Деление комплексных чисел в алгебраической форме

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел в алгебраической форме

Определение

Частным двух комплексных чисел и называется число , которое задается соотношением:

На практике деление комплексных чисел проводят по следующей схеме:

1. сначала делимое и делитель умножают на число, комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом;

2. в числителе умножают два комплексных числа;

3. полученную дробь почленно делят.

Пример

Задание. Найти частное

Решение. Домножим и числитель, и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю , это будет , тогда имеем:

Далее перемножаем комплексные числа как алгебраические двучлены, учитывая, что :

Ответ.

Деление комплексных чисел в геометрической форме

Если надо поделить комплексные числа и в геометрической форме: , то искомое число

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент - разности аргументов делимого и делителя.

Пример

Задание. Найти частное , если , а

Решение. Искомое частное

Ответ.

Введение понятия комплексного числа. Представление комплексного числа на плоскости Комплексные числа являются расширением множества действительных чисел. В результате расширения множества действительных чисел было введено понятие мнимой единицы , которая существует на множестве комплексных чисел, но не существует на множестве действительных. Мнимая единица удовлетворяет равенству: . (1) В литературе часто мнимую единицу обозначают через . Тогда комплексное число можно представить в виде: , (2) где носит название действительной части или реальной части и обозначается , а носит название мнимой части и обозначается как . Графически все множество действительных чисел можно представить на бесконечной числовой прямой, при этом комплексные числа можно трактовать как расширение числовой прямой до комплексной плоскости, а каждое комплексное число можно представить как точку на комплексной плоскости (смотри рисунок 1). При этом все множество действительных чисел будет представляться прямой на комплексной плоскости.   Рисунок 1: Представление комплексного числа на плоскости   Комплексная плоскость делится прямыми реальной части (прямой действительных чисел) и прямой мнимых чисел на четыре четверти. Любое комплексное число ,будет представляться точкой на комплексной плоскости с координатами и . Если число не содержит мнимой части, то оно действительное и находится на прямой , а если число не содержит реальной части, то оно называется чисто мнимым и находится на оси .

Выводы

В данной статье введено понятие комплексного числа и рассмотрены основные его свойства. Подробно рассмотрено представление комплексного числа на плоскости, приведена формула Эйлера показательной формы комплексного числа. Рассмотрены основные арифметические операции над комплексными числами.

Любые вопросы и пожелания вы можете оставить в гостевой книге, на форуме, или прислать по электронной почте admin@dsplib.ru

Наверх Вернуться к списку статей