Выбор формы связи (аппроксимация связей между параметрами)

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

От правильности выбора аппроксимирующей функции зависит, насколько полученная связь будет адекватна реально существующей связи между параметрами и будет ли она отображать эту связь с заданной степенью точности.

Выбор формы связи начинают с предварительного аналитического или графического анализа исходной информации построением поля корреляции и прочерчиванием приблизительной кривой. Для этого, откладывая в прямоугольной системе координат по оси абсцисс (X) факторный признак, а по оси ординат (Y) – результативный и заполняя первый квадрат точками с координатами X и Y, получают корреляционное поле (рис. 1).

Y

Х

Рис. 1. Поле корреляции и линии регрессии зависимости Y = f (X)

Чем больше разбросанность точек по всему полю, тем слабее зависимость, и наоборот. Разбросанность точек в определенном направлении говорит о прямой или обратной связи. Те точки, которые резко выпадают из общей картины наблюдения, рекомендуется исключить из дальнейшего рассмотрения.

Сопоставляя каждому значению одной величины, например, X, среднее из соответствующих значений другой величины, например, Y, мы получим функцию регрессии Y на X. Функция регрессии изображается графически линией регрессии (Рис. 1).

Если анализ показывает, что величина результативного признака Y изменяется приблизительно равномерно в соответствии с изменением величины влияющего фактора X, то, следовательно, существует прямая линейная связь; если неравномерно, то – криволинейная.

Корреляционные связи, применяемые в исследованиях, имеют следующий вид:

Линейная (прямая)

y =a₀ +a₁x,                                                        (2)

обычно применяется в простейших случаях, когда экспериментальные данные возрастают или убывают с постоянной скоростью.

Полиномиальная

y = a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,                                      (3)

где до шестого порядка включительно (n≤6), a_i– константы. Используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов или минимумов) кривой. Полином второй степени можно описать только один максимум или минимум, полином третьей степени может иметь один или два экстремума, четвертой степени – не более трех экстремумов и т.д.

Логарифмическая

y = a·lnx+b,                                                    (4)

где a и b – константы, ln – функция натурального логарифма. Функция применяется для описания экспериментальных данных, которые вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются.

Экспоненциальная

y = b·e_ax,                                                      (5)

где a и b – константы, e – основание натурального логарифма. Применяется для описания экспериментальных данных, которые быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются. Часто ее использование вытекает из теоретических соображений.

Степенная (факториальная)

y = b·x^a,                                                      (6)

где a и b – константы. Аппроксимация степенной функцией используется для экспериментальных данных с постоянно увеличивающейся (или убывающей) скоростью роста. Данные не должны иметь нулевых или отрицательных значений.

Выбираем линейную форму связи: y =a₀ +a₁x, т.к. на практике она получила большее распространение:

- линейные модели просты и требуют относительно меньшего объема вычислений;

- именно линейным формам связи свойственно нормальное распределение, которое встречается наиболее часто.

Криволинейную зависимость часто можно заменить прямолинейной, потому что при сравнительно больших диапазонах изменений показателей любую кривую в первом приближении всегда можно с некоторой погрешностью представить в виде набора прямых отрезков.

Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией оценивается коэффициентом детерминации (R²).

Таким образом, если есть несколько подходящих вариантов типов аппроксимирующих функций, можно выбрать функцию с большим коэффициентом детерминации (стремящимся к 1).

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности