Краткие теоретические сведения.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 8Следующая ⇒

Задания для совместного решения.

№1 Вычислить матрицу D = 3A + 2B, где

Ответ:

№2. Даны матрицы А и В. Найти матрицу E = A^T × A + B

 Ответ:

№3. Вычислить определители матриц:

   Ответ: 13; -6

Задания для самостоятельного решения:

№1.Даны матрицы:

             В= С=

Найти матрицу, равную значению выражения.

№ варианта	Выражение	№ варианта	Выражение
1		6	D × B - 2AT
2		7	D × AT+2B
3		8	А × В+3СТ
4		9	A × D -4 BT
5	2 × A × D+BT	10	2 × A × B + CT
11		21
12		22
13		23
14		24
15	3 × A × D+BT	25	2 × A × D - BT
16	D × B - 2AT	26	D × B - 3 AT
17	D × AT - 2B	27	D × AT+ 3 B
18	А × В-3СТ	28	А × В+2СТ
19	A × D -3 BT	29	A × D +4 BT
20	3 × A × B + CT	30	2 × A × B - CT

№2.Вычислить определители матрицы

а) по любой строке или столбцу

б) по правилу треугольника

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Занятие 2. Решение систем линейных уравнений

Краткие теоретические сведения.

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система уравнений: 

Составляются матрицы: A = ;  B = ;

Решением системы является матрица-столбец X = , определяемая по формуле:

Х = А^-1 ×В.

        - матрица, обратная матрице А. Обратная матрица может быть определена различными способами. Один из них – с помощью алгебраических дополнений.

.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А^-1.

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

А₁₁ = (-1)¹⁺¹           А₂₁ = (-1)²⁺¹             А₃₁ = (-1)³⁺¹    

А₁₂ = (-1)¹⁺²       А₂₂ = (-1)²⁺²             А₃₂ = (-1)³⁺²

А₁₃ =(-1)¹⁺³        А₂₃ = (-1)²⁺³            А₃₃ = (-1)³⁺³

A^-1 = ;

Х= = А^-1В = × = .

Решение системы: x =1; y = 2; z = 3.

Метод Крамера.

       Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными  в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = D_i/D, где

D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

D_i =

       Пример 2. Найти решение системы уравнений:

D =  = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.                      x₁ = D₁/D = 1;

D₂ =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.               x₂ = D₂/D = 2;

D₃ =  = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.                x₃ = D₃/D = 3.

Метод Гаусса.

       Рассмотрим систему линейных уравнений:

       Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т.д.

Получим:

, где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j    i = 2, 3, …, n;  j = 2, 3, …, n+1.

       Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

       Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Задания для совместного решения.

Решить данную систему

а) методом обратной матрицы

б) методом Крамера

в) методом Гаусса

 Ответ: (1; 2; -1)

Задания для самостоятельного решения

Решить данную систему

а) методом обратной матрицы

б) методом Крамера

в) методом Гаусса

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Занятие 3. Векторы

Задания для совместного решения.

Даны векторы , ,

Вычислить:

а) вектор

б) модули векторов  и

в)

г) угол между векторами  и

д) проекцию вектора  на вектор

е) векторное произведение

ж) площадь параллелограмма и площадь треугольника, построенного на векторах  и

з) смешанное произведение векторов . Являются ли векторы компланарными?

и) объем параллелепипеда и объем тетраэдра, построенных на векторах

Ответ: а)  б)  в) 5 г) arccos  д)  е)  ж)  з) -73, не являются и)

Задания для самостоятельного решения.

Для данных векторов  вычислить:

а) вектор  

б) модули векторов  и

в)

г) угол между векторами  и

д) проекцию вектора  на вектор

е) векторное произведение

ж) площадь параллелограмма и площадь треугольника, построенного на векторах  и

з) смешанное произведение векторов . Являются ли векторы компланарными?

и) объем параллелепипеда и объем тетраэдра, построенных на векторах

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Занятие 4. Прямая линия на плоскости

Задание для совместного решения.

1. Составить уравнение эллипса, если известно, что разница между его большой и малой полуосью составляет 18, а фокусы находятся на расстоянии 24 от центра.

Ответ:

2. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, вычислить все параметры кривой (вершины, фокусы, эксцентриситеты, асимптоты, директрису), выполнить чертеж

а) ;

б) ;

в) .

Ответ: а)  - уравнение эллипса;

        б)  - уравнение параболы;

        в) - уравнение гиперболы.

Задания для самостоятельного решения.

Задача №1. Составить уравнение кривой второго порядка, удовлетворяющей следующим условиям.

Задача №2. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду, вычислить все параметры кривой (вершины, фокусы, эксцентриситеты, асимптоты, директрису), выполнить чертеж.

	а	б	в*
1	9x2 +25y2 = 225.	y2 = 12x
2		y2 = - 16 x
3	6x2+15y2=90	x2 = 6y	x2-2x-4y-3=0
4	9 x2-16 y2=144		y2-3x-10y+31=0
5	x2+2y2=8		9x2+4y2-18x-8y-23=0
6	9 x2+ y2=36		x2-8x-y+15=0
7			x2+2y2+8x-4=0
8	.		y2-6x+14y+49=0
9			x2-8y2-10x+16y+1=0
10	45		2x2+8x-y+12=0
11			12x2+3y2-30y-32=0
12	72		2y2-8y+x+3=0
13	400		x2-8y2-10x+16y+1=0
14	576		x2-6x-4y+29=0
15	18		y2-x2+2x-6y=0
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Занятие 5^*. Уравнение плоскости

Задания для совместного решения.

1. Вычислить определенные интегралы:

а)   Ответ: 36

б)                 Ответ:

в)      Ответ:

2. Определить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² + 1 и прямой x + y = 3. (Ответ: 4,5).

3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = x² и x = y². (Ответ: 0,3π)

Задания для самостоятельного решения.

	Вычислить определенные интегралы			Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:	Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
12345678Следующая ⇒	Поделиться:

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности