Лекция 21. Продольгый изгиб. Критическая сила, критичес-

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 21 из 21

▷ Похожие статьи

                   кое напряжение.Формулы Эйлера и Ясинского.

                   Расчёты на устойчивость.

Продольным изгибом называется изгиб бруса, вызванный сжимающей нагрузкой. При продольном изгибе брус теряет свою устойчивость. Величина нагрузки, до которой устойчивость бруса сохраняется, а после которой теряется, называется критической силой. Величина критической силы для бруса большой гибкости определяется по формуле Эйлера где

Е – модуль продольной упругости материала бруса;

- минимальный осевой момент инерции поперечного сечения бруса;

𝛍 – коэффициент, зависящий от способов крепления концов бруса; , если один конец бруса жёстко закреплён, а другой свободен; , если оба конца бруса имеют опоры; , если один конец бруса жёстко закреплён, а второй имеет опору; , если оба конца бруса жёстко закреплены (см. рисунок 63).

𝒍 – длина бруса.

𝛍 = 0,7            𝛍 = 1                   𝛍 = 2                      𝛍 = 0,5

Рисунок 63. Значения коэффициента 𝛍 для различных способов

                                       закрепления концов бруса.

Брус считается большой гибкости, если его гибкость больше предельной гибкости.

Гибкость бруса зависит от продольных и поперечных размеров бруса и от способов   

крепления его концов. Она определяется по формуле: 𝛌 = , где

 – минимальный радиус инерции поперечного сечения бруса.

 Предельная гибкость зависит от материала бруса и определяется по формуле:

= 𝛑 , где - предел пропорциональности материала бруса.

В частном случае для стали (Е =200000 Н/ ,  = 200 Н/ )  = 100. Таким

образом, стальной брус считается брусом большой гибкости, если его гибкость боль-               ше, или равна 100, т.е. 𝛌 ≥ 100.

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, называют критическим напряжением. . Определим критическое напряжение, исходя из формулы Эйлера:

Введём подстановку:  - минимальный радиус инерции. Тогда . Разделив числитель и знаменатель на , получим: . Величину, стоящую в скобках в знаменателе стали называть гибкостью стержня и обозначать .

С учётом этого, окончательно, критическое напряжение будет определяться по формуле: . Формула Эйлера справедлива лишь в пределах применимости закона Гука, т. Е. при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня: .

Величину, стоящую в правой части этого неравенства называется предельной гибкостью. В отличии от гибкости стержня, представляющей собой его геометрическую характеристику, предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня и является постоянной для данного материала. Итак .

Сжатые стержни в зависимости от их гибкости подразделяются на три категории:

1.  Стержни большой гибкости – это стержни гибкость которых больше, или равна предельной гибкости: λ =  ≥ где

- гибкость стержня;

- коэффициент, зависящий от способов крепления концов стержня;

l – длина стержня;

- минимальный радиус инерции поперечного сечения бруса;

- предельная гибкость;

 Е – модуль продольной упругости материала бруса;

- предел пропорциональности материала бруса.

 Величина гибкости стержня зависит от его продольных, поперечных размеров, а также от способа крепления его концов.

Величина предельной гибкости зависит от свойств материала стержня. В частности предельная гибкость стали = 100.

Критическое напряжение для стержней большой гибкости определяется по формуле Эйлера:

2. Стержни средней гибкости – это стержни, гибкость которых меньше предельной, но больше нулевой гибкости: > > . Нулевой гибкостью считается гибкость, при которой критическое напряжение соответствует предельному (пределу текучести  для пластичных материалов, пределу прочности при сжатии  для хрупких материалов, условному пределу текучести для хрупко пластичных материалов). В частности, для стали нулевая гибкость . Критическое напряжение для стержней средней гибкости определяется по формуле Ясинского: , где

а, в, с – коэффициенты, зависящие от свойств материала.

3. Стержни малой гибкости – это стержни, гибкость которых меньше, или равна нулевой: . Такие стержни не теряют устойчивости, т.к. их критические напряжения соответствуют предельным напряжениям.

Расчёты на устойчивость.      Устойчивостью называется способность бруса сохранять первоначальную форму равновесия под действием сжимающей нагрузки. Расчёты на устойчивость проводятся на основе условия устойчивости:   или , где

F – сжимающая нагрузка;  - критическое напряжение;

 - допускаемая сжимающая нагрузка;

F_KP – критическая сила;  - допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

- нормальное напряжение сжатия;  - допускаемое нормальное напряжение сжатия;

Расчёты на устойчивость проводятся по двум методикам.

 1. С применением формул Эйлера или Ясинского для определения критических сил и критических напряжений.

 2. По коэффициентам продольного изгиба.

Первая методика предполагает определить первоначально категорию гибкости бруса, а затем по формулам Эйлера (для 1 категории), или Ясинского (для 2 категории) найти критическую силу, или критическое напряжение. Брус считается 1 категории гибкости (большой гибкости), если его гибкость больше предельной гибкости для материала бруса, т. е.:

, где

 - гибкость бруса;

 - коэффициент, зависящий от способа крепления концов бруса (, если один конец бруса жёстко закреплён, а другой свободен; , если оба конца бруса имеют опоры; , если один конец бруса жёстко закреплён, а второй имеет опору; , если оба конца бруса жёстко закреплены).

 - минимальный радиус инерции поперечного сечения бруса ( для круглого поперечного сечения,  для прямоугольного поперечного сечения, для фасонных прокатных профилей величина  выбирается по таблицам сортамента);

 - предельная гибкость. Для стального бруса .

Брус считается 2 категории (средней гибкости), если его гибкость меньше предельной гибкости, но больше нулевой гибкости, т. е.: , где

 - нулевая гибкость для материала бруса. Для стального бруса .

Формулы Эйлера, применяемые для определения критической силы, или критического напряжения: . Формула Ясинского, применяемая для определения критического напряжения: , где а, b,с – коэффициенты, зависящие от материала бруса. Для стального бруса а = 304 Н/мм², b = 1,12 Н/мм², с = 0.

Вторая методика позволяет определять допускаемую нагрузку без учёта категории гибкости бруса. Расчёт на устойчивость сводится к расчёту на прочность при сжатии, но по пониженным допускаемым напряжениям. Коэффициент, понижающий допускаемые напряжения, называется коэффициентом продольного изгиба. Его величина выбирается по специальным таблицам в зависимости от материала бруса и гибкости бруса. Формула для определения допускаемой нагрузки по второй методике имеет вид:

, где

 - допускаемое напряжение сжатия материала бруса;

А – площадь поперечного сечения бруса;

 - коэффициент продольного изгиба.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЁТА.

Определить допускаемую сжимающую нагрузку для бруса (рисунок 64), если его длина м, поперечное сечение двутавр №14, оба конца имеют опоры, допускаемое напряжение сжатия Н/мм², допускаемый коэффициент запаса устойчивости

1. Решаем эту задачу по первой методике, т. е. с применением формул Эйлера, или Ясинского:              

Определяем гибкость бруса: .

 Брус относится к первой категории гибкости. При определении гибкости ,

Рисунок 64. т.к. оба конца бруса имеют опоры; ммпо сортаменту для двутав-

Схема бруса. ра №14 (таблица 23). Критическую силу определим по формуле Эйлера.

H = 105,4кН.

    В этой формуле минимальный осевой момент инерции  взят из сортамента для

двутавра №14 (таблица 23), Н/мм² - модуль продольной упругости стали.

Допускаемую нагрузку определим по формуле: кН.

2. Решаем эту же задачу по второй методике: по гибкости бруса и материалу сталь по таблице 20 определим коэффициент продольного изгиба . При этом воспользуемся методом интерполяции: при гибкости , а при гибкости .

Гибкость увеличилась на 10 единиц, а коэффициент продольного изгиба уменьшился на 0,02, следовательно при увеличении гибкости на одну единицу коэффициент продольного изгиба уменьшится на 0,002 и при . Допускаемая нагрузка для бруса составит: Н = 515,7кН. В этой формуле величину площади поперечного сечения А выберем из сортамента для двутавра №14 (таблица 23). Как видно, результаты, полученные при применении обеих методик, не намного отличаются друг от друга.

Решим эту же задачу, изменив способы крепления концов бруса на жёсткие .

Первая методика:  - брус относится ко второй категории гибкости. Критическую силу определим с применением формулы Ясинского:

Н = 353кН.

Допускаемая нагрузка кН Коэффициенты а, b, c взяты из таблицы 19.

Вторая методика: по таблице 20, применяя метод интерполяции, определим .

Допускаемая нагрузка кН.

Как видно из расчёта, изменив способы крепления концов бруса, можно изменить категорию его гибкости и увеличить его грузоподъёмность.

Таблица 19.           Коэффициенты, входящие в формулу Ясинского [10].

Таблица 20.  Коэффициент продольного изгиба для сжатого бруса [10].

Задача для самостоятельного решения. Для одной из схем, показанной на рисунке 65, по данным таблицы 21 определить допускаемую нагрузку для бруса.

Рисунок 58. Расчётные схемы бруса для задания 4.6

Таблица 22.                        Варианты задания 4.6.

С О Р Т А М Е Н Т

Таблица 23. Сталь горячекатаная, балки двутавровые. ГОСТ 8239-89 [10].

Обозначения: h – высота профиля; b – ширина полки; d – толщина стенки; А – площадь профиля; I – момент инерции; W – момент сопротивления; i – радиус инерции.

Таблица 24.         Сталь прокатная. Швеллеры. ГОСТ 8240-89 [10].

Обозначения: h – высота профиля; b – ширина полки; d – толщина стенки; А – площадь профиля; I – момент инерции; W – момент сопротивления; i – радиус инерции; z₀ – расстояние от центра тяжести до наружной грани стенки.

Таблица 25.      Сталь прокатная угловая равнобокая ГОСТ 8509-93 [10].

Таблица 26.  Международная система единиц измерения СИ.

Величина

Обозначение

Единица

Наименование

Обозначение