Применение в теории вероятностей

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

В элементарной теории вероятностей, где рассматриваются случайные величины , которые могут принимать только конечное множество значений , среднее значение или математическое ожидание определяется формулой:

(1)

Имея эту формулу, мы можем при помощи интеграла Стилтьеса распространить определение среднего значения на случайные величины , которые могут принимать любое множество значений, заключенное в каком-нибудь ограниченном интервале , - если только мы примем следующую аксиому:

Каковы бы ни были функции и случайной величины , для которых всегда , для них будут иметь место также и неравенства:

(2)

Чтобы распространить определения среднего значения, возьмем какое-нибудь подразделение

и пусть и , когда Здесь , и поэтому в силу условия (2):

Величины же и , таким образом определенные, могут принимать соответственно только значения и , а потому по формуле (1):

С другой стороны, очевидно, что вероятности и обе равны вероятности , и потому

Итак, если ввести функции распределения случайной величины :

Верхняя грань сумм в левой части и нижняя грань сумм в правой части этих неравенств обе равны интегралу Стилтьеса функции , взятому в пределах от до ; последний всегда существует, как интеграл непрерывной функции, ограниченной в промежутке интегрирования. Итак, для среднего значения должно иметь место равенство:

.

Несколько сложнее обстоит дело со случайными величинами, которые могут принимать неограниченное множество значений. Если такая случайная величина может принимать только счетное множество значений , то среднее значение определяется формулой

, (3)

причем ряд в правой части этой формулы должен быть абсолютно сходящимся, иначе его сумма зависела бы от порядка, в котором перенумерованы значения случайной величины, и среднее значение не было бы однозначно определено.

Имея формулу (3), мы можем при помощи соответствующим образом определенного несобственного интеграла Стилтьеса распространить определение среднего значения и на многие такие случайные величины, которые могут принимать несчетное неограниченное множество значений.

Приведем пример вычисления среднего значения случайной величины , для которой это вычисление требует именно интеграла Стилтьеса, незаменимого ни обычным интегралом, ни конечным, ни бесконечным рядом.

Пусть случайная величина определяется следующими условиями:

Она может принимать только значения между 0 и 1. Таким образом, её функция должна быть равна 0 при x<0 и равна 1 при .

<="" div="">

width="189" height="153" />

0 1

Она не может принимать ни одного значения в интервале ; попадание в соседние интервалы равновероятно. Таким образом, в интервале её функция распределения должна быть постоянна и равна .

В каждом из крайних интервалов повторяется такая же картина, т.е. не может принимать ни одного значения в интервале и , попадание же в четыре интервала , , , для неё одинаково вероятно. Таким образом, в интервалах и её функция распределения должна иметь постоянные значения: в первом и во втором .

Такая же картина повторяется и в каждом из названных четырех интервалов длины и т.д.

0 1

0 1

Повторив раз наше рассуждение, мы будем иметь интервалов, каждый длины ; для из этих интервалов вероятность попадания в каждый из них будет равна , попадание в остальные будет невозможно. В этих последующих функция распределения будет постоянна. Чтобы определить функцию распределения в каждой точке интервала , достаточно представить себе, что мы повторяем такие же рассуждения бесконечное число раз. После этого даже в точках, оставшихся вне интервалов, в которых функция распределения постоянна, она должна была получить определенные значения в силу того, что она должна быть неубывающей.

В самом деле, и слева, и справа от каждой такой точки, с обеих сторон как угодно близко к ней, будут встречаться интервалы, в которых функция распределения постоянна, потому что по мере расширения этих интервалов путем присоединения к имеющимся уже интервалам длины следующих интервалов длины расстояния между ними становятся сколь угодно малыми.

Определив таким образом функцию распределения , мы уже без труда вычислим среднее значение .

Для этого достаточно обратиться к его геометрическому изображению. В данном случае оно изображается площадью, ограниченной прямыми и и кривой распределения . Но эта площадь в силу симметрии равна площади, ограниченной прямыми и и кривой . Взятые же вместе эти площади составляют площадь квадрата равную 1. Отсюда ясно, что

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману