Динамика вращательного движения твердого тела.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

1. Момент силы.

Вращающее действие силы определяется ее моментом. Моментом силы относительно какой-либо точки называется векторное произведение

, (40)

- радиус-вектор, проведенный из точки в точку приложения силы (рис.5). Единица измерения момента силы .

Величина вектора ,

,

где -угол между векторами и . Величина называется плечом силы. Плечо силы – это кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы. Момент силы определяется как произведение силы на плечо,

. (41)

Рисунок 5- К определению понятия момента силы относительно точки.

Момент силы относительно какой-либо точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку.

Проекция вектора на какую-либо ось, например, ось z, называется моментом силы относительно этой оси. Чтобы определить момент силы относительно оси, сначала проецируют силу на плоскость, перпендикулярную оси (рис.6), а затем находят момент этой проекции относительно точки пересечения оси с перпендикулярной ей плоскостью. Если линия действия силы параллельна оси, или пересекает ее, то момент силы относительно этой оси равен нулю.

Рисунок 6 - К определению понятия момента силы относительно оси.

Момент инерции тела.

Моментом инерции материальной точкимассой относительно какой-либо оси z называется произведение массы точки на квадрат кратчайшего расстояния от этой точки до оси,

.

Соответственно, для системы материальных точек,

, (42)

- масса -той точки, - кратчайшее расстояние от -той точки до оси z.

Для сплошных тел момент инерции определяется через интеграл

, (43)

- расстояние от элемента массы тела до оси z.

Единица измерения момента инерции – [ J ] =кг·м².

Моменты инерции однородных тел простой геометрической формы обычно рассчитывают по формуле (43), а сложной определяют экспериментально. В таблице 1 приведены моменты инерции некоторых тел.

Таблица 1. Моменты инерции некоторых тел.

Теорема Штейнера. Если для какого-либо тела известен его момент инерции относительно оси , проходящей через центр масс тела, то момент инерции этого тела относительно оси , параллельной , равен

, (44)

- масса тела, - кратчайшее расстояние между осями и .

Основной закон динамики вращательного движения.

Для тела, вращающегося вокруг оси z,

, (45)

- момент инерции тела относительно оси вращения z, - угловое ускорение тела, - сумма моментов сил, приложенных к телу, и рассчитанных относительно оси вращения, - индекс суммирования. Уравнение (45) представляет собой основной закон динамики вращательного движения.

Условия равновесия тел.

Из 2-го закона Ньютона и основного уравнения динамики вращательного движения следуют условия равновесия тел: для покоящегося тела

1) сумма действующих на тело сил должна быть равной нулю,

,

или, если использовать проекции сил, то

и ; (46)

2) сумма моментов сил относительно любой точки тела должна быть равна нулю

. (47)

4. Момент импульса .

Моментом импульсаматериальной точки массой , движущейся со скоростью , относительно какой-либо точки отсчета , называют векторное произведение

,

- радиус-вектор материальной точки (рис.7), - ее импульс.

Рисунок 7- К определению момента импульса материальной точки.

Величина момента импульса материальной точки

Для материальной точки и поступательно движущегося тела кинетическая энергия равна

, (60)

для вращающегося телаона представляет собой сумму кинетических энергий отдельных точек тела

.

В итоге, для вращающегося тела,

. (61)

- момент инерции тела относительно оси вращения, - его угловая скорость.

Потенциальной энергией обладают тела, находящиеся под действием консервативных сил. Если тело перемещается консервативными силами из точки 1 в точку 2, то изменение потенциальной энергии тела определяется как работа этих сил

. (62)

Из (62) можно найти только изменение потенциальной энергии, ее величина может быть определена лишь с точностью до постоянного слагаемого. Поэтому начало отсчета потенциальной энергии может быть выбрано произвольно.

Консервативная сила по величине равна скорости изменения потенциальной энергии в направлении действия силы,

. (63)

Знак минус в уравнении (63) отражает тот факт, что консервативная сила всегда направлена в сторону убыли потенциальной энергии.

Если тело находится под действием силы тяжести, его потенциальная энергия

, (64)

- высота расположения тела над уровнем отсчета.

Если на тело действует сила упругости, его потенциальная энергия

, (65)

- величина деформации пружины.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов