Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 6Следующая ⇒

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными.

Решение иррациональных уравнений обычно сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень n обеих частей уравнения.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1. если показатель корня – четное число, то подкоренное выражение и значение корня не должны быть отрицательными;

2. если показатель корня – нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом;

3. при возведении обеих частей уравнения в четную степень могут возникать посторонние корни, поэтому при использовании данного метода необходимо делать проверку или находить область допустимых значений.

Пример:

1. Решить уравнение. 3x−2−−−−−−√4=2

Решение:

ОДЗ.

3x−2≥03x≥2 /: 3x≥23

Возведём обе части уравнения в четвёртую степень.

Зx−2=16
3x=16+2
3x=18

x=6∈ ОДЗ

Ответ: x=6

2. Решить уравнение. x2−24−−−−−−√=1

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат.

x2−24=1x2=24+1x2=25

Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня −5 и 5 .
Произведем проверку полученных корней, для этого подставим значения переменной x в исходное уравнение.

Проверка.
При x1=−5(−5)2−24−−−−−−−−−√=25−24−−−−−−−√=1√=1 - верно
При x2=552−24−−−−−−−√=25−24−−−−−−−√=1√=1 - верно.
Значит, исходное иррациональное уравнение имеет два корня
Ответ: −5 и 5.

3. Решить уравнение. 9−2x−−−−−√8=−12

Решение: Уравнение не имеет корней. Корень чётной степени - неотрицательное число.

Реши уравнение. 5x+7−−−−−√3=−2

Решение: Возведём обе части уравнения в куб.

5x+7=−85x=−8−75x=−15x=−3

Ответ: x=−3

Степенью называется выражение вида: , где:

§ — основание степени;

§ — показатель степени.

Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}

Определем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

1. По определению: .

2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:

3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .

Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

, n > 0

Возведение в нулевую степень:

, a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то

Пример 1.

Степень с рациональным показателем

Если:

§ a > 0;

§ n — натуральное число;

§ m — целое число;

Тогда:

Пример 2.

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Пример 3.

Корень

Корень из квадрата

Например, . А решения уравнения соответственно и

Кубический корень

Кубический корень из числа — это число, куб которого равен . Кубический корень определен для всех . Его можно извлечь из любого числа: .

Корень n-ой степени

Корень -й степени из числа — это число, -я степень которого равна .

Если — чётно.

§ Тогда, если a < 0 корень n -ой степени из a не определен.

§ Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем n -ой степени из a и обозначается

Если — нечётно.

§ Тогда уравнение имеет единственный корень при любом .

Пример 4.

Таблица корней

Корень третьей степени (3)		Корень седьмой степени (7)
Корень четвертой степени (4)		Корень восьмой степени (8)
Корень пятой степени (5)		Корень девятой степени (9)
Корень шестой степени (6)		Корень десятой степени (10)

Яндекс.Директ

· Высшая математика

Корни и степени

Формулы сокращенного умножения

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Модуль числа

Логарифм

Биквадратное уравнение

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, задаваемая двумя параметрами , и законом , ,

— разность данной арифметической прогрессии;

§ Если — арифметическую прогрессию называют возрастающей;

§ Если — арифметическую прогрессию называют убывающей;

§ В случае, если — все члены прогрессии равны числу , а ариф.прогрессию называют стационарной.

Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Пример 1.

Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23. Найти пятнадцатый член прогрессии и сумму ее десяти первых членов.

Пример 2.

Найти число членой арифметической прогресии 5,14,23,..., , если ее -ый член равен 239.

Пример 3.

Найти число членов арифметической прогресии 9,12,15,..., , если ее сумма равна 306.

Впервые с модулем числа мы познакомились в шестом классе, где даётся такое определение: модулем числа называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки . Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа.

Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.

Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Определение модуля

Свойства модуля

1. Модули противоположных чисел равны
2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа
4. Модуль числа есть число неотрицательное
5. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля	,
6. Если , то
7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей
8.

· Алгебра

Высшая математика

· Арифметика

· Алгебра

· Основы линейной алгебры

· Линейное программирование

· Математический анализ

· Тригонометрия

· Математические методы в экономике

· Теория вероятностей

· Эконометрика

Смежные предметы

· Статистика

· Экономическая теория

· Логарифм положительного числа по основанию (обозначается ) — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить . b > 0, a > 0, а≠ 1.

· ,

· Пример:

·

· Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, который обозначается как .

· , , так как

· Натуральный логарифм — логарифм с основанием , обозначается

· Свойства логарифма

· Основное логарифмическое тождество

·

·

· Логарифм произведения — это сумма логарифмов

·

·

· Логарифм частного — это разность логарифмов

·

·

· Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

· Показатель степени логарифмируемого числа

· Показатель степени основания логарифма

· , в частности если m = n, мы получаем формулу: , например:

· Переход к новому основанию

· , частности, если c = b, то , и тогда:

·

·

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

§ называется первым коэффициентом;

§ называется вторым коэффициентом;

§ — свободным членом.

Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида , первый коэффициент которого равен единице ().

Если в квадратном уравнении коэффициенты и не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение . Если один из коэффициентов или равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, .

Значение неизвестного , при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение является корнем квадратного уравнения , потому что или — это верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.

Пример 1.

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

Ответ: 0; 4.

ax² + c = 0, a≠0, с≠0

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим .

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если , то получаем два корня:

если , то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

Пример 2.

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня и

ax² = 0, a≠0

Разделим обе части уравнения на , мы получим , . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет один корень . В этому случае говорят, что квадратное уравнение имеет двукратный корень .

Теорема Виета

Теорема Виета — сумма корней приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна -p, а произведение корней равно q.

Обратная теорема — если сумма двух чисел x₁ и x₂ равна p, а произведение этих числе равно q, то числа x₁ и x₂ являются корнями приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0.

Пример 3.

Разложим на множители квадратный трехчлен:

Сначала решим квадратное уравнение:

Получим: и

Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:

Биквадратным уравнением — называется уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки .

Новое квадратное уравнение относительно переменной :

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения и . Решая эти два уравнения ( и ) относительно переменной , мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Пример решения

Решим биквадратное уравнение . Сначала приводим это уравнение к квадратному. Для этого введем вспомогательное неизвестное такое, что . Тогда . Теперь данное биквадратное уравнение приводится к виду:

Решая это квадратное уравнение, мы получим , . Так как , то данное биквадратное уравнение эквивалентно системе двух уравнений:

Решим каждое из этих уравнений и найдем объединение множеств их решений.

Ответ:

Понятие корня степени N

Корнем степени n из действительного числа a, где n - натуральное число, называется такое действительное число x, n -ая степень которого равна a.

Корень степени n из числа a обозначается символом . Согласно этому определению .

Нахождение корня n -ой степени из числа a называется извлечением корня. Число а называется подкоренным числом (выражением), n - показателем корня. При нечетном n существует корень n -ой степени для любого действительного числа a. При четном n существует корень n -ой степени только для неотрицательного числа a. Чтобы устранить двузначность корня n -ой степени из числа a, вводится понятие арифметического корня n -ой степени из числа a.

Основные свойства степеней

"Свойства степеней" - довольно популярный запрос в поисковых системах, что показывает большой интерес к свойствам степени. Мы собрали для вас все свойства степени (свойства степени с натуральным показателем, свойства степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем) в одном месте. Вы можете скачать краткую версию шпаргалки "Свойства степеней" в формате.pdf, чтобы при необходимости легко их вспомнить, или ознакомиться со свойствами степеней прямо на сайте. Более подробно свойства степеней с примерами рассмотрены ниже.

Скачать шпаргалку "Свойства степеней" (формат.pdf)

Свойства степеней (кратко)

1. a0=1, если a≠0

2. a1=a

3. (−a)n=an, если n - четное

4. (−a)n=−an, если n - нечетное

5. (a⋅b)n=an⋅bn

6. (ab)n=anbn

7. a−n=1an

8. (ab)−n=(ba)n

9. an⋅am=an+m

10. anam=an−m

11. (an)m=an⋅m

Свойства степеней (с примерами)

1-е свойство степени
Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице.
a0=1, если a≠0
Например: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

2-е свойство степени
Любое число в первой степени равно самому числу.
a1=a
Например: 231=23, (−9,3)1=−9,3

3-е свойство степени
Любое число в четной степени положительно.
an=an, если n - четное (делящееся на 2) целое число
(−a)n=an, если n - четное (делящееся на 2) целое число
Например: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

4-е свойство степени
Любое число в нечетной степени сохраняет свой знак.
an=an, если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число
(−a)n=−an, если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число
Например: 53=125, (−3)3=−33=−27, (−1)11=−111=−1

5-е свойство степени
Произведение чисел, возведенн ое в степень, можно представить как произведение чисел возведенн ых в эту степень (и наоборот).
(a⋅b)n=an⋅bn, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

6-е свойство степени
Частное (деление) чисел, возведенн ое в степень, можно представить как частное чисел возведенн ых в эту степень (и наоборот).
(ab)n=anbn, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

7-е свойство степени
Любое число в отрицательной степени равно обратному числу в этой степени. (Обратное число это число на которое нужно умножить данное число, чтобы получить единицу.)
a−n=1an, при этом a и n - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: 7−2=172=149

8-е свойство степени
Любая дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в этой степени.
(ab)−n=(ba)n, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

9-е свойство степени
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, а основание остается прежним.
an⋅am=an+m, при этом a, n, m - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: 23⋅25=23+5=28, обратите внимание, что это свойство степени сохраняется и для отрицательных значений степеней 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+(−3)=47−3=44

10-е свойство степени
При делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается прежним.
anam=an−m, при этом a, n, m - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: (1,4)2(1,4)3=1,42−3=1,4−1, обратите внимание, как применяется это свойство степени к отрицательным значения степеней3−236=3−2−6=3−8, 474−3=47−(−3)=47+3=410

11-е свойство степени
При возведении степени в степень степени перемножаются.
(an)m=an⋅m
Например: (23)2=23⋅2=26=64

Аблица степеней до 10

Мало кому удается запомнить всю таблицу степеней, да и кому это нужно когда ее так легко найти? Наша таблица степеней включает в себя как популярные таблицы квадратов и кубов (от 1 до 10), так и таблицы других степеней, которые встречаются реже. В столбцах таблицы степеней указываются основания степени (число, которое нужно возвести в степень), в строках – показатели степени (степень, в которую нужно возвести число), на пересечении нужного столбца и нужной строки находится результат возведения нужного числа в заданную степень. Существуют несколько типов задач, решаемых с помощью таблицы степеней. Прямая задача – это вычислить n -ю степень числа. Обратная задача, которая так же может быть решена с помощью таблицы степеней, может звучать так: "в какую степень нужно возвести число a, чтобы получить число b?" или "Какое число в степени n дает число b?".

Таблица степеней до 10

Таблица квадратов

Таблица квадратов от 0 до 99

Квадрат суммы

(a+b)2=a2+2ab+b2 – квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Квадрат разности

(a−b)2=a2−2ab+b2 – квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Разность квадратов

a2−b2=(a−b)(a+b) – разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Куб суммы

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 – куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Куб разности

(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3 – куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Сумма кубов

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) – сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Разность кубов

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) – разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Таблица синусов

Таблица синусов в радианах

Таблица синусов в градусах

Таблица синусов 1° – 180°

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров