Проверка адекватности математической модели

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Можно проверить адекватность модели только для ненасыщенных планов, т. е. таких, для которых выполняется условие

р < N, (4.7)

где р – число значимых коэффициентов уравнения регрессии.

Дисперсия адекватности определяется по формуле

, (4.8)

, (4.9)

где n – число дублированных опытов;

- среднее значение выходной величины в j-ом опыте;

- значение выходной величины, рассчитанное по уравнению регрессии для j-ого опыта;

f_α∂ - число степеней свободы дисперсии адекватности.

Проверим однородность дисперсии адекватности S_α∂² и дисперсии воспроизводимости S_y², воспользуемся для этого критерием Фишера:

F_p = S_α∂²/S_y², (4.10)

F_т (q = 0.05, f_α∂, f_y). (4.11)

Если выполняется условие F_p ≤ F_т, (4.12)

дисперсии S_α∂² и S_y² однородны, математическая модель адекватна, т.е. предсказывает значение выходной величины с той же точностью, что и результаты эксперимента.

Вычислим по уравнению регрессии значения выходной величины для каждого опыта, занесем их в таблицу 4.1.

У = = 12,99+5,17X₁ +1,39X₁X₂

Таблица 4.1

	X1	X2
	+	+	16,67	19,55
	-	+	6,525	6,43
	+	-	16,67	16,77
	-	-	9,12	9,21

=12,99+5,17+1,39=19,55

=12,99-5,17-1,39=6,43

=12,99+5,17-1,39=16,77

=12,99-5,17+1,39=9,21

Проверка эффективности математической модели

Для проверки эффективности, т.е. информационной ценности модели вычисляют дисперсию относительно среднего значения S_c², остаточную дисперсию S_ост² и коэффициент информационной ценности

F_и = S_c²/S_ост². (4.13)

Модель имеет информационную ценность, т.е. эффективна, если

F_и > 3. (4.14)

Дисперсия относительно среднего значения отклика

, (4.15)

где У_ij – значение выходной величины в i-ом дублированном опыте j-го

опыта;

- среднее значение выходной величины по всем N сериям опытов.

Опыт1. 7,19;7,19;8,51;8,63;9,22;9,22;9,23;9,85;9,85;11,26;11,26;12,50

Опыт2. 4,89;5,47;6,20;6,20;6,25;6,29;6,80;6,89;6,94;7,63;8,21;9,59

Опыт3. 9,15;14,78;15,10;16,20;16,31;16,78;16,90;17,02;18,05;18,75.

Опыт4. 10,79;13,38;13,67;17,39;18,44;23,08;23,24;23,27;23,94;24,47;28,27;37,50

b=12,99

S_c²=(7,19-12,99)²+(7,19-12,99)²+(8,51-12,99)²+(8,63-12,99)²+(9,22-12,99)²+(9,22-12,99)²+(9,23-12,99)²+(9,85-12,99)²+(9,85-12,99)²+(11,26-12,99)²+(11,26-12,99)²+(4,89-12,99)²+(5,47-12,99)²+(6,20-12,99)²+(6,20-12,99)²+(6,25-12,99)²+(6,29-12,99)²+(6,80-12,99)²+(6,89-12,99)²+(6,94-12,99)²+(7,63-12,99)²+(8,21-12,99)²+(14,76-12,99)²+(15,10-12,99)²+(16,20-12,99)²+(16,3-12,99)²+(16,78-12,99)²+(16,78-12,99)²+(16,78-12,99)²+(16,90-12,99)²+(17,02-12,99)²+(18,05-12,99)²+(18,75-12,99)²+(10,79-12,99)²+(13,38-12,99)²+(13,67-12,99)²+(17,39-12,99)²+(18,44-12,99)²+(23,08-12,99)²+(23,24-12,99)²+(23,27-12,99)²+(23,94-12,99)²+(24,47-12,99)²+(28,27-12,99)²/43=38,457

Остаточная дисперсия

. (4.16)

1)19,55

2)6,43

3)16,27

4)9,21

S_ост²=(7,19-19,55)²+(7,19-19,55)²+(8,51-19,55)²+(8,63-19,55)²+(9,22-19,55)²+(9,22-19,55)²+(9,23-19,55)²+(9,85-19,55)²+(9,85-19,55)²+(11,26-19,55)²+(11,26-19,55)²+(4,89-6,43)²+(5,47-6,43)²+(6,20-6,43)²+(6,20-6,43)²+(6,25-6,43)²+(6,29-6,43)²+(6,80-6,43)²+(6,89-6,43)²+(6,94-6,43)²+(7,63-6,43)²+(8,21-6,43)²+(14,76-16,77)²+(15,10-16,77)²+(16,20-16,77)²+(16,31-16,77)²+(16,78-16,77)²+(16,78-16,77)²+(16,78-16,77)²+(16,90-16,77)²+(17,02-16,77)²+(18,05-16,77)²+(18,75-16,77)²+(10,79-9,21)²+(13,38-9,21)²+(13,67-9,21)²+(17,39-9,21)²+(18,44-9,21)²+(23,08-9,21)²+(23,24-9,21)²+(23,27+9,21)²+(23,94-9,21)²+(24,47-9,21)²+(28,27-9,21)²/41=68,446

F_и =38,457/68,446=0,562

0,562 <3.

Математическая модель не имеет информационной ценности,т.е. не эффективна.

4.3.3. Проверим, на сколько различаются значения выходной величины, рассчитанные по уравнению регрессии, и результаты эксперимента

1.(19,67-19,55)/19,67*100%= 0,6%

2.(6,525-6,43)/6,525*100%= 1,5%

3.(16,67-16,77)/16,67*100%= -0,6%

4.(9,12-9,21)/9,12*100%= -0,98%

Результаты отличаются не больше чем на 1,5%

5. Перевод уравнения регрессии из кодированных обозначений факторов в натуральные

Заменим кодированные обозначения факторов Х_i на натуральные х_i

X_i = (x_i – x_i⁰)/Δ_i, (5.1)

где x_i⁰ – значение i-го фактора на нулевом уровне;

Δ_i – интервал варьирования i-го фактора.

Х₁ = (Р - 60)/20, Х₂ = (τ – 0.75)/0.25;

У = 12,99+5,17X₁ +1,39X₁X₂

У = 12,99+5,17(Р - 60)/20 +1/39((τ – 0.75)/0.25= 9,99+0,05Р-16,68τ +0,278Рτ

У= 9,99+0,05Р-16,68τ +0,278Рτ

Проверим правильность перевода уравнения в натуральные обозначения факторов.

Таблица 5.1

N	P	τ
			19,549
			6,43
		0.5	16,78
		0.5	9,21

=9,99+0,05*80-16,68*1+0,278*80*1=19,549

=9,99+0,05*40-16,68*1+0,278*40*1=6,43

=9,99+0,05*80-16,68*0,5+0,278*80*0,5=16,77

=9,99+0,05*40-16,68*0,5+0,278*40*0,5=9,21

Уравнение правильно переведено из кодированных в натуральные обозначения.

6. Построение графиков зависимости выходной величины от

управляемых факторов

Графики строим по уравнению регрессии в кодированных обозначениях факторов.

У = 12,99+5,17X₁ +1,39X₁X₂

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры