , ;

3) ; , .

Линии уровня функции

1.3. Построить линии уровня функции двух переменных  при заданных значениях .

1) , ; 2) , ; 3) , .

Частные производные функции

1.5. Найти частные производные 1-го порядка функции:

1) ;       2) ;                3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ;             8) ;         9) .

1.6. Вычислить значения частных производных функции в точке.

1) , ; 2) , .

1.7. Найти частные производные второго порядка. Убедиться в равенстве смешанных частных производных.

1) ; 2) ;      3) ;

4) .

Тема 2. Экстремум функции двух переменных

(безусловный и условный)

Безусловный экстремум функции

2.1. Найти экстремум функции двух переменных .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Условный экстремум функции

2.2. Найти условный экстремум функции, применяя метод подстановки.

1) , если ;

2) , если ;

3) , если .

Тема 3. наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области. градиент функции

Наибольшее и наименьшее значения функции в области

3.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области.

1) функция , границы области { , , };

2) функция   границы области .

3) функция , границы области { , , , }.

Градиент функции

3.2. Найти градиент  функции:

1) 2)       3)

3.3. Построить линии уровня и  в точке А(1;2) для функций:

1) ;   2) ;        3) .

Контрольная работа № 2

«Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»

Вариант 0

Примерные задачи в контрольной работе

Задача 1. Дана функция двух переменных

.

1. Описать математически область определения функции

2. Изобразить геометрически на плоскости область определения функции.

Задача 2. Дана функция .

1. Найти все частные производные первого и второго порядка функции.

2. Убедиться в равенстве смешанных производных.

Задача 3. Дана функция .

1. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку , и построить линию уровня

2. Найти градиент функции в точке  и наибольшую скорость изменения функции в этой точке.

3. Построить градиент.

Задача 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области, заданной уравнениями границ , , .

Задача 5. Найти экстремумы функции .

Задача 6*. Дана функция , где  - выпуск продукции,  и  - ресурсы двух видов.

1. Вычислите коэффициент эластичности  в точке .

2. Дайте истолкование результату.

Модуль 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 1. методы нахождения неопределенного интеграла

Непосредственное интегрирование

1.1. Вычислить, используя свойства и таблицу основных интегралов.

; 4) ;          

5) ;              6) ; 7) ;                

8) ;   9) ;

10) ;            11) ;     12) .

Замена переменной в неопределенном интеграле

1.2. Найти интегралы методом замены переменной

1) ;  2) ;             3) ;

4) ; 5) ;            6) ;

7) ;               8)) ;      9 ) ;    

10) ; 11) ;            12) ;     

13) ;      14) ;      15)

Метод интегрирования по частям* .

1.3. С помощью метода интегрирования по частям найти интегралы.

1) ;          2) ;            3) .

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?