Теорема сложения для совместных событий

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 11Следующая ⇒

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пусть события A и B совместны, известны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления.

Теорема (сложения совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Задани я 1 - 10. (в него входит шесть задач).

1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта.

2.  Определить испытания и элементарные события.

3. Определить исследуемое событие А и другие события.

4. Установить, какие формулы следует использовать для вычислений и выполнить последние.

Задание 1.1. Бросают две монеты. Найти вероятность того, что:

1) на обеих монетах появится «герб»;

2) хотя бы на одной монете появится «герб»;

3) ни на одной монете не появится «герб»;

Бросают три монеты. Найти вероятность того, что:

4) на всех монетах появится «герб»;

5) хотя бы на одной монете появится «герб»;

6) только на двух монетах появится «герб»;

7) только на одной монете появится «герб»;

8) ни на оной монете не появится «герб»;

Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что:

9) на всех монетах появится «герб»;

10) хотя бы на одной монете появится «герб».

Задание 1.2. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Слова по вариантам:

1) ПРОГРАММА.

2) ПРОГРАММИСТ.

3) ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

4) СТАТИСТИК.

5) СТАТИСТИКА.

6) СОБЫТИЕ.

7) СЛУЧАЙНОСТЬ.

8) ВЕРОЯТНОСТЬ.

9) АЛГОРИТМ.

10) БЛОК-СХЕМА.

  Задание 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является ваша фамилия и ваше имя.

Задание 1.4. В урне содержится К черных и Н белых шаров. Случайным образом вынимают М шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:
   а) Р белых шаров;

   б) меньше, чем Р, белых шаров;

   в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, Н, М и Р по вариантам приведены в табл. 1.

Табл. 1.

Задание 1.5. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностью р ₁, р ₂, р ₃. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а). только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

, , , .

(Здесь V – номер Вашего варианта.)

Задание 1.6. В первой урне К белых и L черных шаров, а во второй – M белых и N черных. Из первой урны вынимают случайным образом Р шаров, а из второй – Q шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а). все шары одного цвета;

б). только три белых шара;

в). хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, L, M, N, Р и  Q приведены в таблице 2 по вариантам.

Табл.2.

Пример выполнения заданий 1-10

Задание 1.1. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на 5.

Определим испытание и его результат, т.е. элементарное событие. Испытанием бросание трех игральных костей, результатом – одно из сочетаний очков на верхних гранях трех костей. Исследуемое событие А – сумма очков на трех верхних гранях делится на 5. Вероятность события А находится по формуле: .

Общее количество элементарных событий n можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней, и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем:

.

Количество элементарных событий m, входящих в состав события А, или благоприятствующих событию А, найдем, выписав все возможные результаты испытаний, и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на 5. Имеем:

В результате получим, что m= 43. Следовательно, искомая вероятность:

Задание 1.2. Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана только одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, что буквы появятся в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова «МАТЕМАТИКА». Так как элементарные события являются перестановками из 10 букв, то   Некоторые буквы в слове «МАТЕМАТИКА» повторяются (М – 2 раза, А – 3 раза, Т – 2 раза). Поэтому возможны перестановки, при которых слово не меняется. Их число равно: =24.

Таким образом, .

Задание 1.3. (решается аналогично задаче 1.2).

Задание 1.4. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 2 белых шара;

б) меньше, чем 2 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Испытанием будет случайное вынимание 4 шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно:

.

а)  - среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых шаров – 2 белых и 2 черных (т.к. вынимают 4). Используя правило умножения, получаем:

,

б)  - среди вынутых шаров меньше, чем 2 белых. Это событие состоит из двух несовместных событий:

В ₁ – среди вынутых шаров 1 белый и 3 черных шара;

В ₂  - все вынутые шары – черные.

Следовательно, .

, .

; ; .

в)  - среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров:

В ₁ – среди вынутых шаров 1 белый и 3 черных шара;

В ₂  - среди вынутых шаров 2 белый и 2 черных шара;

В ₃  - среди вынутых шаров 3 белых и 1 черный шар;

В ₄  - среди вынутых шаров 4 белых шара.

Прямое решение этой задачи приводит обычно к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события, а затем вычислить вероятность искомого.

 - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае

;

Тогда

Ответ: ; ;

Задание 1.5. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0,851, 0,751, 0,701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Испытание, т.е. работу за время Т, нужно рассмотреть на двух уровнях: на уровне устройства и на уровне элементов. Элементарные события определять не надо, так как их вероятности заданы.

а)  - за время Т выходит из строя только один элемент:

 - первый элемент выходит из строя;

 - второй элемент выходит из строя;

 - третий элемент выходит из строя;

 - первый элемент не выходит из строя;

 - второй элемент не выходит из строя;

 - третий элемент не выходит из строя.

Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий  и , получаем следующую формулу:

.

По условию,

 = 0,851, , 0,701.

Тогда

, ,

.

Следовательно, получаем:

=0,418.

б)  - за время Т выходит из строя хотя бы один элемент.

Так как событие определяется словами «хотя бы один», используем противоположное событие:

 - за время Т все элементы работают безотказно.

.

Ответ: , .

Задание 1.6. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли 3 шара наугад, а из второй – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только 3 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

 Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются извлечение трех шаров из первой урны и двух шаров из второй. Элементарными событиями будут сочетания по 3 или 2 из 10 или 12 шаров соответственно.

а)  - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые, или все черные. Определим для каждой урны все возможные события:

 - из первой урны вынуты 3 белых шара;

 - из первой урны вынуты 2 белых шара и 1 черный шар;

 - из первой урны вынуты 1 белый шар и 2 черных шара;

 - из первой урны вынуты 3 черных шара;

 - из второй урны вынуты 2 белых шара;

 - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

 - из второй урны вынуты 2 черных шара.

Таким образом,

.

Найдем количество элементарных событий  и  для первой и второй урн соответственно. Имеем:

, .

Найдем количество каждого из элементарных событий, определяющих следующие события:

: , : ,

: , : ,

: , : ,

: .

Следовательно,

.

б)   - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае:

.

в)  - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

 - среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара.

 Тогда: , .

Ответ: , , .

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров