Использование монотонности функций при решении уравнений.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒

В этом параграфе мы обращаем внимание читателя на совершенно законный метод решения задач, базирующийся на следующем утверждении.

    Утверждение 3.

    Уравнение f (x)=0, где f(x)-строго возрастающая или строго убывающая на некотором множестве М функция, не может иметь на этом множестве более одного решения.

    Для доказательства достаточно заметить, что возрастающая (убывающая) функция в различных точках принимает различные значения.

    Отсюда следует, что если удаётся угадать или быстро подобрать один корень подобного уравнения и показать проверяющим, что Вы понимаете, почему других корней нет, то можно писать ответ.

    Пример 11.    Решить уравнение  

    Решение:

    Очевидно, что  - корень уравнения, и, поскольку левая часть возрастает (как сумма возрастающих функций), то других решений нет.

    Ответ: 1.

    Пример 12.   Решить уравнение:

    Решение:

    Левая часть этого уравнения является возрастающей, а правая часть- убывающей функцией, и, значит, уравнение имеет не более одного решения.

    Очевидно, что   годится.

Ответ: 10.

(Для сравнения попробуйте решить это уравнение по стандартной схеме ИУ 3.2!)

    Замечание 6!!!

    Мы предлагаем читателю решение всякой задачи начинать с выяснения вопроса: «А нельзя ли использовать монотонность, что бы избежать длинных выкладок?»

    Просматривая экзаменационные задачи, читатель может сам убедиться в том, что количество задач, допускающих такое решение, значительно!

§ 6. Задачи для самостоятельного решения:  

 1.                                               Ответ:             .

 2.                                           Ответ:             .

 3.                                       Ответ:             .

 4.                               Ответ:             .

 5.                                      Ответ:            

     6.

Указание: сделайте замену            Ответ:            

     7.                                    Ответ:            

     8.                                          Ответ:            

     9.                                   Ответ:            

10.                                    Ответ:            

11.                                 Ответ:            

       12.                                        Ответ:             20.

     § 7. Контрольные задания             

       1.                                     Ответ:            

     2.                                                    Ответ:             .

     3.                                   Ответ:

      4.                                      Ответ:   1.

 5.                              Ответ: .

 6.                                Ответ:       .

7.                                         Ответ:  .

      8.                                     Ответ:  

      9.         Ответ:             .

     10.           Ответ:             .

     11.                          Ответ: .

     12.                              Ответ: .

     13.                              Ответ: .

     14.                                Ответ: .

15.                              Ответ:  8.

Часть II. Иррациональные неравенства.

§1. Основные неравенства.

    Это неравенства видов:

(1)             и           (2)      

Утверждение 4

    Имеют место эквивалентности:

I                 

II       

 (В случае нестрогих исходных неравенствах (А1) и (А2) все неравенства (В1), (В2)и (D2) заменяются нестрогими неравенствами).

Доказательство:

I. Пусть x - решение (А1), тогда неравенства (С1) и (D1) очевидно имеют место, а из них и (А1) следует (В1).        

     Опять же, пусть для x  выполняются все три неравенства системы. Извлекая квадратный корень из неотрицательных левой и правой частей (В1) и учитывая, что при g(x )  имеет место равенство

     , получаем (A1).

II. Пусть для x  имеет место (А2). Здесь возможны два случая:

(1) правая часть (А2) отрицательна, а левая - определена, т. е. (В2) и (С2);

(2) правая часть (А2) неотрицательна, а левая – определена, но тогда имеет место (D2). Значит x  входит в решение совокупности.

      Опять же, пусть x - решение совокупности. Если для x  имеет место система (В2), (С2), то из неё, очевидно, следует (А2). Если же x  удовлетворяет (D2), то тогда либо g(x ) 0, и, извлекая корень из левой и правой части, получаем (А2), либо в (D2) g(x ) , и, извлекая корень из левой и правой части, получаем (А2), либо в (D2) g(x )<0, но тогда имеет место система (В2), (С2).

         §2.Примеры записи решений основных неравенств.

         Пример 1. Решить неравенство:

         Решение:

         Ответ: .

         Пример 2. Решить неравенство: x +3

         Решение:

Ответ: .

         Пример 3. Решить неравенство:

         Решение:

         Ответ:

         Пример 4. Решить неравенство:

         Решение:

         Ответ:       .

         Пример 5.      Решить неравенство:    

         Решение:

         Ответ:      

         Пример 6. Решить неравенство:

         Решение:

     Ответ: .

         §3.Неравенство с двумя радикалами.

         Утверждение 5.

         Имеют место следующие эквивалентности, упрощающие задачи с двумя радикалами.

I.      

II. (а)   (буква «с» обозначает положительную константу)

Возможен другой путь:

    (б)

Возможен другой путь:

I. (a)              

(б)  

         Возводить разность радикалов в квадрат, даже с правильным учетом всех случаев, не советуем, т. к. этот путь явно проигрывает в сравнении с вышеуказанным.

         Доказательства эквивалентностей оставляем на усмотрение читателя

         §4.Примеры записи решений задач

              с двумя радикалами

         Пример 7. Решить неравенство:

         Решение:

  Ответ: .

Пример 8. Решить неравенство:

Решение:

  Ответ: .

         Пример 9.   Решить неравенство:  

 Решение:

   Ответ: .

  Пример 10.   Решить неравенство:  

Решение:

Ответ:

     Пример 11. Решить неравенство:

    Решение:

Ответ: .

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности