Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского треугольника.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 12Следующая ⇒

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

-мерное евклидово пространство обозначается также часто используется обозначение

Неравенство Коши — Буняковского — Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство Это неравенство действительно выполняются в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши — Буняковского — Шварца. Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника: Неравенство треугольника, вместе с перечисенными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) и координатного пространства задаётся формулой

Ортонормированная система векторов евклидового пространства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами и в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, -мерное евклидово пространство изоморфно со стандартным скалярным произведением).

49. Линейный оператор и его матрица. Линейное преобразование в координатах.

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n и пусть e₁, e₂,..., e_n - базис в X. Обозначим через A e₁ = (a₁₁,...,a_n1),..., A e_n = (a_1n,...,a_nn) образы базисных векторов e₁, e₂,..., e_n.

Матрица

Столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны, описывают действие оператора, заданного матрицей A.

Линейное преобразование в координатах

Рассмотрим линейное преобразование -мерного линейного пространства, заданное в некотором базисе Матрицей (10.2) Координаты вектора И его образа Известны: (10.3) Зависимость между координатами векторов х и у выражается формулами (10.4) Формулы (10.4) можно записать в матричном виде где Определяется формулой (10.2), а -формулами (10.5) Если переменные Связаны с переменными Форму Лами (10.4), то будем говорить, что задано линейное однородное преобразование переменных с матрицей , переводящее переменные В переменные . Оно обладает теми же свойствами, что и линейное преобразование -мерного линейного пространства. Линейное однородное преобразование переменных (10.4) или (10.5) называется невырожденным, если Замечание. При рассмотрении линейных преобразований (линейных операторов) пользуются и другими обозначениями. Если Где Линейное преобразование (линейный оператор) с матрицей А в некотором базисе, то пишут Условия 1) и 2), определяющие линейное преобразование, мож Но записать в виде

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США