Операции над нечеткими числами

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

Целый раздел теории нечетких множеств – мягкие вычисления (нечеткая арифметика) - вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе так называемого сегментного принципа.

Определим уровень принадлежности a как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности a и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам и : [a₁, a₂] и [b₁, b₂], соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами - границами интервалов:

· операция "сложения":

[a₁, a₂] (+) [b₁, b₂] = [a₁ + b₁, a₂ + b₂], (2)

· операция "вычитания":

[a₁, a₂] (-) [b₁, b₂] = [a₁ - b₂, a₂ - b₁], (3)

· операция "умножения":

[a₁, a₂] (´) [b₁, b₂] = [a₁ ´ b₁, a₂ ´ b₂], (4)

· операция "деления":

[a₁, a₂] (/) [b₁, b₂] = [a₁ / b₂, a₂ / b₁], (5)

· операция "возведения в степень":

[a₁, a₂] (^) i = [a₁ⁱ, a₂ⁱ]. (6)

Из существа операций с трапезоидными числами можно сделать ряд важных утверждений (без доказательства):

· действительное число есть частный случай треугольного нечеткого числа;

· сумма треугольных чисел есть треугольное число;

· треугольное (трапезоидное) число, умноженное на действительное число, есть треугольное (трапезоидное) число;

· сумма трапезоидных чисел есть трапезоидное число;

· сумма треугольного и трапезоидного чисел есть трапезоидное число.

Анализируя свойства нелинейных операций с нечеткими числами (например, деления), исследователи приходят к выводу, что форма функций принадлежности результирующих нечетких чисел часто близка к треугольной. Это позволяет аппроксимировать результат, приводя его к треугольному виду. И, если приводимость налицо, тогда операции с треугольными числами сводятся к операциям с абсциссами вершин их функций принадлежности.

То есть, если мы вводим описание треугольного числа набором абсцисс вершин (a, b, c), то можно записать:

(a₁, b₁, c₁) + (a₂, b₂, c₂) º (a₁ + a₂, b₁ + b₂, c₁ + c₂) (7)

Это – самое распространенное правило мягких вычислений.

Примеры задач по нечетким множествам.

Вариант 1

Найдите сумму, разность, произведение, частное двух нечетких треугольных чисел A=(1,4,6), B=(3,6,9).

Вариант 2.

Решить уравнение (А-В)*х³ = С.

А = (4,7,9), В=(2,2,5,8), С=(2,4,7).

Вариант 3.

Найдите сумму, разность, произведение, частное треугольного числа A=(3,6,7) и трапезоидного числа B=(1,3,5,11).

Вариант 4.

Задать нечеткое множество соответствующее терму: «люди среднего возраста» и «не студенты». Построить график этой функции принадлежности.

Вариант 5.

Задать нечеткое множество соответствующее терму: «число очень близкое к 2» и «далекое от 5». Построить график этой функции принадлежности.

Вариант 6.

Решить уравнение (А+В)*х² = С.

А = (1,3,4), В=(2,2,5,8), С=(2,4,7).

Вариант 7.

Задать нечеткое множество соответствующее терму: «заработок близкий к 10 т.р.» и «заработок далекий от прожиточного минимума». Построить график этой функции принадлежности

Вариант 8.

Задать нечеткое множество соответствующее терму: «число достаточно близкое к 4» и «далекое от 10». Построить график этой функции принадлежности.

Метод анализа иерархий

Оценку вариантов решений методом анализа иерархий покажем на иллюстративном примере «Переправа через реку».

1. Требуется определить: оставить на реке паромную переправу или вместо нее построить мост или туннель.

2. Возможные решения оцениваются по трем критериям: экономическому, социальному, и экологическому. Каждый критерий оценивается по критериям низкого уровня.

3. Структурный граф процесса принятия решения с указанием уровня иерархий и оценками + и -, указывающими, способствует или препятствует данный фактор решению задачи, показан на рис.1 Возможные варианты решений определены в постановке задачи.

4. Значения критериев первого уровня показаны в табл. 1.а и 1.б.

Таблица 1.a

Таблица 1.b

Не будем обсуждать, каким образом получены значения «весов» критериев. Будем считать, что ЛПР (лицо, принимающее решения) определили их и ввел в систему поддержки принятия решений в соответствии со своими предпочтениями.

Таблица2.

Таблица 3.

Таблица 4.

Необходимо сопоставить предпочтения ЛПР на последнем уровне.

Обозначим все пути, в частности, дуги l_ij через p(l_ij). Для таблиц типа 10.1.a

p(l_ij) = (1)

для таблицы 1.a m_A (AB1)=1, m_A (AB2)=0.75, m_A (AB3)=0.25. Система поддержки принятия решений находит p(АВ1)=0.5, p(АВ2)=0.36, p(АВ3)=0.13.

