Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

▷ Похожие статьи

Пусть на отрезке [a, b] задана функция f(x), удовлетворяющая условиям Дирихле на этом интервале. Зададим периодическую функцию f₁(x) с периодом 2 l = b – a, совпадающую с функцией f(x) на [a, b] (Доопределим функцию f(x)). Если функцию f(x) разложить в ряд Фурье, то сумма этого ряда во всех точках интервала (a, b) совпадает с функцией f(x) и задача решена.

Наиболее просто задача решается, если функция задана на отрезке [0, l ]. В этом случае ее можно доопределить так, чтобы ее значения на отрезке [– l, 0] находились из условия f(–x) = f(x) («четным образом») и тогда функция f₁(x) разлагается в ряд по косинусам – формулы (10. 21`0 – (10.23``) или так, чтобы на [– l, 0] f(–x) = – f(x) («нечетным образом») и тогда функция f<sub>1</sub>(x) разлагается в ряд по синусам – формулы (10.21``) – (10.23``).

Пример: разложить функцию у = 3х на отрезке [0, 2].

1. Доопределим заданную функцию четным образом, т.е. введем новую функцию f₁(x) = 3|x| на интервале [–2, 2]. Четная функция разлагается в ряд покосинусам, т.е. b_n = 0; ;

[интегрируем по частям]

0 при n – четном и при n – нечетном.

Т.о. в итоге получим разложение функции у = 3х на интервале [0, 2] в виде: 3х = 3 .

2. Доопределим заданную функцию нечетным образом, т.е. введем новую функцию f₁(x) = 3х на интервале [–2, 2]. Нечетная функция разлагается в ряд по синусам (см. (10.21``) – (10.23``)), т.е. а₀ = 0; a_n = 0;

[ интегрируем по частям]

при n – четном и при n – нечетном.

В итоге получим разложение функции у = 3х на интервале [0, 2] в виде:

.

Тесты

5.1. Какое из выражений называют n^-ой частичной суммой и какое – остаточным рядом?

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

5.2. Гармоническим называют ряд, общий член которого имеет вид:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

5.3. Обобщенным гармоническим рядом (рядом Дирихли) называют ряд с общим членом:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

5.4. По признаку Даламбера ряд сходится, если:

1) c = 1; 2) c < 1; 3) c >1; 4) c = 3.

5.5. Ряд :

1) Сходится условно; 2) Сходится абсолютно; 3) Расходится.

5.6. Функциональный ряд называется сходящимся равномерно если для любого e > 0, найдется такое n ³ N, начиная с которого:

1) ε; 2) ε; 3) ε; 4) ε.

5.7. Почленно дифференцировать и интегрировать можно ряды сходящиеся:

1) Условно; 2) Равномерно; 3) Абсолютно.

5.8. Степенным рядом называют функциональный ряд с общим числом вида а_n (х)=

1) ; 2) ; 3) .

5.9. Радиус сходимости ряда R = 2; Это означает, что:

1) Ряд сходится в одной точке; 3) На отрезке длиной 4 ед.;

2) На отрезке длиной 2 ед.; 4) На всей числовой оси.

5.10. Если среди коэффициентов ряда есть нулевые, а последовательность степеней любая, то радиус сходимости ряда может быть найден по формуле:

1) ; 2) ; 3) .

5.11. Можно ли утверждать, что ряд сходится к функции f (x), если :

1) Да; 2) Нет.

5.12. Биномиальный ряд можно использовать при т ³ 0, если:

1) ; 2) ; 3) .

5.13. Две функции е^х (1) и arctg x (2) разлагаются в ряд Тейлора. Для какого из рядов справедливо утверждение, что точность «не хуже» модуля первого отброшенного члена?

5.14. Какая из функций разлагается в ряд Фурье по синусам:

1) Четная; 2) Нечетная.

5.15. в ряд Фурье разлагается функция с периодом 3 р на интервале [-1,5 р; 1,5 р ]. Формула для коэффициентов а ₀ имеет вид:

1) ; 2) ; 3) а ₀ = .

5.16. Разложение функции у = х на интервале [-p; p] в ряд Фурье имеет вид:

1) ; 2) ; 3) .

Ответы к тестам.

3.10. ;

3.11. 0;

3.12. ;

3.13. ;

3.14. ;

3.15. Расходится;

3.16. Расходится;

3.17. ;

3.18. Расходится;

3.19. 4,5 кв.ед.

3.20. ;

3.21. по оси Оу;

3.22. ;

3.23. ;

3.24. 3,4 куб.ед.;

3.25. 232;

3.26. куб.ед.;

3.27. ;

3.28. ;

3.29. = - ;

3.30. ;

4.1. ;

4.2. ;

4.3. ;

4.5. ;

4.6. ;

4.7. ;

4.8. ;

4.9. ;

4.10. ;

4.11. ;

4.12. Линейное неоднородное;

4.13. Да (функции линейно независимы);

4.14. ;

4.15. ;

4.16. ;

4.17. ;

5.1. - n^-ая частичная сумма; - остаточный ряд;

5.2. ;

5.3. ;

5.4. c < 1;

5.5. Сходится условно;

5.6. ε;

5.7. Равномерно;

5.8. ;

5.9. На отрезке длиной 4ед.;

5.10. ;

5.11. Да;

5.12. ;

5.13. Для разложения функции ;

5.14. Нечетная;

5.15. ;

5.16. .

Итоговые тесты

1. Какая из функций определена на R:

1) ; 2) ; 3) .

2. Функция :

1) Четная; 2) Нечетная; 3) Общего вида.

3.

1) 1; 2) –0,5; 3) ¥.

4.

1) е; 2) – е; 3) е ^-1.

5. Величины sin x и ln(1+ x) при имеют:

1) Один порядок;

2) Разные порядки;

3) Эквивалентны.

6. Функция :

1) Непрерывна; 3) Испытывает разрыв II рода;

2) Испытывает разрыв I рода; 4) Оба типа разрывов.

7. Дана функция ,

1) ; 2) ; 3) .

8. ;

1) ; 2) ; 3) .

9. Какая из функций убывает на R?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

10. Функция :

1) Не имеет экстремумов; 3) Имеет max;

2) Имеет min; 4) Имеет оба вида экстремумов.

11. Функция :

1) Не имеет асимптот; 3) Имеет вертикальную;

2) Имеет горизонтальную; 4) Вертикальную и наклонную.

12. ; Поверхности уровня этой функции:

1) Эллипсоиды;

2) Однополостные;

3) Двухполостные гиперболоиды.

13.

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

14. Точка М стационарная для функции . В этой точке функция:

1) Не имеет экстремума;

2) Имеет экстремум;

3) Может иметь экстремум.

15. Является ли первообразная функции элементарной?

16. Можно ли сказать, что простейшая дробь?

1) Да; 2) Нет.

17. вычисляется с помощью подстановки:

1) ; 2) ; 3) .

18. Определенный интеграл это:

1) Первообразная подынтегральной функции;

2) Предел интегральной суммы;

3) Площадь криволинейной трапеции.

19.

1) Равен ; 2) Сходится и равен ; 3) Расходится.

20. Отрезок прямой вращается вокруг оси у, объем образовавшейся воронки равен (куб.ед):

1) 108p; 2) 18p; 3) 53p.

21. Двойной интеграл это:

1) Объем цилиндрического тела с основанием Д на плоскости х О у;

2) Разновидность определенного интеграла;

3) Первообразная функции определенной в области Д.

22. - это:

1) Длина дуги кривой на ;

2) Криволинейный интеграл I рода по дуге кривой ;

3) Криволинейный интеграл II рода по дуге .

23. Является ли решением дифференциального уравнения ?

1) Да; 2) Нет;

24. Уравнение имеет общее решение вида:

1) ; 2) ; 3) .

25. Можно ли решать уравнение методом неопределенных коэффициентов?

1) Да; 2) Нет, потому что…

26. Сходится ли ряд ?

1) Да; 2) Нет (можно использовать 1^ый признак сравнения)

27. Сходится ли ряд ?

1) Да;

2) Нет (Попробуйте использовать интегральный признак сходимости).

28. Какие ряды, заданные формулой общего члена , не являются степенными?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

29. Ряд Тейлора это степенной ряд, коэффициенты которого определяются так:

1) ; 2) ; 3) .

30. Ряды Фурье это ряды:

1) Степенные;

2) Числовые;

3) Тригонометрические;

4) Гиперболические.

31. Чтобы разложить в ряд по синусам непериодическую функцию заданную на интервале [ а, в ] где 0 < a < в, ее нужно доопределить до периодической:

1) Нечетно; 2) Четно.

Литература.

а) Основная:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления (в двух томах) – М.: 1985.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика – М:, 1987.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике – М.: 1979, 1997.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах (в двух частях) – М.: 1986, 1996, 1997.

5. Шипачев В.С. Высшая математика, М., Высшая школа, 1995.

6. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. Учебник в трех частях- М. Финансы и статистика, 1998.

7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление, М. Наука, 1988.

8. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М. Наука, 1985.

б) Дополнительная:

9. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М. Наука, 1964-1971

10. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М. ИНФА-М, 1997.

11. Баврин И.И. Курс высшей математики, М. Просвещение, 1992.

12. Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах, М. Издательство МАИ, 2000.

13. Шипачев В.С. Основы высшей математики, М. Высшая школа, 2001.

Содержание

Гофман Виктор Гершонович

Математический анализ

Учебно-практическое пособие

Подписано к печати:

Тираж:

Заказ №

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте