Основні поняття варіаційного числення. Функціонал і варіація. Типи задач варіаційного числення. Абсолютний і умовний екстремум. Екстремум функції і екстремум функціоналу

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 7Следующая ⇒

Конспект лекцій з курсу

„Варіаційні основи

будівельної механіки”

Київ-2011

ЗМІСТ

Лекція 1. (2 пари)

Приклад 1

Знайти екстремум функціонала довжини дуги , ,

Рис. 2.2

Тобто екстремалями є прямі лінії, які визначають найкоротшу відстань між точками і .

Приклад 2

Знайти екстремум функціонала

.

Граничні умови

Рівняння Ейлера

Рис. 2.3

Реалізація граничних умов дає розвязок:

Таким чином екстремум функціоналу досягається на прямій . Причому на всьому відрізку [0,1].

Приклад 3

Задача про брахістохрону: визначити криву, що з’єднує задані точки А і В, по якій матеріальна точка переміститься із А у В за найкоротший час (тертям і опором середовища нехтуємо).

Розмістимо початок координат в точці А, вісь спрямуємо горизонтально, вісь − вертикально донизу. Швидкість руху матеріальної точки . Час, що витрачається на переміщення точки з положення в положення , визначається за формулою

, , .

Оскільки цей функціонал належить до найпростішого виду і його підінтегральна функція не містить явно , то рівняння Ейлера має перший інтеграл , або в даному випадку

.

Після спрощень матимемо або . Введемо параметр , вважаючи , і дістанемо

;

;

.

Отже, в параметричній формі рівняння шуканої лінії має вигляд

, .

Змінюючи параметр за допомогою підстановки і враховуючи, що , оскільки при маємо , дістанемо рівняння сімейства циклоїд у звичайній формі:

, ,

де − радіус круга, що котиться. Радіус визначається з умови проходження циклоїди через точку . Отже, брахістохроною є циклоїда.

Функціонали, які залежать від другої похідної. Рівняння Ейлера-Пуассона [6]

Функціонал

.

Варіаційне рівняння для цього функціонала має вигляд:

,

або

.

З урахуванням позначень частинних похідних

отримаємо

.

До другого і третього членів цього рівняння застосуємо процедуру перетворення по частинах

,

,

, , .

Аналогічно

Підсумовуючи підкреслені члени отримаємо:

.

Згідно з лемою Лежандра отримаємо

– рівняння Ейлера-Пуассона для функціоналу, який залежить від другої похідної.

Граничні умови

, ,

, .

По аналогії запишемо рівняння Ейлера-Пуассона для функціоналу, який залежить від n-ї похідної

.

Рівняння Ейлера-Пуассона мають порядок 2 ⁿ.

.

Граничні умови

,

Приклад 4

.

Граничні умови

,	,
,	.

Рівняння Ейлера-Пуассона

,

Диференціальне рівняння Ейлера є рівняння 4 порядку.

Загальний розв’язок:

,

.

Реалізуємо граничні умови

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Екстремаль . Тобто функціонал досягає екстремуму на прямій . Причому , а на всьому відрізку [0,1] (див. рис.).

Рис. 2.4

Приклад 5 Граничні умови	Рис. 2.5
Тоді . Екстремаль . Причому , на всьому відрізку [0,1].

Приклад 6

Граничні умови	Рис. 2.6
Тоді , . Екстремаль , , , Точка перетину ; , ; (див. рис.).
Приклад 7 Граничні умови	Рис. 2.7
Тоді . Екстремаль , (екстремум), (точка перетину). Точка перетину ; ; (див. рис.).
Приклад 8 Граничні умови Рис. 2.8 Тоді . Екстремаль , . Екстремум при . Приклад 9 Граничні умови Рис. 2.9 Тоді . Екстремаль ; . ; Екстремум при . Точка перетину ; ; (див. рис.).

Надалі буде показано, що вихідний функціонал =0 являє собою функціонал Лагранжа для балки з відповідними кінематичними граничними умовами (приклади 4–9) і реалізація принципу Лагранжа призводить до відповідного рівняння Ейлера, розв’язок якого визначає лінію прогину балки.

Лекція 3

Основні залежності механіки стержнів.Рівняння статичної, геометричної і фізичної сторін задачі для стержня

1. Статична сторона задачі. Рівняння рівноваги

Розглянемо нескінченно малий елемент стержня.

Рис. 3.1

Інтегральні характеристики

, , .

Приріст кожного із зусиль визначається так:

.

Отримаємо рівняння рівноваги у вигляді:

1.

2.

3.

2. Геометрична сторона задачі. Зв'язок між деформаціями і переміщеннями

Рис. 3.2

Деформація - кривизна

береться «мінус»

.

Приклад

Рис. 3.3

Насправді, при так званих “великих переміщеннях (див. рис. 3.3) мають місце не тільки вертикальні, а і горизонтальні переміщення точок стержня. Але в елементарній лінійній теорії згину вважається, що і цей ефект не враховується.

3. Фізична сторона задачі. Закон Гука

, ,

де G – модуль зсуву, Е – модуль пружності (модуль Юнга).

(наприклад, для металу Е =2 10⁵ Мпа),

де µ- коефіцієнт Пуассона (залежність між поперечними і повздовжніми деформаціями), µ=0…0,5.

Найпростіший напружений стан – розтяг-стиснення (див. рис. 3.4)

Рис. 3.4

1) 2) 3) закон Гука*

Розрахував коефіцієнт k Томас Юнг в 1807 р.

.

Кулон у 1784 році отримав при скрученні стержня залежність

.

А.Навьє в 1826 році ввів поняття напруження і отримав

,

тобто через 150 років після оприлюднення закону Гука.

Далі Коші ввів поняття про головні напруження

,

а Пуассон ввів коефіцієнт .

Тобто, до фундаментальних понять про напруження і деформації людство йшло майже два століття, хоч впритул до цього наблизився Юнг і навіть близько був ще Галілей.

,

,

.

* Цікавою є історія становлення закону Гука. Знаний англійський учений Роберт Гук в 1660 р. сформулював, а в 1676 р. оприлюднив, і то у вигляді анаграми, таке: «яка деформація, таке і навантаження» (навіть не навпаки). Майже одночсасно з Гуком (1680 р.) і незалежно від нього цей закон сформулював француз Маріотт: «навіть найбільш тверді тіла – скло і залізо – деформуються пропорційно навантаженню». Тобто, , де P – навантаження, f – деформація стержня, k – коефіцієнт пропорційності. Розшифрування коефіцієнта k стало можливим через 130 років, коли англієць Томас Юнг у 1807 р. ввів поняття про модуль пружності Е, названий його ім’ям. Тепер можна було записати , де l – довжина стержня, F – площа поперечного перерізу, Е – модуль Юнга, Р – навантаження (сила). Юнг же і визначив значення Е для сталей, як 2·10⁵ МПа. У 1784 р. французький фізик Кулон сформулював закон Гука при скрученні стержня . У 1826 р. французький інженер (потім академік) А.Нав’є видав перший підручник з опору матеріалів, в якому ввів поняття про напруження (як силу, що діє на одиницю площі перерізу) і записав (через 150 років після оприлюднення закону Гука), а також отримав відому формулу для нормальних напружень при згині стержня . Згодом Нав’є ввів поняття про допустимі напруження, умову міцності, О.Коші – поняття про головні напруження і головні деформації, Пуассон ввів свій «коефіцієнт Пуассона». Таким чином, загальними зусиллями в основному цих трьох видатних французів закон Гука постав у закінченому вигляді «узагальненого закону Гука». Тобто, до фундаментальних понять про напруження і деформації людство йшло майже два століття, хоч до них впритул наблизився Юнг і, навіть, близько був ще Галілей (1564-1642).

Деформація .

Постановка крайової задачі механіки стержнів у зусиллях і переміщеннях.

Розглянемо балку.

- рівняння сумісності деформацій, . - рівняння рівноваги.

(*)

Граничні умови

Рис. 3.5

Будемо умовно вважати, що індексами «1» позначені точки, у яких задані силові характеристики ,

а індексами «2», відповідно, точки, у я ких задані кінематичні характеристики

.

Рівняння (_*) можна звести до одного рівняння і отримати постановку крайової задачі механіки стержнів у переміщеннях

.

При цьому

, .

Тоді граничні умови

, , .

Лекція 4

Лекція 5

Лекція 7

Приклад 2

Для форми це відома властивість дотичної до параболи. Для форми маємо і .

Доведення. З теореми Ейлера про однорідні функції

.

Отже, , щ.м.б.д.

Випадок багатьох змінних. Нехай тепер опукла функція векторного змінного (тобто квадратична форма позитивно визначена). Тоді перетворення Лежандра називається функція векторного змінного , що визначена аналогічними попередніми рівностями

,

.

Усі попередні міркування, в тому числі нерівність Юнга, без змін переносяться на цей випадок.

Отже, функції і , які пов’язані між собою перетворенням Лежандра є двоїстими за Юнгом.

Аналогічні висновки можна зробити і при нелінійній залежності .

Рис. 7.5 Рис. 7.6

, де – двоїсті за Юнгом функції.

Приклад 3

Робота зовнішніх сил

При цьому

Основна інтегральна формула (формула Гріна):

Тоді отримаємо

відомий вираз для теореми Клапейрона.

При (див. рис.)

При

Функції потенціальної енергії пружної деформації і додаткової енергії є двоїстими за Юнгом і пов’язані між собою перетворенням Лежандра. Умови екстремуму дають відповідно теореми:

Теорема Лагранжа	Теорема Кастільяно
Перша похідна від потенціальної енергії пружної деформації по узагальненому переміщення дорівнює відповідній узагальненій силі:	Перша похідна від додаткової потенціальної енергії по узагальненій силі дорівнює відповідному узагальненому переміщенню:

Другі похідні від потенціальної енергії пружної деформації по переміщенню і від додаткової потенціальної енергії по відповідній дорівнюють відповідно коефіцієнтам матриці жорсткості та матриці піддатливості.

Теорема Донкіна

Нехай задана деяка функція , гесіан якої відмінний від нуля:

(1)

і нехай існує перетворення змінних, викликане функцією :

. (2)

Тоді існує перетворення, зворотне до перетворення (2), яке теж породжено деякою функцією :

(3)

при цьому функція Y, що породжує функцію зворотного перетворення, пов’язана з функцією Х, що породжує пряме перетворення, формулою:

. (4)

Якщо функція включає параметри , тобто то Y теж включає ці параметри, тобто і

. (5)

Доведення. Гесіан функції X співпадає з якобіаном правих частин у рівнянні (2). Тому умова (1) показує, що з рівняння (2) показати змінні через :

.

Нехай функція виражена формулою (4), в якій змінні замінені виразами (15). Тоді

.

Але згідно рівняння (2), два доданки, які знаходяться в правій частині цього рівняння, взаємознищуються і отже має місце формула (3).

Нехай тепер X включає окрім змінних ще і параметри . Тоді ці параметри є в прямому перетворенні(2), а значить і в зворотному:

.

Функція Y визначається рівністю (13), де замінені на , тому

.

Теорема Донкіна доведена.

Приклад 4

Центральний розтяг стержня силою Р.

Рис. 7.8

При деформації і, відповідно, ,

можна отримати рівняння рівноваги і сумісності деформацій .

Теорема Донкіна

Якщо дві двоїстості за Юнгом функції напружень і залежать від одного і того ж параметра або групи параметрів, який не є активними, тобто не приймають участі у перетворенні Лежандра (), то має місце залежність:

У загальному випадку теореми Лагранжа і Кастільяно дають:

В будівельній механіці функції потенціальної енергії пружної деформації і додатковою потенціальної енергії є позитивно визначеними квадратичними формами. Вони є двоїстими за Юнгом функціями і пов’язані між собою перетворенням Лежандра. Перетворення Лежандра є частинним випадком нерівності Юнга-Фенхеля і за фізичним змістом являє собою рівність робіт внутрішніх і зовнішніх сил, тобто відповідає теоремі Клапейрона. Екстремуми двоїстих функцій пружної деформації і додаткової енергії дають теореми Лагранжа і Кастільяно, та призводять до систем лінійних алгебраїчних рівнянь матриці яких (матриці жорсткості і матриці піддатливості) є відповідно матрицями Гессе або матрицями других похідних відповідно від потенціальної енергії пружної деформації (матриця жорсткості) і додаткової потенціальної енергії (матриця піддатливості). Вони (матриці) є позитивно визначеними і задовольняють критеріям Сильвестра, тобто усі їх головні мінори є позитивно визначені. Вони є взаємно оберненими.

Лекція 8

Перетворення Лежандра

Рис. 8.9

Принцип Лагранжа-Дирихле

Для консервативної системи стійка, нестійка, байдужа рівновага мають місце відповідно:

		min max const

Теорема Клапейрона

Відповідні екстремальні значення функціоналів Лагранжа і Кастільяно співпадають.

Варіаційні рівняння функціоналів Лагранжа і Кастільяно утворюють так звану пару двоїстих задач варіаційного числення, коли попередні умови однієї задачі є природними умовами іншої і навпаки. Під природними умовами розуміються умови, яким задовольняють відповідні варіаційні рівняння.

За допомогою методу множників Лагранжа можна “поміняти місцями” додаткові і природні умови, тобто із функціонала Лагранжа отримати функціонал Кастільяно і навпаки. Таке перетворення у варіаційному численні має назву перетворення Фрідріхса. Зазначимо, що екстремальні значення функціоналів Лагранжа і Кастільяно, а також усіх функціоналів, які отримані за допомогою множників Лагранжа співпадають.

Лекція 9

Лекція 10

Приклад

Задаємо w у вигляді ряду:

,

де - відомі функції, які задовольняють граничним умовам:

Запишемо їх у вигляді таблиці:

		6 х

Обчислимо відповідні коефіцієнти матриці алгебраїчних рівнянь (матриці жорстк

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США