Класифікація простих алгебр Лі. Класичні прості алгебри Лі

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Будь яка підалгебра Картана даної напівпростої алгебри Лі 𝑔 визначає розклад 𝑔 по кореневим підпросторам і фундаментальну систему коренів. Цю фундаментальну системи можна розглядати як 𝜋 – систему, і ми щойно завершили класифікацію останніх. Ціль даного параграфа – показати, що класифікація простих алгебр Лі над алгебраїчно замкнутим полем 𝑃 характеристики 0 співпадає з класифікацією 𝜋 – систем. (теорема 2. 8. 1.). На протязі цього параграфа 𝑔 позначає напівпросту алгебру Лі.

На протязі цього параграфа ми будемо вважати, що поле 𝑃 алгебраїчно замкнуте і 𝑐𝘩𝑎𝑟 𝑃 = 0. Згідно попереднього параграфу, класифікація простих алгебр Лі над 𝑃 буде завершена, якщо ми зможемо для кожної із діаграм Динкіна, перерахованих в теоремі 2. 7. 4., вказати володіючу нею просту алгебру Лі.

Теорема 2. 8. 1. Нехай 𝑔 – напівпроста алгебра Лі з фундаментальною системою коренів 𝜋 і - напівпроста алгебра Лі з функціональною системою коренів . Якщо 𝜋 ≅ , то 𝑔 ≅ .

Позначимо через 𝐸_𝑖𝑗 матрицю, у якої на (𝑖, 𝑗)-му місці стоїть 1, а на інших 0. Дальше, нехай 1_𝑛 позначає одиничну матрицю із 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃).

(А) Спеціальна лінійна алгебра Лі 𝔄 (𝑙 + 1, 𝑃) (𝑙 ≥ 1).

(𝔄 (𝑛, 𝑃) = {𝑆 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃): 𝑡𝑟 𝑆 = 0})

Ця алгебра діє незвідно на 𝑃^{𝑙 + 1}, проста і має розмірність (𝑙 + 1)² – 1 = 𝑙² + + 2𝑙. Алгебра 𝖍 = 𝘴𝘥𝘪𝘢𝘨 (𝑙 + 1, 𝑃) = { }

служить її підалгеброю Картана. Будемо писати () замість Σ . Визначимо ε_𝑖 ∈ 𝖍* формулою ε_𝑖 () = 𝑥_𝑖, 𝑖 = 1, …, 𝑙 + 1. Тоді 𝘢𝘥 () = (𝑥_𝑖 − 𝑥_𝘫) (𝑖 ≠ 𝘫), 𝛥 = {ε_𝑖 – ε_𝘫: 𝑖 ≠ 𝘫}, 𝜋 = {𝛼_𝑖 = =ε_𝑖 – ε_{𝑖 + 1}: 𝑖 = 1, …, 𝑙}.

Елемент () ∈ 𝖍 регулярний тоді і тільки тоді, коли всі 𝑥_𝑖 різні. Мають місце рівності 𝐵 (𝑋, 𝑌) = 2 (𝑙 +1) 𝑡𝑟 𝑋𝑌,

= (0, …, 0, 1, − , 0, …, 0) (1 на 𝑖-му місці).

Звідси, ми можемо обчислити <𝛼_𝑖, 𝛼_𝘫> = 𝐵 (, ) = 2(𝑙 + 1) 𝑡𝑟 :

<𝛼_𝑖, 𝛼_𝘫> =

Таким чином, діаграмою Динкіна системи 𝜋 є 𝐴_𝑙.

Далі, розглянемо представлення

𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃) ∋ 𝑋 ⟼ 𝑓 (𝑋) ∈ 𝑔𝑙 (𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃)),

𝑓 (𝑋) 𝑌 = − ^𝑡𝑋𝑌 – 𝑌𝑋 (𝑌 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃))

і для 𝜑 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃) покладемо 𝑙 (𝜑) = {𝑋 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃): 𝑓 (𝑋) 𝜑 = 0}. Ясно, що 𝑙(𝜑) є підалгеброю в 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃). Якщо елементи 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑃^𝑛. розглядаються як вектор-стовпчики, то ^𝑡𝑢𝜑𝑣 є білінійною формою і, навпаки, всяка білінійна форма на 𝑃^𝑛 має такий вид. Тому, вважаючи 𝜑 (𝑢, 𝑣) = ^𝑡𝑢𝜑𝑣 ми отримуємо, що 𝑙 (𝜑) = {𝑋 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃): 𝜑 (𝑋𝑢, 𝑣) + 𝜑 (𝑢, 𝑋𝑣) = 0}. В цих позначеннях маємо

𝑙 (1_𝑛) = 𝑜 (𝑛, 𝑃),

𝑙 (𝐽_𝑛) = 𝔓 (𝑛, 𝑃) ⊂ 𝑔𝑙 (2𝑛, 𝑃),

де

𝐽_𝑛 = .

Для доведення того, що ці алгебри напівпрості, нам знадобиться наступне твердження.

Твердження 2. 8. 2. Нехай 𝜑 – невироджена симетрична або косо-симетрична білінійна форма на 𝑃^𝑛. Якщо 𝑛 ≥ 3, то 𝑙 (𝜑) діє незвідно на 𝑃^𝑛.

Так як 𝑜 (𝑛, 𝑃) ∩ 𝑃1_𝑛 = 0, то алгебри Лі 𝑜 (𝑛, 𝑃) (𝑛 ≥3) s 𝔓 (𝑛, 𝑃) (𝑛 ≥ 2) напівпрості. Далі, оскільки 𝑜 (𝑛, 𝑃) складається із двох кососи-метричних матриць, 𝑑𝑖𝑚 𝑜 (𝑛, 𝑃) = 𝑛 (𝑛 − 1)/2.

(В) Ортогональна алгебра Лі 𝑜 (2𝑙 + 1, 𝑃). Для того,щоб знайти підалгебру Картана в зручній формі, ми спочатку приведемо форму 1_{2𝑙 + 1} (𝑥, 𝑦) = до вигляду 𝜑 (, ) = + за допомогою лінійного перетворення

₀ = 𝑥₀, _𝑖 = (𝑥_𝑖 + 𝑥_{𝑙 + 𝑖}), _{𝑙 + 𝑖} = (𝑥_𝑖 − 𝑥_{𝑙 + 1}) (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙.)

Іншими словами, покладемо

𝜑 = , 𝑆 = ;

Ясно, що 𝑆⁻¹ = ^𝑡𝑆, так як 𝑆 є ортогональною матрицею, і 𝑆⁻¹𝜑𝑆 = 1_{2𝑙 + 1}. Далі, легко побачити, що 𝑜 (2𝑙 + 1, 𝑃) = 𝑙 (1_{2𝑙 + 1}) = 𝑆⁻¹ 𝑙 (𝜑) 𝑆.

Так як 𝑙 (𝜑) = {𝑋 ∈ 𝑔𝑙 (2𝑙 + 1, 𝑃): ^𝑡𝑋𝜑 + 𝜑𝑋 = 0}, то

𝑙 (𝜑) = .

Позначимо через (𝑥₁, …, 𝑥_𝑙) елемент алгебри 𝑙 (𝜑), для якого 𝐴 є діагональною матрицею з діагональними елементами 𝑥₁, …, 𝑥_𝑙, а 𝐵, 𝐶, 𝑎, 𝑏 рівні 0. Нехай 𝔥 позначає абелеву алгебру Лі, що складається із всіх (𝑥₁,…,𝑥_𝑙).

Дальше визначимо умовою 𝑏_𝑙 = 1, умовою 𝑎_𝑙 = 1, умовою 𝐵 = 𝐸_𝑖𝑗 − 𝐸_𝑗𝑖, (𝑖 < 𝑗), умовою 𝐶 = 𝐸_𝑖𝑗 − 𝐸_𝑗𝑖, (𝑖 < 𝑗), умовою 𝐴 = 𝐸_𝑖𝑗 (𝑖 ≠ 𝑗) (причому вважається, що всі інші елементи рівні 0). Тоді { (𝑖≠𝑗)} є базисом в 𝑙 (𝜑) по модулю 𝖍 і

(*)

Звідси, зокрема, випливає, що нормалі затор алгебри 𝔥 співпадає з нею самою, так що 𝔥 – підалгебра Картана. Далі, 𝛥 = {±ε_𝑖, ±ε_𝑖 ± ε_𝑗 (𝑖 ≠ 𝑗)} є кореневою системою відносно 𝔥.

Покладемо 𝛼₁ = ε₁ – ε₂, 𝛼₂ = ε₂ – ε₃, …, 𝛼_{𝑙 − 1} = ε_{𝑙 − 1} – ε_𝑙, 𝛼_𝑙 = ε_𝑙. Тоді ε_𝑖 − ε_𝑗 = 𝛼_𝑖 + 𝛼_{𝑖 + 1} + … + 𝛼_𝑗 (𝑖 < 𝑗), ε_𝑖 − ε_𝑗 = − (𝛼_𝑗 + 𝛼_{𝑗 + 1} + … + 𝛼_𝑖) (𝑗 < 𝑖), ± ε_𝑖 = = ± ((ε_𝑖 − ε_𝑙) + ε_𝑙), ± (ε_𝑖 + ε_𝑗) = ± ((ε_𝑖 − ε_𝑙) + (ε_𝑗 − ε_𝑙) + 2ε_𝑙) (𝑖 ≠ 𝑗).

Як наслідок, кожен корінь є лінійною комбінацією коренів 𝛼₁, …, 𝛼_𝑙 з невід’ємними або недодатними цілими коефіцієнтами. Значить, 𝜋 = { 𝛼₁, …, 𝛼_𝑙} - фундаментальна система коренів.

Далі, для довільного 𝐻 = (𝑥₁, …, 𝑥_𝑙) ∈ 𝖍 маємо на увазі (*):

𝐵 (𝐻, 𝐻) = 2 () =

= 2 (2𝑙 − 1) = (2𝑙 – 1) 𝑡𝑟 𝐻²,

=

і

<𝛼_𝑖, 𝛼_𝑗> =

<𝛼_𝑖, 𝛼_𝑖> =

Звідси видно, що діаграма Динкіна алгебри 𝑙 (𝜑) співпадає з 𝐵_𝑙. А отже, алгебра o (2𝑙 + 1, 𝑃) ≅ 𝑙 (𝜑) проста. Тоді 𝐵 (𝑋, 𝑌) = (2𝑙 – 1) 𝑡𝑟 𝑋𝑌.

(С) Симплектична алгебра Лі 𝔓 (𝑙, 𝑃) (𝑙 ≥ 1).Маємо

𝔓 (𝑙, 𝑃) = {𝑋 ∈ 𝑔𝑙 (2𝑙, 𝑃): ^𝑡𝑋𝐽_𝑙 + 𝐽_𝑙𝑋 = 0} =

= 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑔𝑙 (𝑙, 𝑃), 𝐵 = ^𝑡 𝐵, 𝐶 = ^𝑡 𝐶 .

Алгебра 𝔓 (𝑙, 𝑃) напівпроста і незвідна для всіх 𝑙 ≥ 2 і 𝔓 (1, 𝑃) = 𝔄 (2, 𝑃). Далі, 𝑑𝑖𝑚 𝔓 (𝑙, 𝑃) = 𝑙² + 2 = 2𝑙² + 𝑙.

Покладемо

(𝑥₁, …, 𝑥_𝑙) = ,

= , (𝑖, 𝑗 = 1, …, 𝑙),

= , (𝑖, 𝑗 = 1, …, 𝑙),

= , (𝑖 ≠ 𝑗).

Тоді 𝑎𝑑 (𝑥₁, …, 𝑥_𝑙) = (± 𝑥_𝑖 ± 𝑥_𝑗) .

Звідси видно, що 𝖍 = {(𝑥₁, …, 𝑥_𝑙)} є підалгеброю Картана.

Покладемо 𝛼₁ = ε₁ – ε₃, …, 𝛼_{𝑙 − 1} = ε_{𝑙 − 1} – ε_𝑙 і 𝛼_𝑙 = 2ε_𝑙. Тоді ε_𝑖 − ε_𝑗 = 𝛼_𝑖 + 𝛼_{𝑖 + 1} + … + 𝛼_{𝑗 – 1} (𝑖 < 𝑗), ε_𝑖 − ε_𝑗 = − (𝛼_𝑗 + 𝛼_{𝑗 + 1} + … + 𝛼_{𝑖 − 1}) (𝑗 < 𝑖), ± (ε_𝑖 + ε_𝑗) = = ± ((ε_𝑖 − ε_𝑙) + (ε_𝑗 − ε_𝑙) + 2ε_𝑙)

Як наслідок, 𝜋 = {𝛼₁, …, 𝛼_𝑙} - фундаментальна система коренів. Для 𝐻 = (𝑥₁, …, 𝑥_𝑙) маємо: 𝐵 (𝐻, 𝐻) = 2 ( =

= 2 (2𝑙 + 2) = (2𝑙 + 2) 𝑡𝑟 𝐻²,

=

і

<𝛼_𝑖, 𝛼_𝑗> =

<𝛼_𝑖, 𝛼_𝑖> =

Звідси видно, що діаграма Динкіна для {𝛼₁, …, 𝛼_𝑙} співпадає з 𝐶_𝑙 і алгебра 𝔓 (𝑙, 𝑃) проста. Отже, також 𝐵 (𝑋, 𝑌) = (2𝑙 + 2) 𝑡𝑟 𝑋𝑌.

(D) Ортогональна алгебра Лі o (2𝑙, 𝑃) (𝑙 ≥ 3).Більша частина міркувань, що відноситься до алгебри o (2𝑙 + 1, 𝑃) проходить і тут. Відмітимо тільки відмінності. Ми вважаємо

𝜑 = , 𝑆 = ;

і отримаємо, що 𝑆⁻¹ 𝜑 𝑆 = 1_2𝑙 і 𝑆⁻¹ 𝑙 (𝜑) = o (2𝑙, 𝑃), де 𝑙 (𝜑) - сукупність матриць виду , 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑔𝑙 (𝑙, 𝑃), ^𝑡𝐵 + 𝐵 = 0, ^𝑡𝐶 + 𝐶 = 0.

Далі розглянемо 𝑙 (𝜑). Нехай

(𝑥₁, …, 𝑥_𝑙) = , 𝖍 = {(, …, )}

і (𝑖 ≠ 𝑗) визначені аналогічно попередньому. Тоді

𝑎𝑑 (𝑥₁, …, 𝑥_𝑙) = (± 𝑥_𝑖 ± 𝑥_𝑗) .

Звідси випливає, що 𝔥 – підалгебра Картана і 𝛥 = {±ε_𝑖 ± ε_𝑗: 1≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑙, 𝑖 ≠ 𝑗} - її коренева система. Вважаємо 𝜋 = {𝛼₁, …, 𝛼_𝑙}, 𝛼₁ = ε₁ – ε₂, …, 𝛼_{𝑙 − 1} = ε_{𝑙 − 1} – ε_𝑙, 𝛼_𝑙 = ε_{𝑙 – 1} + ε_𝑙. Із формул ε_𝑖 − ε_𝑗 =

± (ε_𝑖 + ε_𝑗) = ± ((ε_𝑖 − ε_{𝑙 − 1}) + (ε_𝑗 − ε_𝑙) + (ε_{𝑙 – 1} + ε_𝑙)), 𝑖 < 𝑗,

видно, що 𝜋 – фундаментальна система. Для 𝐻 = (𝑥₁, …, 𝑥_𝑙) маємо:

𝐵 (𝐻, 𝐻) = = 2 (2𝑙 − 2) = (2𝑙 − 2) 𝑡𝑟 𝐻²,

=

<𝛼_𝑖, 𝛼_𝑗> =

При 𝑙 = 1 ця алгебра Лі одновимірна. При 𝑙 = 2 маємо <𝛼_1, 𝛼₂> = 0 і діаграмою Динкіна є o o.

Звідси випливає, o (4, 𝑃) ≅ 𝐴₁ ⨁ 𝐴₁.

Якщо 𝑙 ≥ 3, то 𝜋 нерозкладна і o (2𝑙, 𝑃) - проста алгебра типу 𝐷_𝑙. Зауважимо, що 𝐷₃ = 𝐴₃. Маємо 𝐵 (𝑋, 𝑌) = (2𝑙 – 2) 𝑡𝑟 𝑋𝑌.

Розмірності простих алгебр Лі представлені в наступній табличці:

Висновок

Основним результатом роботи є твердження про те, що алгебра Лі над полем характеристики 0 напівпроста тоді і тільки тоді, коли вона невироджена. Це дозволяє звести вивчення напівпростих алгебр Лі до вивчення простих алгебр Лі. Як наслідок отримується ще один важливий результат, а саме - класифікація простих алгебр Лі над полем характеристики 0.

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?