Определение веса критерия, когда производится попарное сравнение весов (значимости) различных критериев, так ка это сделано в табл. 1.b, 5, 2. Сложность заключается в несогласованности оценок. Самым точным методом является нахождение главного собственного вектора матрицы, который после нормализации становится вектором приоритетов. Рассмотрим более простой метод. Представим количественные сравнения пар объектов матрицей А=(а_ij), (i,j =1,2,…..,n), где а_ij показывает оценку отношения между i-м и j-м объектами. Элементы матрицы обладают следующими свойствами: если а_ij=b, то а_ji=1/b, a_ii=1. Суммируем элементы каждой строки и нормализуем делением каждой суммы на сумму элементов. Сумма полученных результатов будет равна 1. Первый элемент результирующего вектора будет весом приоритета первого объекта, второй – второго и т.д. Так как это показано в таблице 6, при использовании табл. 1.b и значений лингвистических переменных табл.7.

Рис. 1

Таблица 5.

Таблица 6.

Таблица 7.

p(АВ1)=0.53, p(АВ2)=0.31, p(АВ3)=0.15.

Аналогично СППР находит веса приоритетов второго уровня. p(В1С1)=0.38, p(В1С2)=0.38, p(B1C3)=0.19; p(В1C4)=0.5,

p(B2C5)=0.61, p(В2C6)=0.19, p(В2C7)=0.20, p(В3C8)=0.8,

p(В3C9)=0.2.

Таблица 8.

Таблица 9.

Таблица 10.

Таблица 11.

Таблица 12.

Веса приоритетов второго уровня в графе являются уточнением влияния соответствующих факторов на принятие решения. Но они представляют интерес только с учетом весов первого уровня. Для нахождения весов путей, состоящих из дуг превого и второго уровней надо умножить вес дуги первого уровня на веса примыкающих к ней дуг второго уровня. Т.о. вес пути из дуг первого и второго уровней:

p(l_1i, l_ij) = p(l_1i) ´ p(l_ij),

где l_{1i –} дуга первого уровня, l_ij – дуга второго уровня (i=1,….,n), (j=1,…..,m).

Аналогично рассчитываются веса дуг следующих уровней.

p(AB1C1)= p(AB1)´ p(B1C1) = 0.53´0.38=0.20

p(AB1C2)= p(AB1)´ p(B1C2) = 0.53´0.38=0.20

p(AB1C3)= p(AB1)´ p(B1C3) = 0.53´0.19=0.10

p(AB1C4)= p(AB1)´ p(B1C4) = 0.53´0.05=0.03

p(AB2C5)= p(AB2)´ p(B2C5) = 0.31´0.61=0.19

p(AB2C6)= p(AB2)´ p(B2C6) = 0.31´0.19=0.06

p(AB2C7)= p(AB2)´ p(B2C7) = 0.31´0.21=0.07

p(AB3C8)= p(AB3)´ p(B3C8) = 0.15´0.8=0.12

p(AB3C9)= p(AB3)´ p(B3C9) = 0.15´0.2=0.03

Оценка решений есть результат умножения матрицы весов дуг последнего уровня на вектор весов приоритетов вершин предпоследнего уровня графа.

= ,

где p(l_ij) – вес дуги, связывающей вершину i с вершиной последующего уровня j, p(l_1r, l_rj) –вес дуги, оканчивающейся в j-ой вершине предпоследнего уровня графа, фактически вес пути в графе, начинающийся с исходной вершины и кончающийся в j-ой вершине предпоследнего уровня. c(Dp) – вес p-ой конечной вершины (p-го варианта решения).

Если эксперту удалось свести задачу выбора лучшего решения к иерархической, то можно использовать описанный метод.

3.7 Задания для самостоятельного решения

Вариант 1

Отдел кадров сузил поиск будущего сотрудника до трех кандидатур: Сергей (S), Женя (J) и Михаил (M). Конечный отбор основан на трех критериях: собеседование (С), опыт работы (О) и рекомендации (Р). Отдел кадров использует матрицу А (приведенную ниже для сравнения трех критериев. После проведен собеседования с тремя претендентами, сбор данных относящихся к опыту их работы и рекомендациям. Построены матрицы А_с, А_о и А_р. Кого из трех кандидатов следует принять на работу? Оценить согласованность данных.

Вариант 2

Костя и Динара Печкины (К и Д) покупают новый дом. Рассматриваются три варианта А, В, С. Печкины согласовали два критерия для выбора дома: площадь зеленой лужайки (Л) и близость к месту работы (Б), а также разработали матрицы сравнений, приведенные ниже. Необходимо оценить три дома в порядке их приоритета и вычислить коэффициент согласованности каждой матрицы.

Вариант 3

Найти веса распределения энергии для нескольких крупных потребителей в соответствии с их общим вкладом в различные цели общества.

Есть три крупных потребителя США: Бытовое потребление (С1), Транспорт (С2) и промышленность (С3). Они составляют низший уровень иерархии. Целями, по отношению к которым оцениваются потребителя, являются: вклад в развитие экономики, вклад в качество окружающей среды и вклад в национальную безопасность. Они составляют торой уровень. Матрицы попарных сравнений приведены ниже.

