Существование треугольника, равного данному.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 15Следующая ⇒

В1

С1

B

А1

C

A

Пусть есть D АВС и луч а. Переместим D АВС так, чтобы его вершина А совместилась с началом луча а, вершина В попала на луч а, а вершина С оказалась в заданной полуплоскости относительно луча а. Вершины полученного треугольника обозначим А₁, В₁, C ₁. Треугольник D А₁В₁С₁ равен треугольнику D АВС.

Аксиома о существовании треугольника, равного данному. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Признаки равенства треугольников. Теорема 1 (первый признак равенства треугольников – СУС). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆АВС; ∆А₁В₁С₁; АВ = А₁В₁;   Ð A = Ð A ₁; АС = А₁С₁.

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Наложим ∆АВС на ∆А₁В₁С₁ так, чтобы точка А совместилась с точкой А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁.

2. Поскольку АВ = А₁В₁, точки В и В₁ совпадут, а сторона АВ совместится со стороной А₁В₁.

3. Поскольку АС = А₁С₁, точки С и С₁ совпадут, а сторона АС совместится со стороной А₁С₁.

4. Согласно аксиоме существования прямых стороны ВС и В₁С₁ также совпадут. ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Теорема 2 (второй признак равенства треугольников – УСУ). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:  ∆АВС; ∆А₁В₁С₁; Ð A = Ð A ₁; АС = А₁С₁; Ð С = Ð С₁.

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Наложим ∆АВС на ∆А₁В₁С₁ так, чтобы точка А совместилась с точкой А₁, сторона АС – с равной ей стороной А₁С₁, а вершины В и В₁ оказались по одну сторону от прямой А₁С₁.

2. Поскольку Ð A = Ð A ₁ и Ð С = Ð С₁, то сторона АВ наложится на луч А₁В₁, а сторона СВ наложится на луч С₁В₁. Вершина В – общая точка сторон АВ и СВ – окажется лежащей на лучах А₁В₁ и С₁В₁, а следовательно, совместится с общей точкой лучей А₁В₁ и С₁В₁, т. е. с точкой В₁. Значит, совместятся стороны АВ и А₁В₁, а также СВ и С₁В₁. Значит, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Теорема 3 (третий признак равенства треугольников – ССС). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

A 1

В1

B

С (С1)

В1

С1

A (A 1)

C

B

A

Дано: ∆АВС; ∆А₁В₁С₁; АВ = А₁В₁; ВС = В₁С₁; АС = А₁С₁. Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Доказательство: Дополнительное построение. Приложим ∆АВС к ∆А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁ и вершина С совместилась с вершиной С₁, а вершина  В и вершина В₁ оказались по разные стороны от отрезка АС.

2. Возможны три случая: 1) луч ВВ₁ проходит внутри угла АВС; 2) луч ВВ₁ совпадает с одной из сторон угла АВС; 3) луч ВВ₁ проходит вне угла АВС.

3. Рассмотрим первый случай. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный Þ

Ð АВВ₁ = Ð АВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то ∆СВВ₁ – равнобедренный ÞÐ СВВ₁ = Ð СВ₁В (углы при основании).

4. Рассмотрим второй случай. Пусть точка С Ì ВВ₁. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный ÞÐ АВВ₁ = Ð АВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то в ∆АВВ₁ АС – медиана.

3. Рассмотрим третий случай. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный Þ

Ð АВВ₁ = Ð АВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то ∆СВВ₁ – равнобедренный ÞÐ СВВ₁ = Ð СВ₁В (углы при основании).

2. Деление отрезка на п равных частей. Доказательство теоремы Фалеса.

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии