Факторизация модели главных координат

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7

В модели главных координат нет никакой потери информации и точности в измерениях, просто осуществлён переход к новой системе упорядоченных факторных переменных. Проведём факторизацию модели путём выбора общих и специфических факторных переменных, для чего выразим через них измеренные величины: ,    

.

Примем первые факторных переменных с наибольшими факторными дисперсиями за общие факторы, которые определяют общефакторную часть  измерений, а остальные отнесём к специфической части  измеримых величин. При этом для общих и специфических факторов в силу их ортогональности выполняются все условия Гаусса – Маркова.

 Поскольку теперь , то доля факторизации определяется как . Задаваясь долей факторизации , можно определить количество необходимых общих факторов  из условия .

    Большой проблемой проведённой факторизации является смысловая интерпретация полученных общих факторов [10], поскольку они являются линейной комбинацией абсолютно всех измеряемых величин. Для разрежения матрицы факторных нагрузок (получения нулевых или незначимых элементов) иногда проводится дополнительное вращение или даже переход от ортогональных координат к косоугольным координатам. В итоге каждый общий фактор связывается только с частью измеримых величин, что упрощает его интерпретацию. Обычной интерпретацией общего фактора является некий обобщённый уровень значения, например, уровень развития, уровень потребления, уровень качества, уровень образования и т.д.

Числовой пример (часть 7)

    Проведём для рассматриваемых в примере измерений выделение и интерпретацию главных факторов, объясняющих не менее 75% изменчивости наблюдаемых величин. Согласно методу главных координат провёдем преобразование измеренных величин путём ортогонального поворота. Матрица поворота определяется через собственные вектора корреляционной матрицы . Однако, к сожалению в Excel нет функции определения собственных чисел и векторов матрицы, поэтому можно воспользоваться другими приложениями, например, в системе MatLab оператор [T,Q]=equ(R) формирует матрицу поворота и преобразованную к главным координатам корреляционную матрицу . Преобразованная матрица   будет диагональной, на диагонали которой находятся убывающие по величине положительные собственные числа матрицы  и являющиеся дисперсиями главных координат.

Суммарная дисперсия (изменчивость) всех наблюдаемых величин в стандартном масштабе равна количеству переменных и сохраняется при повороте (инвариантность следа матрицы). Распределение изменчивости по координатам сильно изменилось, видим, что первый главный фактор  объясняет уже 56.3% изменчивости, а для объяснения 75% достаточно первых двух факторов . Поясним смысл главных факторов, т.к. , то:

,

.

Факторные нагрузки разнонаправлены по знаку и значительны по величине.

    Рассмотрим для сравнения объяснение величины через главные факторные переменные и измеренные переменные. Пересчитаем матрицу измерения  в главные координаты и построим на них линейную регрессию переменной .

В построенной регрессии можно отбрасывать последние факторы (столбцы в F) в любом количестве, вплоть до оставления одного единственного главного фактора.

Из приводимых ниже расчетов можно видеть, что при 4-х факторной регрессии её качественные параметры, такие как коэффициент детерминации  и стандартная ошибка  регрессии совпадают с параметрами регрессии, рассмотренной в части 3 нашего примера. При уменьшении количества используемых факторов параметры регрессии ухудшаются, но незначительно. Так регрессия только по единственному главному фактору  имеет коэффициент детерминации , что всего на 10% ниже исходного и остаётся значимым по заданному уровню значимости . При этом снижается размерность задачи анализа данных, сжимается объём данных путём отбрасывания второстепенных данных и, наконец, имеется возможность визуализации корреляционных полей и линейной регрессии в них.

0.919

0.898

0.893

0.810

S=

0.387

0.432

0.443

0.591

Gf=

3.729

2.927

2.754

1.408

У факторы

Х факторы

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9,26

204,2

13,26

0,89

0,34

1,73

0,31

166,2

167,29

10,08

17,22

9889

0,28

9,44

209,6

10,16

0,93

0,33

0,99

0,15

186,1

92,88

14,76

18,39

2212

0,25

12,11

223,54

13,72

1,33

0,17

1,73

0,14

220,5

159,01

6,45

26,46

1078

0,47

10,81

236,7

12,83

0,68

0,32

0,47

0,18

169,3

93,96

21,83

22,37

1072

1,53

9,33

62

10,63

0,89

0,36

1,73

0,31

39,93

173,88

11,94

28,13

5526

0,21

9,87

53,1

9,12

1,53

0,33

1,33

0,17

40,41

162,3

12,6

17,55

4532

0,13

8,17

172,1

25,95

1,12

0,15

0,97

0,26

103

88,56

11,52

21,79

1265

0,38

9,12

56,5

23,39

0,99

0,32

1,82

0,29

37,02

101,16

8,28

19,52

5756

0,38

5,88

52,6

14,68

1,65

0,31

0,68

0,26

45,94

167,29

11,52

23,85

1182

0,2

6,3

46,6

10,05

0,56

0,15

1,8

0,28

40,07

140,76

32,4

21,88

6436

0,35

6,19

53,2

13,89

0,58

0,17

1,19

0,25

45,44

128,52

11,52

25,68

6964

0,2

5,46

30,1

9,68

1,53

0,15

0,97

0,49

41,08

177,84

17,28

18,13

4984

0,17

6,5

146,4

10,03

0,7

0,16

1,15

0,26

136,1

114,48

16,2

25,74

2249

0,25

6,61

18,1

9,13

1,77

0,15

0,02

0,28

42,39

93,24

13,36

21,21

6920

0,16

4,32

13,6

5,37

0,74

0,17

0,06

0,17

37,39

126,72

17,28

22,86

5736

0,21

7,37

89,8

9,86

1,08

0,34

1,39

0,17

101,8

91,27

9,72

16,38

4726

0,19

7,02

62,5

12,62

1,15

0,34

0,08

0,31

47,91

69,12

16,2

13,21

7208

1,24

8,25

46,3

5,02

0,97

0,34

0,77

0,18

32,61

66,24

24,88

14,41

8370

0,43

8,15

103,47

21,18

1,12

0,19

0,77

0,31

103,7

67,16

14,76

13,44

1076

0,14

8,72

73,3

25,17

0,99

0,19

1,08

0,18

38,95

50,4

7,56

13,69

6592

0,29

6,64

76,6

19,4

0,58

0,34

0,93

0,31

81,32

70,89

8,64

16,66

9981

0,43

8,1

73,01

21

1,03

0,34

0,1

0,15

67,75

72

8,64

15,06

7568

0,17

5,52

32,3

6,57

1,24

0,15

0,11

0,28

59,66

97,2

9

20,,09

4419

0,21

9,37

198,54

14,19

0,89

0,19

1,44

0,18

107,8

80,28

14,76

15,91

2089

0,42

13,17

598,12

15,81

0,68

0,34

0,48

0,14

512,6

51,48

10,08

18,27

2894

1,19

6,67

71,69

5,2

1,03

0,19

1,24

0,18

53,53

105,12

14,76

14,44

7468

1,87

5,68

90,63

7,96

0,73

0,32

0,77

0,29

80,83

128,52

10,38

22,88

8631

0,15

5,19

82,1

17,5

0,73

0,19

0,93

0,3

59,42

94,68

14,76

15,5

3131

0,03

10,02

76,2

17,16

0,85

0,33

0,13

0,27

36,96

85,32

20,52

19,35

6475

0,24

8,16

119,47

14,54

1,03

0,34

1,73

0,14

91,88

76,32

14,46

16,95

8206

0,93

3,78

21,83

6,21

0,47

0,36

0,77

0,29

17,16

153

24,88

30,53

4467

0,13

6,45

48,4

12,08

0,56

0,33

0,16

0,44

27,29

107,34

11,16

17,78

6518

0,27

10,38

173,5

9,39

0,89

0,32

0,74

0,14

184,3

90,72

6,45

22,09

2269

0,17

7,65

74,1

9,28

0,99

0,15

1,95

0,29

58,42

82,44

9,72

18,29

6810

0,24

8,77

68,6

11,44

1,95

0,16

0,58

0,18

59,31

79,12

3,24

26,05

6561

0,19

7

60,8

10,31

1,03

0,16

1,77

0,44

49,87

120,96

6,45

26,2

1273

0,29

11,06

355,6

8,65

0,01

0,2

0,7

0,31

391,3

84,6

5,4

17,26

7919

0,25

9,02

264,81

10,88

0,02

0,15

0,74

0,18

258,6

85,32

6,12

18,95

1431

0,36

13,28

526,62

9,87

0,6

0,33

1,15

0,14

75,14

101,52

8,64

19,66

9277

0,17

9,27

118,6

6,14

0,97

0,33

1,19

0,31

123,2

107,34

11,94

16,97

1220

0,23

Nвар

Y

m

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

Альфа

Гамма

1

1

8

N

N+2

N+3

N+4

N+6

N+7

N+8

N+9

0,01

0,9

2

2

8

N

N+1

N+3

N+4

N+5

N+7

N+8

N+9

0,025

0,925

3

3

8

N

N+1

N+2

N+4

N+5

N+6

N+8

N+9

0,05

0,95

4

2

8

N

N+1

N+2

N+3

N+5

N+6

N+7

N+9

0,075

0,975

5

1

8

N

N+1

N+2

N+3

N+4

N+6

N+7

N+8

0,1

0,99

6

2

8

N

N+2

N+3

N+4

N+5

N+7

N+8

N+9

0,01

0,9

7

3

8

N

N+1

N+3

N+4

N+5

N+6

N+8

N+9

0,025