Вариант 4

На первом уровне иерархии: Общий вклад в развитие

На втором уровне – Железо (Ж), медь (М), фосфаты (Ф).

На третьем уровне: Величина ресурса (ВР), Стоимость добычи (СД), Риск (Р).

Определить веса элементов третьего уровня.

Вариант 5

На первом уровне иерархии: Влияние в мире

На втором уровне – Людские ресурсы (ЛР), Благосостояние (Б), Технология (Т), Военная мощь (ВМ).

На третьем уровне: США, СССР, Китай.

Вариант 6

Аттестация преподавателей в высшей школе.

Первый уровень – Аттестация.

Второй уровень – Исследовательская работа (ИР), Преподавание (П).

Третий уровень (Исследовательская работа) – Качество (К), Разнообразие (Р), Количество научных трудов (НТ), важность работы (ВР). Третий уровень (Преподавание) – Доходчивость (Д), Требовательность (Т), Правдивость (ПР).

Вариант 7

Переправа через реку

Первый уровень – Выгоды переправы через реку.

Второй уровень – Экономические (Э), Социальные (С), Окружающая среда (ОС).

Третьий уровень – относятся к экономическим: Время (В), Доход (Д), Торговля (Т).

К социальным: Безопасность (Б), Связи (СВ). К окружающей среде – комфорт (КО), Доступность (ДС).

Четвертый уровень – Мост (М), Туннель (ТУ), существующий паром (П).

Вариант 8

Переправа через реку (2-я часть)

Первый уровень - издержки пересечения реки.

Второй уровень - Экономические (Э), Социальные (С), Окружающая среда (ОС).

Третий уровень - относятся к экономическим: Капиталовложения (К), Эксплуатация и текущий ремонт (ЭТР), Прекращение паромного бизнеса (ППБ).

К социальным: Изменение стиля жизни (ИСЖ), Раскол людей (РЛ). К окружающей среде – Загазованность (З), Загрязнение воды (ЗВ).

Вариант 9

Первый уровень - Качество жизни городского населения.

Второй уровень – Уровень жизни (УР), Условия жизни (УС).

Третий уровень – К уровню жизни относятся: Доходы населения (Дх), Социальное обеспечение (СО), Жилищные условия (Жу), Образование (Об), Здравоохранение (Зд); к Условиям жизни: Здравоохранение (Зд), Санитарные условия (Су), Условия для проведения досуга (Уд), Состояние транспорта (Тр), Экология (Эк), Психологическое состояние населения (Пх).

Вариант 10

На первом уровне – благосостояние страны.

Второй уровень – Сильная экономика (Э), Благосостояние (Б), Национальная оборона (НО).

Третий уровень – Тяжелая промышленность (ТП), Легкая промышленность (ЛП), Сельское хозяйство (СХ).

Определить веса отраслей промышленности по влиянии. На благосостояние этой страны.

4. Оптимальный объем заказа

Основной вопрос управления запасами заключается в определении товарного запаса на складе, чтобы минимизировать издержки по управлению запасами и обеспечить достойный уровень обслуживания клиента? Он разделяется на две части:

Как сделать издержки управления запасами минимальными при заданном (постоянном или непостоянном, но известном) спросе?

Как оценить риск возникновения дефицита на складе с учетом случайных вариаций реального спроса? Сколько нужно платить за содержание необходимого резервного запаса для того, чтобы снизить риск возникновения дефицита до приемлемого уровня и обеспечить достойный уровень обслуживания клиентов?

Основная идея теории оптимального управления запасами состоит в том, чтобы разделить издержки на переменные и постоянные. Оказывается, что эти две группы издержек по-разному зависят от размера заказа и уровня запаса товара на складе.

Переменные издержки- издержки хранения. Данные издержки должны быть прямо пропорциональны количеству единиц хранимых запасов и стоимости единицы запаса. Основную часть этих издержек составляют упущенные возможности при альтернативном использовании капитала, «замороженного» в запасах. Каждая область бизнеса характеризуется своей требуемой нормой доходности. Капитал, вложенный в этот бизнес, в среднем (по стране, региону, городу) должен давать определенный процент дохода ежегодно. Капитал, вложенный в запасы, такого процента не дает. Следовательно, неполученный процент – это издержка хранения. Если товар приобретен в кредит, то за этот кредит нужно платить проценты, что опять-таки составляет издержки хранения. При цивилизованном ведении бизнеса, товар должен быть застрахован и подлежит налогообложению. Страховка и налог на запас также составляет определенный процент от стоимости товара и также входит в издержки хранения. Перечисленные издержки строго пропорциональны стоимости запасов. Поэтому их удобно задавать в расчете на единицу запаса в год.

Постоянные издержки - издержки по запуску новой партии продукции - (производство) или затраты на формирование и оформление заказа - (торговля). Эти издержки не зависят от величины предполагаемой партии продукции (заказа).

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?